信號的頻域分析

1、 第第3章章 信號的頻域分析信號的頻域分析w 3.1 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 w 3.2 周期信號頻譜周期信號頻譜 w 3.3 非周期信號的頻譜密度非周期信號的頻譜密度w 3.4 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)w 3.5 周期信號的周期信號的傅里葉變換傅里葉變換w 3.6 系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析1 1、為什么對信號進(jìn)行頻域分析？、為什么對信號進(jìn)行頻域分析？2 2、將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的意義、將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的意義從信號分析的角度：從信號分析的角度：將信號表示為不同頻率正弦信號的將信號表示為不同頻率正弦信號的組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了較好的途

2、徑。組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了較好的途徑。從系統(tǒng)分析的角度：從系統(tǒng)分析的角度：已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下利用迭加特性可求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的響應(yīng)，而且可以看出每個正弦頻率通過系統(tǒng)后的變化。的響應(yīng)，而且可以看出每個正弦頻率通過系統(tǒng)后的變化。 3.1 周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號的傅里葉級數(shù)分析 周期信號：周期信號：周期信號是定義周期信號是定義在（在（-，）區(qū)間，每隔一）區(qū)間，每隔一定時間定時間T，按相同規(guī)律重復(fù)，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。變化的信號。它可表示為它可表示為式中式中m為任意整數(shù)

3、。時間為任意整數(shù)。時間T稱稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱為該信號的重復(fù)周期，簡稱周期。周期的倒數(shù)稱為該信周期。周期的倒數(shù)稱為該信號的頻率。號的頻率。 mTtftf周期信號周期信號由持續(xù)時間為一個周期的信號作周期性的延拓而形成的周期信號由持續(xù)時間為一個周期的信號作周期性的延拓而形成的周期信號周期信號特點(diǎn)：周期信號特點(diǎn)：它是一個無窮無盡變化的信號。它是一個無窮無盡變化的信號。當(dāng)在一個周期內(nèi)的信號確定后，若將其移動當(dāng)在一個周期內(nèi)的信號確定后，若將其移動T的整數(shù)倍，則信號的的整數(shù)倍，則信號的波形保持不變，它也可看成為將一個在周期波形保持不變，它也可看成為將一個在周期T內(nèi)所定義的信號作周內(nèi)所定義的信號作周期

4、性的延拓而形成期性的延拓而形成 在一個周期在一個周期T內(nèi)的時間積分是不變的，且與內(nèi)的時間積分是不變的，且與T的起始點(diǎn)的選擇無關(guān)，的起始點(diǎn)的選擇無關(guān)，即即 TbbTaadttfdttf3.1.1 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式 設(shè)有周期信號，它的周期是T，角頻率，它可分解為式中，稱為傅里葉系數(shù)，分別代表了信號的直流分量，余弦分量和正經(jīng)弦分量的振蕩幅度，其值分別由下式確定： tfT20 1000020102010sincos22sinsin2coscos2nnntnbtnaatbtbtataatfnnbaa,0 tf ,2, 1sin2,2, 1cos22220220220ntd

5、tntfTbntdtntfTadttfTaTTnTTnTT將式中同頻率的正弦和余弦項(xiàng)合并，則有將式中同頻率的正弦和余弦項(xiàng)合并，則有式中式中由式可見，由式可見，即是即是n的偶函數(shù)，是的偶函數(shù)，是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 1002021010cos22coscos2nnntnAAtataatf, 2 , 1, 2 , 12200nabarctgnbaAaAnnnnnnnnnn,AAnnnn,AAnAn直流分量直流分量基波或一次諧波基波或一次諧波二次諧波二次諧波3.1.2 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)含義比較明確，但運(yùn)算常感不三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)含義比較明確，

6、但運(yùn)算常感不便，因而常用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。根據(jù)歐拉公式便，因而常用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。根據(jù)歐拉公式:把上式代入式（把上式代入式（3.2.2），得到），得到tjntjntjntjneejtneetn000021sin21cos00 1010000000222222ntjnnntjnnnntjntjnntjntjnnejbaejbaajeebeeaatf令令又根據(jù)式（又根據(jù)式（3.2.3）可推知，從而有）可推知，從而有將代入式中可得將代入式中可得2nnnjbaFnnnnbbaab, 00220000ajbaF22nnnnnjbajbaFnnFFF,0 tjnnnntjnntjnnnntjnn

7、ntjnneFeFeFeFeFFtf0000010110即即這就是周期信號的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，它這就是周期信號的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，它比三角形式的傅里葉級數(shù)更為簡潔，但注意，式中比三角形式的傅里葉級數(shù)更為簡潔，但注意，式中的是個復(fù)系數(shù)，常稱為傅里葉系數(shù)，的是個復(fù)系數(shù)，常稱為傅里葉系數(shù)， tjnnneFtf0 tfnF dtetfTtdtntfjtdtntfTjbaFTTtjnTTTTnnn2222022001sincos12例例 求下列信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)的展開式求下列信號的指數(shù)形式傅立葉級數(shù)的展開式.ttttfttf6sin4cos2sin)()2(sin)()1(02 00222

8、00021 cos(2)111(1) ( )sin224411,24jtjttf tteeFF 因此傅立葉系數(shù)jFFjjFeejeeeejttttftjtjtjtjtjtj5 . 0,21,5 . 0212)(21)(21)(216sin4cos2sin)()2(3210664422 ，傅傅立立葉葉系系數(shù)數(shù)因因此此 3.1.3 函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 （1） 為偶函數(shù)為偶函數(shù)即偶信號的傅氏級數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng)即偶信號的傅氏級數(shù)不含正弦項(xiàng)，只含余弦項(xiàng)和直流項(xiàng) tf , 2 , 1 , 00cos4200nbdttntfTanTn , 2 , 1

9、 , 0arctan nmmabaAnnnnn為為整整數(shù)數(shù) )(tftf （2）為奇函數(shù)）為奇函數(shù) 即奇信號的傅氏級數(shù)不含余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)和直流項(xiàng)即奇信號的傅氏級數(shù)不含余弦項(xiàng)，只含正弦項(xiàng)和直流項(xiàng) , 2 , 10sin4200nadttntfTbnTn tftf tf, 2 , 1212nmmbAnnn為整數(shù) 注意：注意：任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即任意函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 式中式中 表示奇函數(shù)部分，表示奇函數(shù)部分， 表示偶函數(shù)部分。表示偶函數(shù)部分。有有 tftftfevod tfod tfev 22tftftftftftfevod（3） 為奇諧函數(shù)（半波像對

10、稱信號）為奇諧函數(shù)（半波像對稱信號）如果函數(shù)如果函數(shù) 的前半周期波形移動的前半周期波形移動T/2 后，與后半周期波形后，與后半周期波形對稱于橫軸，即滿足對稱于橫軸，即滿足 ，則這種函數(shù)稱為半波，則這種函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)或稱為奇諧函數(shù)。對稱函數(shù)或稱為奇諧函數(shù)。在這種情況下，其傅里級數(shù)在這種情況下，其傅里級數(shù)展開式中將只含有奇次諧波展開式中將只含有奇次諧波分量而不含偶次諧波分量，分量而不含偶次諧波分量，即有：即有： tf tf 2Ttftf0642420bbbaaa半波重疊信號半波重疊信號:就是其波形平移半個周期后所得出的波形與原波形重合的信就是其波形平移半個周期后所得出的波形與原波形重合的信號

11、，此時，其傅里葉級數(shù)展開式中將只含有偶次諧波分量而號，此時，其傅里葉級數(shù)展開式中將只含有偶次諧波分量而不含奇次諧波分量，故它被稱之為偶諧函數(shù)。即不含奇次諧波分量，故它被稱之為偶諧函數(shù)。即0531531bbbaaa【例【例3.1】 將圖示方波信號的展開為傅里葉級數(shù)。將圖示方波信號的展開為傅里葉級數(shù)。解解 : 按題意方波信號在一個周期內(nèi)的解析式為按題意方波信號在一個周期內(nèi)的解析式為 分別求得傅里葉系數(shù)分別求得傅里葉系數(shù) 202022TtEtTEtff(tf(t) )t t0 0T T-T-TE/2E/2-E/2-E/2nnEtntnTtdtnETtdtnETbtntnTtdtnETtdtnETaT

12、TTTnTTTTncos222coscosnE sin22sin220sinsinnE cos22cos2220002002000202000200200020即即故得信號的傅里葉級數(shù)展開式為故得信號的傅里葉級數(shù)展開式為它只含有一、三、五、它只含有一、三、五、等奇次諧波分量。等奇次諧波分量。 , 5 , 3 , 1sin15sin513sin31sin20000 ntnntttEtf 為偶數(shù)為奇數(shù)nnnEbn02【例【例3.2】 將圖示周期信號的展開為三角函數(shù)形式的傅里葉將圖示周期信號的展開為三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。級數(shù)。解解 因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以 在區(qū)間在區(qū)間 上的函數(shù)表達(dá)式為

13、上的函數(shù)表達(dá)式為,2, 1 ,0,0nan tf20Tt 20, 12TttTtf tft tf(tf(t) )T TT/2T/2-T-T-T/2-T/21 1-1-1故故 ,3,2, 1sin13sin312sin21sin2sin2sin00001010 ntnnttttnntnbtfnnn , 2 , 1,204cos1802cos124sin124sin4020020020200 nnTndttnnTTntntTTdttntTTdttntfTbTooTTn 【例【例3.3】 將圖示周期矩形脈沖信號的展開為復(fù)指數(shù)形將圖示周期矩形脈沖信號的展開為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。式的傅里葉級數(shù)。解解

14、 :由公式得：由公式得： TnTnTnnTdteTdtetfTFTtjntjnn sin22sin112002222000 T Tf(tf(t) )t t1 1-T-T/2/2-/2/2故故f(t)可表示為可表示為 tjnneTnTnTtf0sin 3.2 周期信號的頻譜周期信號的頻譜3.2.1 周期信號頻譜的特點(diǎn)周期信號頻譜的特點(diǎn) 周期信號可以分解成一系列正弦信號或指數(shù)信號之和，即周期信號可以分解成一系列正弦信號或指數(shù)信號之和，即 或或由上分析知：由上分析知：a.當(dāng)周期信號分解為傅里葉級數(shù)后，得到的是直流分量和無當(dāng)周期信號分解為傅里葉級數(shù)后，得到的是直流分量和無窮多正弦分量的和，從而可在頻域

15、內(nèi)方便地予以比較窮多正弦分量的和，從而可在頻域內(nèi)方便地予以比較b. “頻譜圖頻譜圖”就是可將其各頻率分量的振幅和相位隨頻率變就是可將其各頻率分量的振幅和相位隨頻率變化化的關(guān)系用圖形表示出來。頻譜圖包括幅度頻譜和相位頻譜。的關(guān)系用圖形表示出來。頻譜圖包括幅度頻譜和相位頻譜。c.習(xí)慣上常將振幅頻譜簡稱為頻譜。習(xí)慣上常將振幅頻譜簡稱為頻譜。 100cos2nnntnAAtf tjnnneFtf0圖3.3.1 周期信號的頻譜（a）單邊幅度譜 （b）雙邊幅度譜 （c）單邊相位譜 （d）雙邊相位譜周期信號振幅譜特點(diǎn)：周期信號振幅譜特點(diǎn)：（1）離散譜。）離散譜。（2）諧波性。）諧波性。（3）收斂性。）收斂性

16、。注意：注意：以三角函數(shù)形式表示的振幅與相位隨頻率變化的圖以三角函數(shù)形式表示的振幅與相位隨頻率變化的圖形稱為信號形稱為信號單邊頻譜圖單邊頻譜圖；以指數(shù)形式表示的虛指數(shù)函數(shù)的幅度與相位隨頻率以指數(shù)形式表示的虛指數(shù)函數(shù)的幅度與相位隨頻率變化的圖形稱為信號變化的圖形稱為信號雙邊頻譜圖雙邊頻譜圖?！纠纠?.2.1】 已知周期信號已知周期信號 的傅里葉級數(shù)表示式為的傅里葉級數(shù)表示式為 （1）求周期信號）求周期信號 的基波角頻率；的基波角頻率； （2）畫出周期信號）畫出周期信號 的單邊幅度譜和相位譜。的單邊幅度譜和相位譜。解解 由于傅里葉級數(shù)用統(tǒng)一的余弦（或正弦）表示，故需要由于傅里葉級數(shù)用統(tǒng)一的余弦（

17、或正弦）表示，故需要將相同頻率的正、余弦項(xiàng)合并成余弦項(xiàng)，也需要將正弦項(xiàng)將相同頻率的正、余弦項(xiàng)合并成余弦項(xiàng)，也需要將正弦項(xiàng)化成余弦項(xiàng)，即其中化成余弦項(xiàng)，即其中故周期信號故周期信號 可表示為可表示為 tf 001507cos303sin22sin42cos32tttttf tf tf000000000307cos1801507cos1507cos603cos90303cos303sin1 .532cos52sin42cos3ttttttttt 000307cos603cos21 .532cos52ttttf tf（1）求基波角頻率。）求基波角頻率。周期應(yīng)該是周期應(yīng)該是 的最小公倍數(shù)，故的最小公倍數(shù)

18、，故 ，基波角頻率基波角頻率 ，故，故 可以表示為可以表示為（2）根據(jù)上式，即可畫出周期信號的單邊幅度譜）根據(jù)上式，即可畫出周期信號的單邊幅度譜和相位譜和相位譜 tf72,32, 2TsradT/12 000307cos603cos21 .532cos52ttttf 000307cos603cos21 .532cos52 ttttf例例 已知周期信號已知周期信號f(t)=2cos(2t-3)+sin(6t),求傅立葉級數(shù)指數(shù)表示式，并畫出其頻譜求傅立葉級數(shù)指數(shù)表示式，并畫出其頻譜2,2, 5 . 03, 3, 15 . 0,5 . 0,5 . 05 . 02121)(2333111333131

19、66232366)32()32(0 FFeFFFjFjFeFeFejejeeeeejejeetfnjnnnjjtjtjtjjtjjtjtjtjtj與與相相角角表表示示，將將系系數(shù)數(shù)用用|F|Fn n| |0 0-0 03 3-3 31 10.50.5n n0 0-0 03 3-3 33 3-/2/2/2/23.2.2 周期矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜幅度為幅度為A，脈沖寬度為，脈沖寬度為，周期為，周期為T的的周期矩形脈沖信號，在一個周期內(nèi)可表示為周期矩形脈沖信號，在一個周期內(nèi)可表示為 2,02, ttAtf其復(fù)系數(shù)其復(fù)系數(shù)考慮到，上式也可表示為考慮到，上式也可表示為由此可得的指數(shù)形式的傅里

20、葉級數(shù)為由此可得的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為 ,2, 1,0,22sin100222200nnnTAdteTAdtetfTFtjntjnTTnT20, 2, 1, 0,sinnTnTnTAFn tjnneTnTnTAtf0sin取樣（抽樣）函數(shù)。它在通信理論中應(yīng)用很多，取樣（抽樣）函數(shù)。它在通信理論中應(yīng)用很多，是一個重要函數(shù)。該函數(shù)具有以下是一個重要函數(shù)。該函數(shù)具有以下特點(diǎn)：特點(diǎn)： 是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；當(dāng)時，是以為振幅的當(dāng)時，是以為振幅的“正弦函數(shù)正弦函數(shù)”，因因而對于而對于x的正負(fù)兩半軸都為衰減的正弦振蕩；的正負(fù)兩半軸都為衰減的正弦振蕩；在處，即，在處，即，而在處，有；而在處，有；。 xxxSasin xSa0 x 1xSax1, 3 , 2 , 1nnx0sinx 0 xSa0 x1sinlim0 xxx dxxSadxxSa,20則周期矩形脈沖的傅里葉復(fù)系數(shù)可改寫為則周期矩形脈沖的傅里葉復(fù)系數(shù)可改寫為222sin000nSaTAnnTAFnnFnF因此，的圖形與因此，的圖形與Sa(xSa(x) )的曲線相似。的曲線相似。n n只能取只能取0 0、1 12 2、，的頻譜圖形是圖中虛線的頻譜圖形是圖中虛線上的離散值，虛線稱為上的離散值，虛線稱為頻譜的包絡(luò)線，頻譜可頻譜的包絡(luò)線，頻譜可以看成是對包絡(luò)線的離以看成是對包絡(luò)線的離散抽樣。散抽樣。 圖為上述矩形脈沖的幅度譜