大學(xué)物理第04章_功和能

1、第第4章章 功和能功和能主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：.功功.動能定理動能定理.勢能勢能.引力勢能引力勢能.由勢能求保守力由勢能求保守力.機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律.守恒定律的意義守恒定律的意義.碰撞碰撞兩體問題兩體問題.流體的穩(wěn)定流動流體的穩(wěn)定流動4.1 4.1 功功 功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力功是度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。對空間積累作用。功的定義：功的定義： 在力在力 的作用下，的作用下，物體發(fā)生了位移物體發(fā)生了位移 ，則，則把力在位移方向的分力與把力在位移方向的分力與位移位移 的乘積稱為功。的乘積稱為功。FrrxyzO1rrFFcosWFrFr國際單位：國

2、際單位：焦耳焦耳（J ）NmabFrd 質(zhì)點(diǎn)由質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)沿曲線運(yùn)動到點(diǎn)沿曲線運(yùn)動到b點(diǎn)的過程中，變力點(diǎn)的過程中，變力 所所作的功作的功 。F元功：元功：rFWddbabarFrFWdcosd合力的功：合力的功：baWFrd dbanbabarFrFrFddd21結(jié)論：結(jié)論：合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功等于每個分力對質(zhì)點(diǎn)作功之代數(shù)和作功之代數(shù)和。12bnaFFFrd d在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xrbaWF drdddxyzxyzbbbxyzaaaF xF yF zdrdxidyjdzk dddbxyzaF iF jF k

3、xiyjzk在自然坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中 nnFF eF edrdsebaWF dr10ssF dsbn naF eF edse功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：功率：平均功率：平均功率：tWP瞬時功率：瞬時功率：tWtWPtddlim0瓦特（瓦特（W）= =（J/sJ/s）WPtd dd d附附:功率的定義：功率的定義：FvFrtd dd d設(shè)作用在質(zhì)量為設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力的物體上的力F = 6t N。如。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動，在頭果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動，在頭2（s）內(nèi)這力）內(nèi)這力作了多少功？作了多少功？ttmFa326taddv

4、tttad3ddv兩邊積分：兩邊積分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2 v20420249d236dttttxFWJ36Fma例例2：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦：光滑的水平桌面上有一環(huán)帶，環(huán)帶與小物體的摩擦 系數(shù)系數(shù) m m ，在外力作用下小物體（，在外力作用下小物體（質(zhì)量質(zhì)量 m ）以速率）以速率 v做勻做勻 速圓周運(yùn)動，求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。速圓周運(yùn)動，求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功。r小物體對環(huán)帶壓力小物體對環(huán)帶壓力rvmf2 走一段小位移走一段小位移 ds 所做的功所做的功2vdWmdsrm轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)一周22202rvWdWmdsmvrmm若桌面與小物

5、體的摩擦系數(shù)也為若桌面與小物體的摩擦系數(shù)也為 則轉(zhuǎn)一周摩擦力則轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功做的功? 若是均勻的直桿呢若是均勻的直桿呢?若是均勻的圓盤呢若是均勻的圓盤呢?4.2 4.2 動能定理動能定理 質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。質(zhì)點(diǎn)因有速度而具有的作功本領(lǐng)。221vmEk單位：（單位：（J J）設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用下沿在力的作用下沿曲線從曲線從a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到b點(diǎn)點(diǎn)WFrddddrdFab1質(zhì)點(diǎn)動能定理質(zhì)點(diǎn)動能定理cosFsd d)(21dd212221vvvvvvmmWW質(zhì)點(diǎn)的動能定理：質(zhì)點(diǎn)的動能定理：合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。合外力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。12212

6、22121kkEEmmWvvcosWFsddddcosFmamtd dd dvmd dv vmstd dd dd dv注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)：1、功雖然可以改變物體的動能，但功與動能、功雖然可以改變物體的動能，但功與動能還是有區(qū)別的，功是過程量，動能是狀態(tài)量。還是有區(qū)別的，功是過程量，動能是狀態(tài)量。2、動能定理適用于慣性系，功與動能的關(guān)系、動能定理適用于慣性系，功與動能的關(guān)系成立是參考與同一個慣性系而言。成立是參考與同一個慣性系而言。2質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系的動能定理 iFif一個由一個由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，考察第i個質(zhì)點(diǎn)。個質(zhì)點(diǎn)。 質(zhì)點(diǎn)的動能定理：質(zhì)點(diǎn)的動能定理： ii

7、EE1k2k內(nèi)外iiWW對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和對系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW 質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和質(zhì)點(diǎn)系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。內(nèi)力作功之代數(shù)和。 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。的總動能。 例例3 如圖所示，用質(zhì)量為如圖所示，用質(zhì)量為M的鐵錘把質(zhì)量為的鐵錘把質(zhì)量為m 的釘子的釘子敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深敲入木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入度成正比。在鐵錘敲打第一次時，能夠把釘子敲入1cm

8、深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完深，若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？全相同，問第二次能把釘子敲入多深？1S2SxO設(shè)鐵錘敲打釘子前的設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為速度為v0，敲打后兩者的共同速敲打后兩者的共同速度為度為v。 vv)(0mMMmMM0vv鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設(shè)釘子所受阻力大小為：力大小為： kxf由動能定理，由動能定理， 有：有：2102021d2101kSxkxmSv0vv ,mMSSSxkxm11d21020v設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為S

9、，則有，則有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化簡后化簡后第二次能敲入的深度為：第二次能敲入的深度為： cm41. 0cm1) 12(211SSS礦砂由料槽均勻落在水平傳送帶上礦砂由料槽均勻落在水平傳送帶上,砂流量砂流量q=50kg/s,傳送帶勻速移動傳送帶勻速移動v=1.5m/s,求電動機(jī)拖動皮帶的功率求電動機(jī)拖動皮帶的功率,看是看是否等于單位時間內(nèi)砂獲取的動能否等于單位時間內(nèi)砂獲取的動能?pf vftm v 2113pqvW砂受到砂受到f作用作用,同樣皮帶也受到反作用力同樣皮帶也受到反作用力,其大小等于其大小等于f,方向相反方向相反!212KEmvmfvqvt

10、56.5KEWPt如圖傳送機(jī)通過滑道將長為如圖傳送機(jī)通過滑道將長為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的柔軟勻的柔軟勻質(zhì)物體以初速度質(zhì)物體以初速度v0向右送上水平臺面向右送上水平臺面,物體前端在臺面上物體前端在臺面上滑動滑動s后停下后停下,已知滑道上的摩擦可以不計(jì)已知滑道上的摩擦可以不計(jì),物體與臺面的物體與臺面的摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為 ,而且而且sL,試求物體的初速度試求物體的初速度v0。(0)mfgxxLLm設(shè)物體在臺面上滑動設(shè)物體在臺面上滑動時，在其上的長度為時，在其上的長度為x，則所受摩擦力可，則所受摩擦力可表示為：表示為：v0 xLsL()fmgLxm當(dāng)物體前端在當(dāng)物體前端在s處停下來時，臺面對物體的摩

11、擦力所做處停下來時，臺面對物體的摩擦力所做的功：的功：0sfWf dxfdx 由動能定理：由動能定理：0()()LsLmgxdxmgdxLmm ()()22LLmgsLmg smm 20102fWmv02()2Lvg sm一對力的功一對力的功 系統(tǒng)內(nèi)力總是成對出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)力總是成對出現(xiàn)1211222212()ffWfrfrfrrfr 相對一對力所做的功，等于一對力所做的功，等于其中一個物體所受的力其中一個物體所受的力沿兩個物體相對移動的沿兩個物體相對移動的路徑所做的功。路徑所做的功。OA1A2B1B2r1r2r21f1f2r1r2RMm內(nèi)力與相對位移總垂內(nèi)力與相對位移總垂直，故內(nèi)力所做的功直，故

12、內(nèi)力所做的功總和為零?？偤蜑榱恪?.3 4.3 勢能勢能（1）重力的功）重力的功bzazxyzOabrgm),(aaazyxa初始位置初始位置),(bbbzyxb末了位置末了位置baabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd 重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置重力做功僅取決于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置z za a和和z zb b，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的具體路徑無關(guān)。 （2） 萬有引力作功萬有引力作功 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)在在M 的引力場中從的引力場中從a a點(diǎn)運(yùn)點(diǎn)運(yùn)動到動到b b點(diǎn)。點(diǎn)。rerMmGF20ba

13、rrrrerMmGWd20cosrerrddrrdrrd crdMabarbrr dbarrrrMmGrrMmGWba11d020 萬有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而萬有引力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。與具體路徑無關(guān)。 （3）彈性力的功）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxi xikxxFW22212121kxkxW 彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，彈性力作功只與彈簧的起始和終了位置有關(guān)，而與彈性變形的過程無關(guān)。而與彈性變形的過程無關(guān)。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有

14、關(guān)的力。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。保守力沿任何閉合路徑作功等于零。0drF設(shè)保守力沿閉合路徑設(shè)保守力沿閉合路徑acbda作功作功abcd按保守力的特點(diǎn)：按保守力的特點(diǎn)：因?yàn)椋阂驗(yàn)椋核裕核裕篴dbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacbWWWWW物體在保守力場中物體在保守力場中a、b兩點(diǎn)的勢能兩點(diǎn)的勢能Epa與與 Epb之差，等之差，等于質(zhì)點(diǎn)由于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到b點(diǎn)過程中保守力所做的功點(diǎn)過程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量稱為勢能勢能（E Ep p）（1

15、）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。（2）（3）勢能的零點(diǎn)可以任意選取。）勢能的零點(diǎn)可以任意選取。 設(shè)空間設(shè)空間r0點(diǎn)為勢能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn)點(diǎn)為勢能的零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn) r的勢能為：的勢能為：orropprFrErErEd)()()( 空間某點(diǎn)的勢能空間某點(diǎn)的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動到勢能零點(diǎn)時保守力做的功。點(diǎn)移動到勢能零點(diǎn)時保守力做的功。mghEp（地面（地面（h = 0= 0）為勢能零點(diǎn)）為勢能零點(diǎn)）221kxEp（彈簧自由端為勢能零點(diǎn)）（彈簧自由端為勢能零點(diǎn)）rMmGEp0（無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)）（無限遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)）4.4 引力勢能引力勢

16、能barrrrMmGrrMmGWba11d020令令r時，時，Ep=0，則，則12pm mEGr 例例6. 假設(shè)地球?yàn)橘|(zhì)量均勻分布的球體假設(shè)地球?yàn)橘|(zhì)量均勻分布的球體,計(jì)算必須供給多計(jì)算必須供給多少能量才能把地球完全拆散少能量才能把地球完全拆散(萬有引力常數(shù)為萬有引力常數(shù)為G, 地球質(zhì)地球質(zhì)量量me, 半徑為半徑為R).解：解：pm dmdEGr 地殼Rrdr將地球拆分成厚度為將地球拆分成厚度為dr的的球殼球殼, 該球殼與內(nèi)球構(gòu)成的該球殼與內(nèi)球構(gòu)成的系統(tǒng)勢能為：系統(tǒng)勢能為：343mr地24dmr dr殼334emR320443Rpprr drEdEGr()235eGmR 保守力與勢能的積分關(guān)系：

17、保守力與勢能的積分關(guān)系：pEW保守力與勢能的微分關(guān)系：保守力與勢能的微分關(guān)系：pEWddzFyFxFrFWzyxddddddppppEEEExyzxyzddd4.5 由勢能求保守力由勢能求保守力所以：所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式：保守力的矢量式： 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系保守力沿各坐標(biāo)方向的分量，在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值，其方向指向勢能降低的方向。指向勢能降低的方向。 結(jié)論：結(jié)論：例例7. 某雙原子分子的原子間相互作用勢能函數(shù)如下所述某雙原子分子的原子間相互作用

18、勢能函數(shù)如下所述,其中其中A,B為常量為常量,x為兩原子的間距為兩原子的間距,試求原子間相互作用試求原子間相互作用力的函數(shù)式及相互作用力為零時的距離力的函數(shù)式及相互作用力為零時的距離.解：解：( )126p xABExx( )p xxdEFdx 137126ABxx 13726 ()ABxx16137220()xABAFxxxB將將X換成換成r,情況又是什么樣情況又是什么樣?4.6 4.6 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律21ppWEE 保內(nèi)12kkEE外內(nèi)WW質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：質(zhì)點(diǎn)系的動能定理：非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)WWW其中其中12kkEEWWW非保內(nèi)保內(nèi)外 2211WWEEEEkpkp外非保內(nèi)pkEE

19、E機(jī)械能12EEWW非保內(nèi)外 質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理0外W如果如果0非保內(nèi)W，pkEEE恒量 當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)當(dāng)系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質(zhì)點(diǎn)系的總機(jī)械能保持不變。械能保持不變。機(jī)械能守恒定律 注意：（1 1）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于）機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能作功。非慣性系。這是因?yàn)閼T性力可能作功。（2 2）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性）在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定

20、守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參系中機(jī)械能不一定守恒。這是因?yàn)橥饬Φ墓εc參考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但考系的選擇有關(guān)。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。在另一參考系中外力功也許不為零。例例8. 8. 計(jì)算第一，第二宇宙速度計(jì)算第一，第二宇宙速度已知：地球半徑為已知：地球半徑為R，質(zhì)量，質(zhì)量為為M，衛(wèi)星質(zhì)量為，衛(wèi)星質(zhì)量為m。要使。要使衛(wèi)星在距地面衛(wèi)星在距地面h高度繞地球高度繞地球作勻速圓周運(yùn)動，求其發(fā)作勻速圓周運(yùn)動，求其發(fā)射速度。射速度。解：解：設(shè)發(fā)射速度為設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動速度為，繞地球的運(yùn)動速度為v。機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：hRMmGmRMmGm2

21、212121vvRMm由萬有引力定律和牛頓定律：由萬有引力定律和牛頓定律：hRmhRMmG22v解方程組，得：解方程組，得：hRGMRGM21v2RmMGmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109 . 7smgRv2. 第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度（1）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少 等于零。等于零。由機(jī)械能守恒定律：由機(jī)械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102 .11222vvgRRGM（2）

22、脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。如圖在水平面上有一輕質(zhì)彈簧，一端固定，另一端如圖在水平面上有一輕質(zhì)彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為系一質(zhì)量為m的小球。彈簧勁度系數(shù)為的小球。彈簧勁度系數(shù)為k，最初靜止于其，最初靜止于其自然長度自然長度l0。現(xiàn)有一質(zhì)量為?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m1的子彈，沿水平方向垂直于的子彈，沿水平方向垂直于彈簧軸線以速度為彈簧軸線以速度為v0射中小球而不復(fù)出，求此后當(dāng)彈簧射中小球而不復(fù)出，求此后當(dāng)彈簧長度為長度為l時，小球速度時，小球速度v的大小和它的方向與彈簧軸線一的大小和它的方向與彈簧軸線一夾角夾角?1 01()xm vmm vL0v0vl

23、子彈射入小球瞬間子彈射入小球瞬間, 子彈子彈與小球組成的系統(tǒng)只受與小球組成的系統(tǒng)只受內(nèi)作用內(nèi)作用,故動量守恒故動量守恒!運(yùn)動過程中運(yùn)動過程中,子彈子彈,小球小球,彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒!O222110111()0()()222xmm vmm vk ll運(yùn)動過程中運(yùn)動過程中,子彈與小球只受到有心力的作用子彈與小球只受到有心力的作用, 故對故對O點(diǎn)而言點(diǎn)而言,系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒!101()()sinxmm l vmm lv222100211()()()m vkvllmmmm1 0 01arcsin()mv lmm vl4.7 守恒定律的意義守恒定律的意義守恒定律

24、與對稱性有關(guān)守恒定律與對稱性有關(guān)動量守恒動量守恒空間平移對稱性空間平移對稱性角動量守恒角動量守恒空間轉(zhuǎn)動對稱性空間轉(zhuǎn)動對稱性能量守恒能量守恒時間平移對稱性時間平移對稱性4.84.8碰撞碰撞 兩個或兩個以上的物體在運(yùn)動中兩個或兩個以上的物體在運(yùn)動中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為為碰撞碰撞。 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO動量守恒動量守恒2211202101vvvvmmmm完全彈性完全彈性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失的機(jī)械能沒有損失。 非彈性碰撞非彈性碰撞：

25、碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的機(jī)械能有損失的機(jī)械能有損失。 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞：碰撞碰撞后物體后物體系統(tǒng)系統(tǒng)的機(jī)械能有損失的機(jī)械能有損失，且且碰撞后碰撞后物體物體以同一速度運(yùn)動以同一速度運(yùn)動。 1. 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1) 如果如果m1= m2 ，則，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體即兩物體在碰撞時速度在碰撞時速度發(fā)生了發(fā)生了交換交換。 (2) 如果如果v20 =0 , 且且 m2 m1, 則則v1 = - v10, v2 = 02完全完全非非彈性碰撞彈性碰撞 2120