分式不等式的解法講義名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、不等式的解法1 一元二次不等式的解法(1)含有未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的一元不等式叫做一元二次不等式(2)一元二次不等式的解法(如下表所示 )2設(shè) a0， x1， x2 是一元二次方程ax bx c0 的兩實(shí)根，且x1 x2(3)對(duì)于一元二次不等式的解法需注意： x a 0(a b)的解集為： x|xa 或 x b ； x a 0(a b)的解集為： x|a x b x bx b從函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看， 一元二次不等式 ax2 bx c0(a 0)的解集是一元二次函數(shù) yax2bx c(a 0)在 x 軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合三個(gè)“二次”的關(guān)系常說(shuō)的三個(gè)“二次”即指二次函數(shù)、 一元二次方程和一元二次不等

2、式， 這三者之間有著密切的聯(lián)系， 這種聯(lián)系點(diǎn)可以成為高考中的命題點(diǎn) 處理其中某類(lèi)問(wèn)題時(shí)， 要善于產(chǎn)生對(duì)于另外兩個(gè)“二次”的聯(lián)想，或進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或幫助分析具體到解一元二次不等式時(shí)，就是要善于利用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解題分析， 要能抓住一元二次方程的根與一元二次不等式的解集區(qū)間的端點(diǎn)值的聯(lián)系2 解一元二次不等式的方法：(1)圖象法：先求不等式對(duì)應(yīng)方程的根，再根據(jù)圖象寫(xiě)出解集(2)公式法步驟：先化成標(biāo)準(zhǔn)型：ax2 bx c 0(或 0)，且 a0；計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；求對(duì)應(yīng)方程的根；利用口訣“大于零在兩邊，小于零在中間”寫(xiě)出解集3解絕對(duì)值不等式的基本思想1）解絕對(duì)值不等式的基本思想是去掉絕對(duì)值符

3、號(hào)，把帶有絕對(duì)值號(hào)的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值號(hào)的不等式求解，常采用的方法是討論符號(hào)和平方，例如：(1) 若 a 0，則 x a? a x a? x2 a2；(2) 若 a 0，則 x a? x a，或 x a? x2 a2；(3) |f(x)|<(x)?()<f(x)< () ；gg xg x(4)|f ( x)|>g( x) ?f ( x)> g( x) 或 f ( x)< g( x)( 無(wú)論 g( x) 是否為正 ) 常用的方法有：(1) 由定義分段討論；(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；(3) 平方2）常見(jiàn)絕對(duì)值不等式及解法：(1)|f(x)| (a0)

4、?f(x) a或f() a；ax(2)|f ( x)| a( a 0) ? af ( x) a；(3)|x 1|x 2| ()，用零點(diǎn)分區(qū)間法aab4 一般分式不等式的解法：f x 0(或 0)或 f x 0(或 0)(1)整理成標(biāo)準(zhǔn)型 g xg x(2)化成整式不等式來(lái)解： f x 0? f(x) ·g(x) 0 g x f x 0? f(x) ·g(x) 0 g x f x 0? f x ·g x 0g xg x 0 f x 0? f x ·g x 0g xg x 0(3)再討論各因子的符號(hào)或按數(shù)軸標(biāo)根法寫(xiě)出解集熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn) 1一元二次不等式

5、的解法題型 1.解一元二次不等式 例 1 不等式 x2x 的解集是 ()A ,0B .0,1C.1,D.,01,【解題思路】嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行 解析 由 x2x 得 x( x1) 0 , 所以解集為,01, 故選 D; 別解 : 抓住選擇題的特點(diǎn) , 顯然當(dāng) x2時(shí)滿足不等式 , 故選 D.【名師指引】解一元二次不等式的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二次方程的根題型 2.已知一元二次不等式的解集求系數(shù). 例 2 已知關(guān)于 x 的不等式 ax 22xc0的解集為 ( 1,1) ,求cx 22xa0的解集 .32【解題思路】由韋達(dá)定理求系數(shù)解析 由 ax 22xc0 的解集為 (1 , 1 ) 知 a0

6、,1 , 1為方程 ax22xc0的兩3232個(gè)根 , 由韋達(dá)定理得112,11c , 解得 a12, c2, cx22xa0 即32a32a2x22x 120 ,其解集為 (2,3) .【名師指引】 已知一元二次不等式的解集求系數(shù)的基本思路是,由不等式的解集求出根, 再由韋達(dá)定理求系數(shù)【新題導(dǎo)練】1.不等式（ a 2） x 2+2( a 2) -4 0,對(duì)一切 x R 恒成立，則 a 的取值范圍是（）A.（ - ,2B. （ -2,2C.（ -2,2）D.（ - ,2)解析：可推知 -2 a2,另 a=2 時(shí)，原式化為 -4 0，恒成立，-2 a2. 選 B2.關(guān)于 x 的不等式 ( m x

7、 -1)(x-2) 0，若此不等式的解集為 x | x2 ，則 m的取值范圍是A.m 0B.0 m 2C. m D.m 0解析：由不等式的解集形式知m 0. 答案： D考點(diǎn) 2含參數(shù)不等式的解法題型 1：解含參數(shù)有理不等式例 1：解關(guān)于 x 的一元二次不等式x2(3a)x3a0【解題思路】比較根的大小確定解集解析： x2(3a) x3a0 ， x3xa0當(dāng) a3時(shí), xa或 x3，不等式解集為x xa或 x 3；當(dāng) a3時(shí)，不等式為x 320 ，解集為 x xR且 x3 ；當(dāng) a 3時(shí), x 3或xa ，不等式解集為x x3或 xa【名師指引】解含參數(shù)的有理不等式時(shí)分以下幾種情況討論:根據(jù)二次

8、項(xiàng)系數(shù) (大于 0,小于0,等于 0);根據(jù)根的判別式討論(0,0,0).根據(jù)根的大小討論( x1 x2 , x1x2 , x1x2 ).題型 2：解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式例 2. 解不等式 log (1 1) 1(a 0, a1)ax【解題思路】借助于單調(diào)性進(jìn)行分類(lèi)討論110x解析 (1)當(dāng) a 1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組11ax由此得 1a 1 .因?yàn)?1 a 0，所以 x0，1 x 0.x1a110x(2)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：11ax由 得 x 1 或 x 0，由得0 x1，1 x1.11 aa綜上，當(dāng) a1時(shí)，不等式的解集是 x|1 x 0 ，當(dāng) 0 a 1 時(shí)，不等式的解集為1a1 x|1 x.1a【名師指引】 解指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般的不等式 ( 組 ) 來(lái)求解，當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論.【新題導(dǎo)練】