專題12 數(shù)形結(jié)合思想-備考2022年中考數(shù)學(xué)背誦手冊

1、中考數(shù)學(xué)常見思想方法專題12 數(shù)形結(jié)合思想專題概述：數(shù)學(xué)思想方法是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略。數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識與能力的橋梁，是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。抓住數(shù)學(xué)思想方法，善于迅速調(diào)用數(shù)學(xué)思想方法，更是提高解題能力根本之所在因此，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)教材例題、習(xí)題以及中考試題中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是讀書由厚到薄的升華，在復(fù)習(xí)中一定要注重培養(yǎng)在解題中提煉數(shù)學(xué)思想的習(xí)慣，中考

2、常用到的數(shù)學(xué)思想方法有：整體思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等在中考復(fù)習(xí)備考階段，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)總結(jié)這些數(shù)學(xué)思想與方法，掌握了它的實(shí)質(zhì)，就可以把所學(xué)的知識融會(huì)貫通，解題時(shí)可以舉一反三。名詞詮釋：數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想. 數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決。 運(yùn)用舉例：一數(shù)形結(jié)合思想在絕對值中的運(yùn)用1兩只小蟲A、B躺在數(shù)軸上睡大覺，已知它們之間的距離為10個(gè)單位長度，其中小蟲A躺在數(shù)+4

3、對應(yīng)的點(diǎn)上，小蟲B所在位置的數(shù)的絕對值大于6，則小蟲B所在位置表示的數(shù)是14【點(diǎn)睛】設(shè)小蟲B所在位置表示的數(shù)是a，可得|a4|10，解可得答案【解析】解：設(shè)小蟲B所在位置表示的數(shù)是a，有|a4|10，解可得a14或6，小蟲B所在位置的數(shù)的絕對值大于6，a14故答案為14二數(shù)形結(jié)合思想在因式分解中的運(yùn)用2將下圖一個(gè)正方形和三個(gè)長方形拼成一個(gè)大長方形，請觀察這四個(gè)圖形的面積與拼成的大長方形的面積之間的關(guān)系（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：x2+px+qx+pqx2+（p+q）x+pq（x+p）×（x+q）（2）利用（1）的結(jié)論將下列多項(xiàng)式分解因式：x2+7x+10y27y+12【點(diǎn)睛】（1）根

4、據(jù)一個(gè)正方形和三個(gè)長方形的面積和等于由它們拼成的這個(gè)大長方形的面積作答；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論直接作答【解析】解：（1）（x+p）（x+q）（4分）（2）x2+7x+10（x+2）（x+5）（6分）y27y+12（y3）（y4）（8分）三數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的運(yùn)用3某物流公司的快遞車和貨車每天往返于A、B兩地，快遞車比貨車多往返一趟圖表示快遞車距離A地的路程y（單位：千米）與所用時(shí)間x（單位：時(shí)）的函數(shù)圖象已知貨車比快遞車早1小時(shí)出發(fā)，到達(dá)B地后用2小時(shí)裝卸貨物，然后按原路、原速返回，結(jié)果比快遞車最后一次返回A地晚1小時(shí)（1）請?jiān)趫D中畫出貨車距離A地的路程y（千米）與所用時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)圖象

5、；（2）求兩車在途中相遇的次數(shù)（直接寫出答案）；（3）求兩車最后一次相遇時(shí)，距離A地的路程和貨車從A地出發(fā)了幾小時(shí)？【點(diǎn)睛】（1）貨車從出發(fā)到返回共10小時(shí)，所以前4小時(shí)一段、后4小時(shí)一段、中間2小時(shí)路程不變；（2）分別求出函數(shù)解析式解方程組即可【解析】解：（1）根據(jù)題意，圖象經(jīng)過（1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）如圖：（2）4次；（3）如圖，設(shè)直線EF的解析式為yk1x+b1圖象過（9，0），（5，200），200=5k1+b10=9k1+b1，k1=50b1=450，y50x+450 ，設(shè)直線CD的解析式為yk2x+b2圖象過（8，0），（6，200），200=6k2+

6、b20=8k2+b2，k2=100b2=800，y100x+800 ，解由組成的方程組得：x=7y=100，最后一次相遇時(shí)距離A地的路程為100km，貨車應(yīng)從A地出發(fā)8小時(shí)四數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的運(yùn)用4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，3），B（5，3），C（2，5）是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求BC的長【點(diǎn)睛】根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求出AB、AC的長度，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解【解析】解：A（2，3），B（5，3），C（2，5）ACy軸，ABx軸，A90°，AC532，AB523，在RtABC中，由勾股定理得，BC=AC2+AB2=22+32=135如圖，在一張長為7cm，寬為5cm

7、的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為8cm2或215cm2或27cm2【點(diǎn)睛】因?yàn)榈妊切窝奈恢貌幻鞔_，所以分三種情況進(jìn)行討論：（1）AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解【解析】解：分三種情況計(jì)算：（1）當(dāng)AEAF4時(shí)，如圖：SAEF=12AEAF=12×4×48（cm2）；（2）當(dāng)AEEF4時(shí)，如圖：則BE541，BF=EF2B

8、E2=4212=15，SAEF=12AEBF=12×4×15=215（cm2）；（3）當(dāng)AEEF4時(shí)，如圖：則DE743，DF=EF2DE2=4232=7，SAEF=12AEDF=12×4×7=27（cm2）；故答案為：8cm2或215cm2或27cm26已知ABC的三邊分別為m2n2，2mn，m2+n2（m，n為正整數(shù)，且mn），求證：ABC是直角三角形【點(diǎn)睛】判斷一組數(shù)能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方【解析】證明：（m2n2）2+（2mn）2m4+n42m2n2+4m2n2m4+n4+2m2n2（m2+n2）2

9、，ABC是直角三角形五數(shù)形結(jié)合思想在最值問題中的運(yùn)用7如圖，點(diǎn)P是AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，PMN周長的最小值是5cm，則AOB的度數(shù)是（）A25°B30°C35°D40°【點(diǎn)睛】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質(zhì)得出PMDM，OPOC，COAPOA；PNCN，OPOD，DOBPOB，得出AOB=12COD，證出OCD是等邊三角形，得出COD60°，即可得出結(jié)果【解析】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、

10、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，PMDM，OPOD，DOAPOA；點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，PNCN，OPOC，COBPOB，OCOPOD，AOB=12COD，PMN周長的最小值是5cm，PM+PN+MN5，DM+CN+MN5，即CD5OP，OCODCD，即OCD是等邊三角形，COD60°，AOB30°；故選：B8已知a、b均為正數(shù)，且a+b2，求W=a2+4+b2+1的最小值【點(diǎn)睛】將b2a代入W=a2+4+b2+1，得到W的關(guān)于a的表達(dá)式，再利用勾股定理，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，利用勾股定理求和即可【解析】