復(fù)變函數(shù)與積分變換21PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換21第1頁(yè)/共55頁(yè)第2頁(yè)/共55頁(yè)設(shè)設(shè) z = x+iy, w = u+iv ,wf zf xiyu x yiv x y其確定了自變量為其確定了自變量為x和和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù) u ,v .例如例如, 考察函數(shù)考察函數(shù) w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv , 則則u+iv = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy ,因而函數(shù)因而函數(shù) w = z2 對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):u = x2- -y2, v = 2xy第3頁(yè)/共55頁(yè) 在以后的討論中在以后的討論中, E常常是一個(gè)平面區(qū)域常常是

2、一個(gè)平面區(qū)域, 并且并且, 如如無(wú)特別聲明無(wú)特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).二、二、 映射的概念映射的概念 函數(shù)函數(shù) w=f (z) 在幾何上可以看做是把在幾何上可以看做是把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)平面上的一個(gè)點(diǎn)集集E(定義集合定義集合)變到變到 w平面上的一個(gè)點(diǎn)集平面上的一個(gè)點(diǎn)集G (函數(shù)值集函數(shù)值集合合)的的映射映射(或或變換變換). 如果如果 E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) z 被映射被映射 w=f (z) 映映射成射成 G中的點(diǎn)中的點(diǎn) w, 則則 w 稱(chēng)為稱(chēng)為 z 的的象象(映象映象), 而而 z 稱(chēng)為稱(chēng)為 w 的的原象原象.xuEGZzwW=f(z)vyW第4頁(yè)/共55頁(yè)設(shè)

3、函數(shù)設(shè)函數(shù)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第5頁(yè)/共55頁(yè)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = z2 = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy , 有有 u = x2- -y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz -1231341wwiw - - 第6頁(yè)/共55頁(yè)的的. 此時(shí)此時(shí), 我們也稱(chēng)集合我們也稱(chēng)集合E與集與集合合G是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的.第7頁(yè)/共55頁(yè)2. 復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義函數(shù)的極限定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) w = f (z)定義在定義在 z0的去心鄰域的去心鄰域 0|z-

4、-z0|0, 相應(yīng)地必有一正數(shù)相應(yīng)地必有一正數(shù)d d (e e) (0 d d r), 使得當(dāng)使得當(dāng) 0 |z- -z0|d d 時(shí)有時(shí)有| f (z)- -A |e e ,則稱(chēng)則稱(chēng)A為為f (z)當(dāng)當(dāng) z趨向于趨向于z0時(shí)的時(shí)的極限極限, 記作記作Azfzz)(lim0或記作當(dāng)或記作當(dāng) zz0 時(shí)時(shí) , f (z)A.第8頁(yè)/共55頁(yè)幾何意義幾何意義: : xyOz0dzOuvAef(z)0lim( )zzAf z意味著：0( )zzf z當(dāng) 從平面上任一方向、沿任何路徑、以任意方式趨近于 時(shí)，均以A為極限。第9頁(yè)/共55頁(yè)等價(jià)定義等價(jià)定義： 設(shè)設(shè) f (z) = u(x,y) + iv(x

5、,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 則則0000000lim( ,)lim( ).lim( ,)xxyyzzxxyyu x yuf zAv x yv運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)： )(lim)(lim)()(lim)1(000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim)2(000zgzfzgzfzzzzzz0)(lim)(lim)(lim)()(lim)3(0000zgzgzfzgzfzzzzzzzz第10頁(yè)/共55頁(yè)當(dāng)當(dāng) z0 時(shí)的極限不存時(shí)的極限不存在在例例1 證明函證明函數(shù)數(shù)Re( )( )|zf zz證證 令令 z = x + i y, 則則22(

6、 ),xf zxy由此得由此得22( , ), ( , )0.xu x yv x yxy讓讓 z 沿直線沿直線 y = k x 趨于零趨于零, 我們有我們有2200()()lim( , )limxxy kxy kxxu x yxy22201lim.(1)1xxkxk 故極限不存在故極限不存在. 第11頁(yè)/共55頁(yè)3. 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義2.3)()(lim00zfzfzz如果 則說(shuō)則說(shuō) f (z)在在 z0 處處連續(xù)連續(xù). 如果如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處內(nèi)處處連續(xù)處連續(xù), 我們說(shuō)我們說(shuō) f (z) 在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).函數(shù)函數(shù) f (z) = u(x, y) + iv(

7、x, y)在在 z0 = x0 + iy0處連處連續(xù)的充要條件是續(xù)的充要條件是 u(x, y)和和 v(x, y)在在 (x0, y0)處連處連續(xù)續(xù).性質(zhì)：性質(zhì)： (1)(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)；連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)； (2)(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)； 第12頁(yè)/共55頁(yè)有理分式函數(shù)有理分式函數(shù)其中其中P(z)和和Q(z)都是多項(xiàng)式都是多項(xiàng)式, 在復(fù)在復(fù)平面分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的平面分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.,)()(zQzPw 第13頁(yè)/共55頁(yè)(4)有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D D上的連續(xù)函數(shù)必有界上的連續(xù)函數(shù)必有界例題例題1 1 討討論論zzf

8、arg)(的連續(xù)性。的連續(xù)性。x00222-2-第14頁(yè)/共55頁(yè)arctg,0,0,02argarctg,0,0,0,0argtg.22yxxxyzyxyxxyyx-其中第15頁(yè)/共55頁(yè)第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)2.2 解析函數(shù)的概解析函數(shù)的概念念;),(Dzzfw函數(shù)1 1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù) 定義：定義：Dzzz00,zwz0lim極限zzfzzfz-)()(lim000存在存在, 則就說(shuō)則就說(shuō)f (z)在在 z0可導(dǎo)可導(dǎo), 此極限值就稱(chēng)為此極限值就稱(chēng)為f (z)在在 z0 的的導(dǎo)數(shù)，記作導(dǎo)數(shù)，記作00().zzdwfzdz或應(yīng)該注意：上述定義中應(yīng)該注意：上述定義中 的方

9、式是任意的。的方式是任意的。0z 第16頁(yè)/共55頁(yè)如果如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo), 就說(shuō)就說(shuō) f (z) 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).例例1 求求 f (z) = z2 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。解解 因?yàn)橐驗(yàn)?( )( )limzf zzf zz-220( )limzzzzz-0lim(2 )2 .zzzz所以f (z) = 2z .復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 。（即（即f (z) = z2 在復(fù)平面處處可導(dǎo)。在復(fù)平面處處可導(dǎo)。）第17頁(yè)/共55頁(yè)0)(),()()()()(1)()()52-zgzgzfzfzgzgzgzf. 0

10、)(,)()(,)(1)()7wwzzfwwzf且數(shù)個(gè)互為反函數(shù)的單值函是兩與其中第18頁(yè)/共55頁(yè)例例2 問(wèn)問(wèn) f (z) = x +2yi 是否可導(dǎo)是否可導(dǎo)?解解 這里這里0()( )limzf zzf zz -0()2()2limzxxyy ixyixyi - 02limzxyixyi 0,zx 取002limlim1.zzxyixxyix 0,zi y 取0022limlim2.zzxyiyxyiy 所以所以 f (z) = x + 2yi 的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在.（即（即 f (z) = x + 2yi 在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo)在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo).）第19頁(yè)/共55頁(yè)0)(lim

11、),()()()()()()(0000000-zzfzzfzzfzzfzzfzzfze則令連續(xù)在即所以0000)(),()(limzzfzfzzfz可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)。連續(xù)。第20頁(yè)/共55頁(yè)例例3 討論討論2)(zzfw的可導(dǎo)性。的可導(dǎo)性。-zzfzzfzw)()(解解：zzzz-22zzzzzzz-)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw-所以2)(zzfw在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。第21頁(yè)/共55頁(yè)2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)解析函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。在該點(diǎn)可導(dǎo)。 反之不一定成立。反之不一定

12、成立。在區(qū)域內(nèi)：在區(qū)域內(nèi)：解析可導(dǎo).例如例如 f (z) = z2 在整個(gè)復(fù)平面上解析；在整個(gè)復(fù)平面上解析；2)(zzfw僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個(gè)復(fù)平面上不解析。在整個(gè)復(fù)平面上不解析。定義定義2.52.5解析：在0)(zzf0( )f zz在 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo).稱(chēng)為解析點(diǎn)，0z否則稱(chēng)為奇點(diǎn)否則稱(chēng)為奇點(diǎn) 。內(nèi)解析：在區(qū)域Dzf)( )f zD在 內(nèi)處處解析.第22頁(yè)/共55頁(yè)例例 討論函數(shù)討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：210 ,dwzdzz -故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處解析

13、；z = 0 是它的一個(gè)奇點(diǎn)。是它的一個(gè)奇點(diǎn)。解析函數(shù)的性質(zhì)：解析函數(shù)的性質(zhì)：(1) 兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2) 兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3) 一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上解析一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上解析； 所所 有解析點(diǎn)的集合必為開(kāi)集。有解析點(diǎn)的集合必為開(kāi)集。第23頁(yè)/共55頁(yè)第24頁(yè)/共55頁(yè)問(wèn)題問(wèn)題：對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析（可導(dǎo)）性？如何判別其解析（可導(dǎo)）性？換句話說(shuō)：換句話說(shuō)：( ),f z

14、u v的解析 可導(dǎo) 與的偏導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系？第25頁(yè)/共55頁(yè)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 對(duì)于二元函數(shù)f(x,y), 如果將y視為常量將其固定，看作是 x 的函數(shù)，對(duì) x 求導(dǎo)，所獲得的函數(shù)就叫f(x,y)對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)， 記作fx, 而將 x 固定， 將其看作 y 的函數(shù)， 對(duì) y 求導(dǎo)， 所獲得的函數(shù)就叫 f(x,y)對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)， 記作fy。 當(dāng)然上面的說(shuō)法必須是在相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)存在的情況下。 第26頁(yè)/共55頁(yè)例: 設(shè)二元函數(shù)f(x,y)=x2sin2y, 則22 sin22cos2fxyxfxyy第27頁(yè)/共55頁(yè)iv)微分的概念微分的概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f(z)在在z0可導(dǎo)可導(dǎo), 則有則有

15、 w=f(z0+ z)- -f(z0)=f (z0) z+ ( z) z, 0)(lim0zz其中 因此因此, | ( z) z|是是| z|的高階無(wú)窮小量的高階無(wú)窮小量, 而而f (z0) z是函數(shù)是函數(shù)w=f(z)的改變量的改變量 w的線性的線性部分部分, 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0的微分的微分, 記作記作 dw=f (z0) z (*) 如果函數(shù)在如果函數(shù)在z0的微分存在的微分存在, 則稱(chēng)則稱(chēng)函數(shù)函數(shù)f(z)在在z0可微可微.第28頁(yè)/共55頁(yè) dw=f (z0) z(*) 特別特別, 當(dāng)當(dāng)f(z)=z時(shí)時(shí), 由由(*)得得dz= z. 于是于是 dw=f (z)dz,即即

16、|0dd)(zzzwzf 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn), 函數(shù)函數(shù)w=f(z)在在z0可導(dǎo)與在可導(dǎo)與在z0可微可微是等價(jià)的是等價(jià)的. 如果如果f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微, 則稱(chēng)則稱(chēng)f(z)在在D內(nèi)可微內(nèi)可微.第29頁(yè)/共55頁(yè)2.3 函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件第30頁(yè)/共55頁(yè) 在工程中在工程中, 往往是要用復(fù)變函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題往往是要用復(fù)變函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 而實(shí)際問(wèn)題中遇到的復(fù)變函數(shù)而實(shí)際問(wèn)題中遇到的復(fù)變函數(shù), 通常都是某個(gè)實(shí)變函數(shù)通常都是某個(gè)實(shí)變函數(shù)延拓而來(lái)的延拓而來(lái)的. 即即, 如果原來(lái)有一個(gè)實(shí)變函數(shù)如果原來(lái)有一個(gè)實(shí)變函數(shù)f(x), 自變量自變量是實(shí)數(shù)是實(shí)

17、數(shù), 函數(shù)值也是實(shí)數(shù)函數(shù)值也是實(shí)數(shù), 則將則將x用一個(gè)復(fù)數(shù)代替用一個(gè)復(fù)數(shù)代替, 就產(chǎn)就產(chǎn)生了一個(gè)自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù)生了一個(gè)自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù). 事實(shí)上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù)事實(shí)上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù). 比如說(shuō)：比如說(shuō)：實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)f(x)=x2-x+1, 則相應(yīng)的延拓的復(fù)變函數(shù)就是則相應(yīng)的延拓的復(fù)變函數(shù)就是f(z)=z2-z+1. 經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成的初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù)的初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù).第31頁(yè)/共55頁(yè) 假設(shè)假設(shè)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數(shù)是

18、解析函數(shù), 我們我們也可以將它看作是變量也可以將它看作是變量x,y的二元函數(shù)的二元函數(shù), 則對(duì)則對(duì)x求偏導(dǎo)和求偏導(dǎo)和對(duì)對(duì)y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo), 得兩個(gè)公式得兩個(gè)公式y(tǒng)yxxivuyyxviyyxuiyxf iivuxyxvixyxuiyxf),(),()(),(),()(yyiuviyxf-)(即yyxuxyxvyyxvxyxuuvvuyxyx-),(),(,),(),(及由此得第32頁(yè)/共55頁(yè),uvvuxyxy -稱(chēng)Cauchy-Riemann為方程( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即在 內(nèi)一點(diǎn) x,y 解析u(x,y) 與與 v(x,y) 在該點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微, 并且滿

19、足并且滿足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程。方程。第33頁(yè)/共55頁(yè)定理定理3.8 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域在其定義域D內(nèi)解內(nèi)解析的充要條件是：析的充要條件是： （1）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內(nèi)可微內(nèi)可微, （2）u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內(nèi)內(nèi)滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程.定理定理3.7 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域定義在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)z =x+iy 可導(dǎo)的充分必要條件是可導(dǎo)的充分必要條件是:（1） u(x,y)與與v(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)

20、可微可微, （2）u(x,y)與與v(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y) 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程 。第34頁(yè)/共55頁(yè)推論推論 ：,( , )u vx yCR-若在處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且滿足方程,( )f zuivzxiy則在處可導(dǎo).例題例題1 ,u v解析 可導(dǎo)可微且滿足C-R方程 222f zxyi xyuivfz-已知，求解解： 2222xxfzuivxi yxiyz例題2 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:1);2)Re( )wzwzz2222yyviuxiyxiyz-第35頁(yè)/共55頁(yè)解：1),wzxiy-由 得 ux, v-y, 所以1,0,0,1xyxyxyyxuu

21、vvuv uv - -在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo), 處處不解析處處不解析；wz故2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以2 ,0,xyxyuxuvyvx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí)時(shí),xyyxuvuv -因而函數(shù)僅在因而函數(shù)僅在z = 0可導(dǎo)可導(dǎo), 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析不解析.第36頁(yè)/共55頁(yè))Re()3);sin(cose)()2;) 1zzwyiyzfzwx1, 0, 0, 1-yvxvyuxu可知柯西-黎曼方程不滿足, 所以w=z在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo), 處處不解析第37頁(yè)/共55

22、頁(yè)yyvyxvyyuyxuxxxxcose,sinesine,cose-函數(shù)ez.第38頁(yè)/共55頁(yè)xyvyxvyuxxu,0,2第39頁(yè)/共55頁(yè)第40頁(yè)/共55頁(yè)2.4 初等函數(shù)3.1 指數(shù)函數(shù) 定義： )sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性質(zhì)： (1)0zzee 定義在全平面上，且 (2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以為基本周期的周期函數(shù)(0,cossin00)xiyzeeyiye第41頁(yè)/共55頁(yè)22(cos2sin2,)zk izk izzee eekike kZ

23、(5)lim.zze不存在( lim, lim0 )zzz xz xee - 3.2 三角函數(shù)定義： ,2sinieeziziz-,2cosizizeez-性質(zhì)：(1)Euler 公式仍然成立： zizeizsincos(2)全平面解析函數(shù)，zzzzsincos,cossin-且(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z為奇函數(shù)，cos z為偶函數(shù)第42頁(yè)/共55頁(yè)(5)2以為基本周期的周期函數(shù)：sin2sin ,cos2sin .()zkzzkz kZ(6) sincoszz與的模可以大于一甚至無(wú)界：例如11cos1,2eei-cos.2yyeeiyy- (7)定義其他的

24、三角函數(shù)：.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz第43頁(yè)/共55頁(yè)3.3 雙曲函數(shù)定義： eeeech, sh.22zzzzzz- （1）全平面解析函數(shù)： ,.shzchzchzshz（2）以2i為基本周期的周期函數(shù)：2,2.sh zk ishz ch zk ichz（3）chz為偶函數(shù), shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：shsin ,izizchcosizzsinsh ,izizcosch ,izz第44頁(yè)/共55頁(yè)例題1解方程sin1.zish解：sinsinsin coscos sinzxiyxiyxiysincos1xchyixshyish sin01cos12xchyxshysh :0sin0,chyxxkkZ由 1 因 211kshysh -代入11ykyk -為偶數(shù)為奇數(shù)2.21niznZni-第45頁(yè)/共55頁(yè)3.4 對(duì)數(shù)函數(shù)定義： :(0),wwez z若 滿足Ln(0).wzz則,wuiv記：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值支主值支例如：ik