復變函數(shù)與積分變換期末總復習

1、1第一章 復數(shù)與復變函數(shù)1. 復數(shù)代數(shù)運算復數(shù)代數(shù)運算2. 復數(shù)的各種表示法復數(shù)的各種表示法3. 乘冪與方根運算公式乘冪與方根運算公式4. 復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域區(qū)域22117310,.xxxxx 已知求的值例例2 2解解),1)(1(123 xxxx因為因為, 012是一個三次單位根故而xxx1,37211 xxxxx從而從而. 0123711xxxxx所以3211,1.nn設 是任意一個不等于 的 次單位根 求的值例例3 3解解1 n 因為因為121 n 所以所以. 011 n424(49 )0.zizi解方程例例4 4解解. 0)94(4)2(4

2、22 iiizz原方程為原方程為iiz9)2(2 即即iiz92 于是于是1 , 0,222sin222cos3 kkik,22322231iz 故故.22322232iz 5; 0)(I)1(m z;)(I)2(m z例例5 5 滿足下列條件的點組成何種圖形滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)是不是區(qū)域域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解解 是實數(shù)軸是實數(shù)軸,不是區(qū)域不是區(qū)域.0)(Im zxyO 是以是以 為界的帶形單連通區(qū)為界的帶形單連通區(qū) 域域. , y y解解 )(Imz6622)3( zz 是以是以 為焦點為焦點,以以3為半為半

3、長軸的橢圓閉區(qū)域長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)它不是區(qū)域域.2 32,32arg3)4( zz且且 不是區(qū)域，因為圖中不是區(qū)域，因為圖中32arg,3arg zz解解解解在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.oy23xoxy 3 2 2 37例例6 6 函數(shù)函數(shù) 將將 平面上的下列曲線變成平面上的下列曲線變成 平平面上的什么曲線？面上的什么曲線？zw1 zw22(1)9, (2)2xyx解解9 222 zyx因為因為又又iyxzw 11于是于是iyxivuw9191 yvxu91,91 91)(8112222 yxvu表示表示 平面上的圓平面上的圓.w22yxiyx ),(91iyx (1)8

4、. 2)2( x解解iyiyxz 2因為因為iyzw 211所以所以224,42yyvyu 22222)4(4yyvu 因因為為02 22 uvu所所以以表示表示 平面上以平面上以 為圓心，為圓心， 為半徑的圓為半徑的圓.w 0,4141ivuyiy 242,2412uy 1614122 vu9第二章 解析函數(shù)1. 解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念；2. 函數(shù)解析性的判別（函數(shù)解析性的判別（C-R方程）方程）3. 幾個常用初等函數(shù)幾個常用初等函數(shù)103.初等解析函數(shù)1)1)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù).)sin(cos.的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)為為稱稱設設zyiyeeiyxzxz 定義定義; 0, 0,)( z

5、xzeeeza則則對任意復數(shù)對任意復數(shù)性質(zhì)性質(zhì);)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上處處解析平面上處處解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以iedz 11 2)三角函數(shù).,2cos.,2sin余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)定義定義稱為稱為稱為稱為izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zz 性質(zhì)性質(zhì).cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(為周期為周期以以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都

6、12(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz .cossintan正切函數(shù)正切函數(shù)定義定義稱為稱為zzz .cos,sin, 1cossin)5(22不是有界函數(shù)不是有界函數(shù)但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì).tan)tan(:tan)2(zzz 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以 13其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義,sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1ec zzs 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割

7、函數(shù).cos1)(tantan)3(2zzz 在解析區(qū)域有在解析區(qū)域有 143 3）對數(shù)函數(shù)）對數(shù)函數(shù).Ln , )( )0( zwzfwzzew 記為記為稱為對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)滿足方程滿足方程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的數(shù)數(shù)稱為對數(shù)函稱為對數(shù)函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz15. . , , , , 的一個分支的一個分支稱為稱為可確定一個單值函數(shù)可確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的對于每一個固定的zkLn;Ln )1(是一個無窮

8、多值的函數(shù)是一個無窮多值的函數(shù)z性質(zhì)性質(zhì);LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 則則設設且且處解析處解析處處實軸外實軸外在平面上除去原點和負在平面上除去原點和負,ln, )3(z.1)(lnzz 164)4)冪函數(shù)冪函數(shù):, 0,的冪函數(shù)的冪函數(shù)用下列等式定義用下列等式定義對于對于是任意復數(shù)是任意復數(shù)設設zz 定義定義).0(Ln zezwz . 0,0, zz時時補充規(guī)定補充規(guī)定是正實數(shù)時是正實數(shù)時當當;,lnLn., )1(ln的主值的主值稱為冪函數(shù)稱為冪函數(shù)時時取主值取主值當當是一個無窮多值函數(shù)是一個無窮多值函數(shù)一般說來一般說來 zezzz

9、zz 性質(zhì)性質(zhì).)()2(1 zz17典型例題.)(33僅在原點有導數(shù)僅在原點有導數(shù)證明函數(shù)證明函數(shù)iyxzf 例1例1證證zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx. 00)(處的導數(shù)為處的導數(shù)為在在故故 zzf.在在再證其他處的導數(shù)不存再證其他處的導數(shù)不存18)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0yyz 030300)()(xxxxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0 xxz )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 當當.)(, 000

10、的導數(shù)不存在的導數(shù)不存在否則否則故除非故除非zfyx )(3020 xxx當當19例例2 2 函數(shù)函數(shù) 在何處在何處可導，何處解析可導，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導上可導.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上處處上處處在直線在直線由解析函數(shù)的定義知由解析函數(shù)的定義知 yzf故故 在復平面上處處不解析在復平面上處處不解析.)(zf時，時，當且僅當當且僅當21 y20例例3 3 設設 為解析函數(shù)，求為解析函數(shù)，求

11、 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設設ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba21 設設 為為 平面上任意一定點平面上任意一定點,000iyxz z0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時,有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzz

12、zfzf 2 解解例例4 4 研究研究 的可導性的可導性.zzzfRe)( 22)(01)()(000yyizzzfzf , 1 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時,有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知處不可導且由處不可導且由在在故故00)(zzzf例例4 4 研究研究 的可導性的可導性.zzzfRe)( .)(處處處處不不可可導導zf23例例5 5 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k24例例6 6 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2

13、 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k25解解例例7 7 試求試求 函數(shù)值及其主值函數(shù)值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1( 2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieii 2ln24242lnkike26 第三章 復變函數(shù)的積分1. 復積分的計算公式及基本性質(zhì)復積分的計算公式及基本性質(zhì)2.復積分的基本定理復積分的基本定理 3.柯西積分公式與高階導數(shù)公式柯西積分公式與高階

14、導數(shù)公式27積分存在的條件及計算（1 1）化成線積分）化成線積分且且存在存在則積分則積分連續(xù)連續(xù)沿逐段光滑的曲線沿逐段光滑的曲線設設,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用參數(shù)方程將積分化成定積分）用參數(shù)方程將積分化成定積分的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是設簡單光滑曲線設簡單光滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則284. 積分的性質(zhì);d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數(shù)為常數(shù)kzzfkzzkfC

15、C ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續(xù)連續(xù)沿曲線沿曲線設設Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結(jié)而成連結(jié)而成由由設設 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上滿足上滿足在在函數(shù)函數(shù)的長度為的長度為設曲線設曲線29 柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理(柯西積分定理柯西積分定理) . d)( , )( 無關(guān)無關(guān)線線與連結(jié)起點及終點的路與連結(jié)起點及終點的路那末積分那末積分析析內(nèi)處處解內(nèi)處處解在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)定理1定理1CzzfBzfC . 0d)(

16、 : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內(nèi)的任何一條封閉曲線內(nèi)的任何一條封閉曲線沿沿那末函數(shù)那末函數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)30 閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區(qū)域全含于為邊界的區(qū)域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內(nèi)部的簡單閉曲線內(nèi)部的簡單閉曲線是在是在內(nèi)的一條簡單閉曲線內(nèi)的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設設 , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 復合閉路定理復合閉路定理 一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲一個解析

17、函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末那末31). , , , , :( , , , , 2121順時針進行順時針進行按按按逆時針進行按逆時針進行其方向是其方向是組成的復合閉路組成的復合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf32柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內(nèi)任一點內(nèi)任一點為為于于它的內(nèi)部完全含它的內(nèi)部完全含閉曲線閉曲線內(nèi)的任何一條正向簡單內(nèi)的任

18、何一條正向簡單為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值平均值.則有則有是圓周是圓周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf33 高階導數(shù)公式. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域為在函數(shù)為在函數(shù)其中其中導數(shù)為導數(shù)為階階它的它的的導數(shù)仍為解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析

19、函數(shù) 34. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域為區(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導數(shù)有二階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實變函數(shù)如果二元實變函數(shù)DyxyxDyx 調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù) 任何在任何在 D 內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù), ,它的實部和虛部它的實部和虛部都是都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).35. . , , 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為和函數(shù)中和函數(shù)中的兩個調(diào)的兩個調(diào)內(nèi)滿足方程內(nèi)滿足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),( , ),( 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)內(nèi)構(gòu)

20、成解析函數(shù)的調(diào)和內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和在在們把使們把使我我內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域為區(qū)域設設yxuyxvDivuDyxu 定理定理 區(qū)域區(qū)域D D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù). . 共軛調(diào)和函數(shù)36 典型例題例例1 1 計算計算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(

21、10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 37zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 說明說明 同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.38.10,d)1 (3光滑曲線的閉與是不經(jīng)過其中計算CzzzeCz例5例5解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也不包含也不包含既不包含既不包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)1C,)1()(3內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古薩基本

22、定理得古薩基本定理得由柯西由柯西39則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得由柯西積分公式得內(nèi)解析內(nèi)解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 40則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在Czezfz 由高階導數(shù)公式得由高階導數(shù)公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie 41, 01)4又包含又包含既包含既包含若封閉曲線若封閉曲線C,0,1

23、 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內(nèi)內(nèi)也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以CCCCCCC 據(jù)復合閉路定理有據(jù)復合閉路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C42 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的結(jié)果的結(jié)果即為即為而積分而積分43解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 z

24、zeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數(shù)的自然數(shù).n 例6 計算下列積分所以所以的奇點的奇點和和是是因為因為,10nznzezz 44).,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及解析函數(shù)及解析函數(shù)軛調(diào)和函數(shù)軛調(diào)和函數(shù)求其共求其共已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù)例7例7解法一解法一 不定積分法不定積分法. 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又45,2)(2:yxygx 比較兩式可得比較兩式可得.)(yyg

25、 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222為任意常數(shù)為任意常數(shù)因此因此CCyxxyv 因而得到解析函數(shù)因而得到解析函數(shù)),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 46解解xuyv 因為因為yyxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因為因為)666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(. 0)0( f例8 已知 求解析函數(shù) ,

26、使符合條件,312322yxyx 47)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0( f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),(且且, 0 C48第四章 級 數(shù)1、復數(shù)列、復級數(shù)收斂充要條件、復數(shù)列、復級數(shù)收斂充要條件2、冪級數(shù)收斂半徑求法冪級數(shù)收斂半徑求法3、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)49,! 21)1(02 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn常見函數(shù)的泰勒展開式)1( z)1( z)(

27、z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz50,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6(132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7(zzzz ,!)1()1( nznn )1( z51根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .(2) 間接展開法間接展開法將函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法(1) 直接展開法直接展開法,d)()(2110 Cn

28、nzfic 根據(jù)洛朗定理求出系數(shù)根據(jù)洛朗定理求出系數(shù).)()(0nnnzzczf 然后寫出然后寫出52典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.;21)1(1 nnin解解 11 nn因為因為發(fā)散，發(fā)散， 121nn收斂，收斂，. 21 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nnin53典型例題典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.;251)2(1 nni解解,226251 nni 因為因為, 0226lim nn. 251 1發(fā)散發(fā)散所以所以 nni54;)3(1 nnni解解 541321 1iiininn因為因為 614121,51311 i . 1收斂收斂故故 nnni收斂收

29、斂收斂收斂典型例題典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.55.)32(1)4(1 nni解解 ,)32(1nni 設設innnn321limlim 1 因為因為131 , 1 由正項級數(shù)的比值判別法知由正項級數(shù)的比值判別法知 1)32(1nni絕對收斂絕對收斂.典型例題典型例題例例1 1 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性.56例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑.)4(!) 3(!)2() 1 (100022kknnnnnnzznnznz解解nnncc1lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)!1(

30、!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得57 12)4(kkz ., 1;, 0,22knknCn即即因為級數(shù)是缺項級數(shù)因為級數(shù)是缺項級數(shù), 1lim1 nnnCR故故. 1 R58分析：分析：采用間接法即利用已知的展開式來求采用間接法即利用已知的展開式來求.解解)(21cos izizzzeeeze 因為因為21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z解析函數(shù)展為冪

31、級數(shù)的方法解析函數(shù)展為冪級數(shù)的方法59nnininnzzeenze 044!)2(21cos 所所以以.4cos!)2(0nnnznn )( z由于由于,214iei ;214iei 60例例7 7. 1 )1(1 3內(nèi)的泰勒展開式內(nèi)的泰勒展開式在在求函數(shù)求函數(shù) zz分析：分析：利用逐項求導、逐項積分法利用逐項求導、逐項積分法.解解 )1(21)1(1 13zz因為因為)1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z61例例9 9. 0 )1)(3(785)( 2234的泰勒展開式的泰勒展開式在點在點求求 zzzzzzzzf分析分

32、析:利用部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法利用部分分式與幾何級數(shù)結(jié)合法. 即把函數(shù)即把函數(shù)分成部分分式后分成部分分式后, 應用等比級數(shù)求和公式應用等比級數(shù)求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z62 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1(0 )1( z故故2)1(1322)( zzzzf,) 1()1 (1112 nnnznz)1( z兩端求導得兩端求導得63nnnnnnznzz)1()1(3122001 zzzznnn213129232221 nnnzn) 1() 1(2 nn

33、nnznz 2132)1()1(921312)1( z64, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z nzznzzzez!1! 2111 2212所以所以.!1! 31! 2122 nznzzz 0! nnznze因為因為例例1010. 0 12的去心鄰域的洛朗級數(shù)的去心鄰域的洛朗級數(shù)在在求求 zezz解解,!101 nnzzne65例例11111 ( ) ()(2).fzziz將在 下 列 圓 環(huán) 域 內(nèi)展 開 成 洛 朗 級 數(shù), 21)1( z.2)2( z解解, 21 )1(內(nèi)內(nèi)在在 z有有. 12, 1 zzi )2)(1)(zizzf zizi2112166 21211121zzizi 00112)(2

34、1nnnnnnzzii.221)(210110 nnnnnnzizii, 2 )2(內(nèi)內(nèi)在在 z12, 1 zzi 21121)( zizizf故故67 zzzizi2111121 00112)(21nnnnnnzzii .2)(2101 nnnnzii 同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同的是不同的.68, 1 時時在在 z zzzzzf111) 1(1)(2 zzz11111 211111zzzz解解例例1212.)1(1)(, 3 , d)( 2 zzzfzCzzfC且且周周為正向圓為正向圓其中其中的值的值求積分求積分69 d)()(21 1

35、0 CnnzfiC因因為為 d )(21 1 CfiC所所以以12d )( iCzzfC. 0d)1(12 zzzC故故 4323211zzzz 4321zz70 第五章 留 數(shù)1、孤立奇點的判別、孤立奇點的判別2、留數(shù)的計算與留數(shù)定理留數(shù)的計算與留數(shù)定理711）定義定義 如果如果函數(shù)函數(shù))(zf0z在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的孤立奇點的孤立奇點. 孤立奇點的概念與分類孤立奇點孤立奇點奇點奇點2）孤立奇點的分類孤立奇點的分類依據(jù)依據(jù))(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00

36、zz內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點可去奇點; ii) 極點極點; iii) 本性奇點本性奇點.72定義定義 如果洛朗級數(shù)中不含如果洛朗級數(shù)中不含 的負冪項的負冪項, 那末那末0zz 0z)(zf孤立奇點孤立奇點 稱為稱為 的可去奇點的可去奇點. i) 可去奇點73ii) 極點極點 01012020)()()()(czzczzczzczfmm 0, 1 mcm )(01zzc, )()(1)(0zgzzzfm 0zz 定義定義 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的的10)( zz,)(0mzz 負冪項負冪項, 其中關(guān)于其中關(guān)于的最高冪為的最

37、高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的或?qū)懗苫驅(qū)懗?4極點的判定方法極點的判定方法0z在點在點 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)mzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg)(zf的負冪項為有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.(a) 由定義判別由定義判別(b) 由定義的等價形式判別由定義的等價形式判別(c) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .75如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)

38、(zf的本性奇點的本性奇點.的負冪項的負冪項,注意注意: 在本性奇點的鄰域內(nèi)在本性奇點的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不不存在且不為為. iii)本性奇點76i) 零點的定義零點的定義 不恒等于零的解析函數(shù)不恒等于零的解析函數(shù))(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z解析且解析且m為某一正整數(shù)為某一正整數(shù), 那末那末0z稱為稱為)(zf的的 m 級零點級零點. 3)函數(shù)的零點與極點的關(guān)系ii)零點與極點的關(guān)系零點與極點的關(guān)系如果如果0z是是)(zf的的 m 級極點級極點, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 級零點級零點. 反

39、過來也成立反過來也成立.77 2. 留數(shù)記作記作.),(Res0zzf域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)中中負負.)(101的的系系數(shù)數(shù)冪冪項項 zzc為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)在在即即0)(zzf定義定義 如果如果)(0zfz 為為函函數(shù)數(shù)的一個孤立奇點的一個孤立奇點, 則沿則沿Rzzz 000的的某某個個去去心心鄰鄰域域在在內(nèi)包含內(nèi)包含0z的的任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數(shù)稱為后所得的數(shù)稱為.)(0的的留留數(shù)數(shù)在在zzf以以781)留數(shù)定理留數(shù)定理 設函數(shù)設函數(shù))(zf在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤內(nèi)除有限個孤nzzz,21外處處解

40、析外處處解析, C 是是 D內(nèi)包圍諸奇內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線點的一條正向簡單閉曲線, 那末那末 nkkCzzfizzf1),(Res2d )(立奇點立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).79(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點, 則則. 0),(Res0 zzf)()(lim),(Res0000zzfzzzzfzz 如果如果 為為 的一級極點的一級極點, 那末那末0z)(zf a) (2) 如果如果0z為為的本性奇點的本性奇點, 則需將則需將成洛朗級數(shù)求成洛朗級數(shù)求1 c

41、)(zf)(zf展開展開(3) 如果如果0z為為的極點的極點, 則有如下計算規(guī)則則有如下計算規(guī)則)(zf2)留數(shù)的計算方法80 c)設設,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那末0z為一級極點為一級極點, 且有且有都解析，都解析，.)()(),(Res000zQzPzzf 如果如果 為為 的的 級極點級極點, 那末那末0z)(zfm)()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz b)81.),(Res1 Czf也可定義為也可定義為 Czzfid)(21記作記作 Czzfizfd)(21),(Res1.定義定義 設函數(shù)設函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z0內(nèi)解析內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分那末積分值為值為)(zf在在 的留數(shù)的留數(shù).的值與的值與C無關(guān)無關(guān) , 則稱此定則稱此定 Czzfid)(21