時間序列預(yù)測法2

1、第四章第四章 時間序列預(yù)測法時間序列預(yù)測法預(yù)測與決策技術(shù)預(yù)測與決策技術(shù)李李 時時 時間序列，是指一組按時間先后順序排列的同一現(xiàn)象的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和市場行情總是隨著時間的推移而變動的。經(jīng)濟(jì)研究或企業(yè)管理部門要掌握經(jīng)濟(jì)活動或行情的變化情況及趨勢，要對未來作出科學(xué)的預(yù)測和決策，就需要及時了解和分析與時間有關(guān)的一系列統(tǒng)計資料。按慣性原則，從一組時間序列過去變化規(guī)律的分析來推斷今后變化狀況或趨勢的方法，就稱為時間序列預(yù)測法。這種方法簡便易行，不用分析其影響因素，只利用被預(yù)測量本身的歷史數(shù)據(jù)。主要用于那些分析影響因素比較困難或相關(guān)變量資料難于獲得的場合。由于這種方法是建立在歷史規(guī)律引伸的基礎(chǔ)上，因此一

2、般只適合做短期預(yù)測。w 在預(yù)測實(shí)踐中，人們有時采用一種樸素的預(yù)測方法。比如，在月度銷售預(yù)測中，往往可以簡單地采用最近月份的銷售量作為下一個月份銷售量的預(yù)測值。但這種方法過于粗糙，如果時間序列資料包含有大量的隨機(jī)成分，采用這種樸素預(yù)測法將產(chǎn)生較大偏差。為了消除這些隨機(jī)變動成分的影響，人們對樸素預(yù)測法做了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，從而產(chǎn)生了移動平均法。w 所謂移動平均法，就是從時間序列的第一項開始，按一定項數(shù)求平均值，由遠(yuǎn)而近，逐項向前移動，邊移動邊平均。并將接近預(yù)測期的最后一個移動平均值作為確定預(yù)測值的依據(jù)。由于利用平均值進(jìn)行預(yù)測，便較好地減小或削弱了隨機(jī)不規(guī)則變動因素的影響。 1 移動平均法移動平均法一、簡

3、單移動平均法的原理及應(yīng)用一、簡單移動平均法的原理及應(yīng)用w采用簡單移動平均方式求得移動平均值，進(jìn)而進(jìn)行預(yù)測的方法稱為簡單移動平均法簡單移動平均法。w設(shè)時間序列為yt，t=1，2，T，移動平均的項數(shù)為n， n T，則第t期的簡單算術(shù)移動平均值的一般計算公式為nyyyMntttt11則第t+1期的預(yù)測值約定為ttMy1由此，還可以得到一個遞推預(yù)測公式，即 nyyynyyMnyyyyntttntttntttt1111 上式表明，由簡單移動平均法得出的每一新預(yù)測值都是對前一移動平均預(yù)測值的修正。這種修正體現(xiàn)為增加了最新觀測值，而去掉了遠(yuǎn)期觀測值。 一般情況下，移動平均的項數(shù)n取得越大，對原序列修勻的程度

4、越大。如果原始序列含有季節(jié)波動，移動平均的項數(shù)n應(yīng)取得和季節(jié)波動周期一致，這樣對原序列修勻的效果較好。簡單移動平均法只能做一步預(yù)測，且僅適用于平穩(wěn)發(fā)展的序列，用于有明顯上升（或下降）趨勢的時間序列預(yù)測，會產(chǎn)生滯后誤差。w例例41 某地區(qū)19861998年的糧食產(chǎn)量如表41第(2)欄所列，試用簡單移動平均法（取n3）預(yù)測該地區(qū)1999年糧食產(chǎn)量。w 表41 某地糧食產(chǎn)量統(tǒng)計及預(yù)測表P55.例1年份產(chǎn)量簡單移動平均預(yù)測值加權(quán)移動平均預(yù)測值1986284521987286311988282731989304772845228416.21990332122912729446.6199132056306

5、5431403.71992325023191532087.01993354503259032510.21994387283333633886.81995407323556036499.41996379113830339074.41997391513912438920.71998404733926539095.219993917839564.08871561372322269S2978.52689.3比較不同預(yù)測方法的優(yōu)劣，可以比較它們的預(yù)測均方標(biāo)準(zhǔn)差：21ttyyNS二、二、加權(quán)移動平均法的原理及應(yīng)用加權(quán)移動平均法的原理及應(yīng)用w 考慮到近期的水平要比遠(yuǎn)期的水平對未來趨勢有更大的影響，可以采用加

6、權(quán)移動平均 的方式來計算移動平均值，即按距離預(yù)測期的遠(yuǎn)近，給近期數(shù)據(jù)以較大的權(quán)數(shù)，而遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)給以較小的權(quán)數(shù)，這便是加權(quán)移動平均預(yù)測法。w 設(shè)時間序列觀測值yt, yt-1,，yt-n+1的權(quán)數(shù)分別取為1，2，n，則第t期的加權(quán)算術(shù)移動平均值為11niinntntttyyyM2111211121ntntttyyyMttMy1如果取則上式可簡化為仍然用Mt作為第t+1期的預(yù)測值，即w顯然，簡單移動平均法不過是加權(quán)移動平均法當(dāng)權(quán)數(shù)w 1=2 =n=1時的特例。加權(quán)移動平均預(yù)測法的適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)與簡單移動平均預(yù)測法基本上是一樣的。例例42 在例41中取權(quán)數(shù)1=0.5，2=0.3，3=0.2，試計算該

7、地區(qū)糧食產(chǎn)量的三年加權(quán)移動平均預(yù)測值。結(jié)果見表41第(4)欄。三、三、線性二次移動平均法的原理及應(yīng)用線性二次移動平均法的原理及應(yīng)用w 前面介紹的兩種移動平均法也稱為一次移動平均法，用來預(yù)測具有線性增長(或下降)趨勢的時間序列所反映的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時，往往比實(shí)際值偏低(或偏高)。為了克服這一不足，發(fā)展了線性二次移動平均法。該方法就是對一次移動平均值再計算一次移動平均值，并由此建立一個線性預(yù)測方程。w 把前面的一次移動平均值記為M t(1) ，把二次移動平均值記為M t(2) ，從而有 nMMMnMMMMntttntttt1121111112 設(shè)時間序列yt可表為時間t的線性模型，即 yt=a+bt+t

8、 式中，t為隨機(jī)項。 預(yù)測時，難以考慮t ，故現(xiàn)在假定yt=a+bt，從而于是預(yù)測方程為： bnbtaitbanynMniniitt2) 1()(1110101 可見，一次移動平均值M t(1) ，滯后于實(shí)際值yt， 同樣對M t(2) 有 bnMbnbtabnitbanMnMtniniitt2) 1() 1(2) 1()(111101012由此式可得 )(1221ttMMnb bMMbbnMtbaytttt21122) 1()( 記 )(1222121ttttttMMnbMMa則預(yù)測方程變?yōu)椋簍ttbay式中，為預(yù)測超前期。 例例4 43 3 某建材商店玻璃銷售量如表42所列，試預(yù)測該商店第

9、2年2月份的銷售量(取移動平均項數(shù)n=3)。w解解 顯然，該商店玻璃銷售量有明顯上升趨勢，故用線性二次移顯然，該商店玻璃銷售量有明顯上升趨勢，故用線性二次移動平均法作預(yù)測。按公式計算的相關(guān)值列于表動平均法作預(yù)測。按公式計算的相關(guān)值列于表4 42 2第第3 36 6列。列。w預(yù)測第2年2月份的銷售量：月份(t) 銷售量yt(箱) M t(1) M t(2) 12345678910111250455253485254505556515849.050.051.051.051.352.053.053.754.055.0 50.050.751.151.452.152.953.654.252.051.35

10、1.552.653.954.554.455.81.00.30.20.60.90.80.40.8ta tb 表42 某建材商店玻璃銷售量箱45728085521212212.bay 2 指數(shù)平滑預(yù)測法指數(shù)平滑預(yù)測法w 指數(shù)平滑法是加權(quán)移動平均法的進(jìn)一步發(fā)展和完善，指數(shù)平滑法是加權(quán)移動平均法的進(jìn)一步發(fā)展和完善，它是由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家布朗（它是由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家布朗（BrownBrown）于于19591959年提出的。年提出的。w 一、一次指數(shù)平滑法的原理及應(yīng)用一、一次指數(shù)平滑法的原理及應(yīng)用w 一次指數(shù)平滑法實(shí)際是對簡單移動平均法加以適當(dāng)一次指數(shù)平滑法實(shí)際是對簡單移動平均法加以適當(dāng)?shù)男薅ǘ瓿龅囊环N預(yù)測方

11、法。它只適用于沒有明顯的修定而引申出的一種預(yù)測方法。它只適用于沒有明顯趨勢變化的時間序列。趨勢變化的時間序列。 w前面介紹過簡單移動平均法的遞推預(yù)測公式為:nyyyyntttt 1：的估計值，則上式變?yōu)樽鳛檫h(yuǎn)期觀測值用nttyytttynyny)11 (11 令1n,則有)1 .2 .4()1 (1tttyyy這便是一次指數(shù)平滑法的基本預(yù)測方程基本預(yù)測方程。其中，01，稱為平滑常數(shù)。 設(shè)時間序列的觀測值為y0, y1,，yn，則由式(4.2.1)可遞推得到：w上式各項系數(shù)之和為：w w由此可見，第t+1期的預(yù)測值實(shí)際上是以前各期的觀測值y0, y1,，yt及初始期預(yù)測值的加權(quán)平均值。所以說，它

12、是加權(quán)移動平均法的推廣。由于所加的一串權(quán)數(shù)均呈指數(shù)函數(shù)形式，并逐項衰減，越大衰減越快，反之越慢；且這種平均法具有修勻或平滑一系列觀測值的作用，故稱之為指數(shù)平滑法。0102211)1 ()1 ()1 ()1 (yyyyyytttttt 其中，t=0，1，2，n。 )1 .2 .4()1 (1tttyyy 一次指數(shù)平滑法的基本預(yù)測方程為：基本預(yù)測方程為：1)(1)(11)(11)1 ()1 ()1 ()1 (1112ttttw 式(4.2.2)明確地表示了指數(shù)平滑的實(shí)際意義。即第t+1期的預(yù)測值等于第t期的預(yù)測值加上第t期的預(yù)測誤差的倍。如果第t期的預(yù)測值過低，則誤差為正，第t+1期的預(yù)測值便增大

13、；反之則減小?？梢娺@一方法是“自適應(yīng)”的，它通過現(xiàn)期的預(yù)測誤差，自動修正下一期的預(yù)測值，且通過平滑常數(shù)體現(xiàn)修正的幅度。w 使用指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測，要解決好兩個問題：一是平滑常數(shù)的選擇；二是初始預(yù)測值的確定。w平滑常數(shù)取值的大小，對預(yù)測效果有直接影響。如何選定?目前尚無好的解決辦法。實(shí)用中，的選擇主要憑經(jīng)驗(yàn)，視具體情況而定。一般的經(jīng)驗(yàn)有： 一次指數(shù)平滑法的基本預(yù)測方程為：基本預(yù)測方程為：)1 .2 .4()1 (1tttyyy 式(4.2.1)也可改寫為：)2 .2 .4()(1ttttyyyyw 當(dāng)對估算的初始值的正確性有疑問時，可取較大的值，以擴(kuò)大近期數(shù)據(jù)的作用，迅速減少初始值的影響；w如果

14、時間序列雖有不規(guī)則的起伏變化，但長期變動趨勢接近某一穩(wěn)定常數(shù)時，則需取較小的值（一般取0.050.20），使各觀測值具有大小接近的權(quán)數(shù)；w如果時間序列具有快速明顯的變化時，則宜選用較大的值（一般取0.30.6），使近期數(shù)據(jù)的影響較強(qiáng)地反映在預(yù)測值中；w如果時間序列變化緩慢，則可選更小的值（一般取0.010.04），使權(quán)數(shù)由近及遠(yuǎn)較緩慢地減弱，從而使較遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)的影響也能比較充分地體現(xiàn)在預(yù)測值中。w在不容易判斷時，可選擇幾個不同的值進(jìn)行試算，比較其預(yù)測誤差，最后以預(yù)測誤差最小的值作為合適的平滑常數(shù)。w計算預(yù)測誤差可用下述兩個公式中的任何一個：w至于初始預(yù)測值的選擇，要依時間序列數(shù)據(jù)的多少來定。至于

15、初始預(yù)測值的選擇，要依時間序列數(shù)據(jù)的多少來定。因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)t時，時，(1-)t+10，所以當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，初所以當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，初始預(yù)測值對始預(yù)測值對t+1期期預(yù)測值的影響可以忽略，這時可選用預(yù)測值的影響可以忽略，這時可選用首期數(shù)據(jù)為初始預(yù)測值；如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，初首期數(shù)據(jù)為初始預(yù)測值；如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，初始預(yù)測值對以后的預(yù)測值影響較大，一般以最初幾期觀始預(yù)測值對以后的預(yù)測值影響較大，一般以最初幾期觀測值的平均值作為初始預(yù)測值。測值的平均值作為初始預(yù)測值。ntttntttyynSyyne02011;均方標(biāo)準(zhǔn)差：平均絕對誤差：w 例例4 44 4 甲、乙兩工廠的總產(chǎn)值如表43所列，試用一

16、次指數(shù)平滑法分別預(yù)測這兩個工廠第8期的總產(chǎn)值。w 表43 甲、乙兩工廠總產(chǎn)值統(tǒng)計表（單位：萬元 ）時期t 0 1 2 3 4 5 6 7 甲廠 20 30 40 42 48 50 54 60乙廠 20 30 40 20 48 30 52 40解解 分別選用分別選用=0.1，0.3，0.9進(jìn)行試算。進(jìn)行試算。 由于數(shù)據(jù)較少，初始預(yù)測值選前由于數(shù)據(jù)較少，初始預(yù)測值選前3 3期觀測值的平均值。期觀測值的平均值。P59 例例4=0.1=0.3=0.9工廠工廠時間時間實(shí)際值實(shí)際值 平滑預(yù)測值平滑預(yù)測值誤差誤差平滑預(yù)測值平滑預(yù)測值誤差誤差平滑預(yù)測值平滑預(yù)測值誤差誤差0 020203030-10-10303

17、0-10-103030-10-101 1303029291 127273 321219 9S1=16.2116.212 240402929111128281212292911113 34242303012123232101039393 3S2=12.0712.074 44848313117173535131342426 65 55050333317173939111147473 3S3= 7.707.706 65454353519194242121250504 47 76060373723234646141454546 60 020203030-10-103030-10-103030-10-1

18、01 1303029291 127273 321219 9S1=12.9312.932 240402929111128281212292911113 320203030-10-103232-12-123939-19-19S2=12.9412.944 448482929191928282020222226265 530303131-1-13434-4-44545-15-15S3= 17.2917.296 652523131212133331919323220207 7404033337 739391 15050-10-10甲甲乙乙甲廠誤差甲廠誤差乙廠誤差乙廠誤差甲廠總產(chǎn)值穩(wěn)步發(fā)展，長期趨勢明顯上

19、升，應(yīng)選用較大的甲廠總產(chǎn)值穩(wěn)步發(fā)展，長期趨勢明顯上升，應(yīng)選用較大的值，試算結(jié)果也證明了這一值，試算結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。點(diǎn)。故應(yīng)選故應(yīng)選=0.9作為平滑常數(shù)，并預(yù)測甲廠第作為平滑常數(shù)，并預(yù)測甲廠第8期總產(chǎn)值為期總產(chǎn)值為)(45954106090y)(1y778萬元.y乙廠總產(chǎn)值忽高忽低，波動較大，長期趨勢不明顯，宜選用較小的乙廠總產(chǎn)值忽高忽低，波動較大，長期趨勢不明顯，宜選用較小的值，計算結(jié)果也證值，計算結(jié)果也證明了這一點(diǎn)。故應(yīng)選明了這一點(diǎn)。故應(yīng)選=0.1作為平滑常數(shù)，并預(yù)測乙廠第作為平滑常數(shù)，并預(yù)測乙廠第8期總產(chǎn)值為期總產(chǎn)值為 )(73333904010y)(1y778萬元.y二、二次指數(shù)平滑

20、法的原理及應(yīng)用二、二次指數(shù)平滑法的原理及應(yīng)用w 二次指數(shù)平滑法是一次指數(shù)平滑法的引申，應(yīng)用于有明顯上升或下降趨勢的時間序列，可使預(yù)測值更接近實(shí)際。w為行文方便，把一次指數(shù)平滑的式(4.2.1)改記為)7 .2 .4()1 ()1(1)1(tttSySSt(1)稱為第t期的一次指數(shù)平滑值。 二次指數(shù)平滑就是對一次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)平滑處理，即)8 .2 .4()1 ()2(1)1()2(tttSSSSt(2)稱為二次指數(shù)平滑值。二次指數(shù)平滑值不能直接用作下期預(yù)測值，而是需要建立預(yù)測方程。如果時間序列具有線性趨勢，則可根據(jù)St(1)和St(2)建立線性預(yù)測方程： tttbay式中，為預(yù)測提

21、前期。而 )(122121ttttttSSbSSaw 與一次指數(shù)平滑法一樣，二次指數(shù)平滑法也存在初與一次指數(shù)平滑法一樣，二次指數(shù)平滑法也存在初始值的選取問題。當(dāng)數(shù)據(jù)較多時，一般可選取始值的選取問題。當(dāng)數(shù)據(jù)較多時，一般可選取S0(1)=S0(2)=y1；當(dāng)數(shù)據(jù)較少時，也可用最初幾期觀測值當(dāng)數(shù)據(jù)較少時，也可用最初幾期觀測值的平均值作為初始平滑值。的平均值作為初始平滑值。w 例例4-5 4-5 某廠歷年來原料消耗量如表某廠歷年來原料消耗量如表4-54-5第第(3)欄所列，欄所列，試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測該廠試用二次指數(shù)平滑法預(yù)測該廠1999年、年、2000年的原料消年的原料消耗量。耗量。年份年份時 期

22、t時 期t 消耗量yt消耗量yt 一次平滑值一次平滑值 二次平滑值二次平滑值 三次平滑值三次平滑值0 050.0050.0050.0050.0050.0050.00197919791 1505050.0050.0050.0050.0050.0050.00198019802 2525250.6050.6050.1850.1850.0550.05198119813 3474749.5249.5249.9849.9850.0350.03198219824 4515149.9649.9649.9849.9850.0250.02198319835 5494949.6749.6749.8949.8949.

23、9849.98198419846 6484849.1749.1749.6749.6749.8949.89198519857 7515149.7249.7249.6949.6949.8349.83198619868 8404046.8046.8048.8248.8249.5249.52198719879 9484847.1647.1648.3248.3249.1649.16198819881010525248.6148.6148.4148.4148.9448.94198919891111515149.3349.3348.6948.6948.8648.86199019901212595952.23

24、52.2349.7549.7549.1349.13199119911313575753.6653.6650.9250.9249.6749.67199219921414646456.7656.7652.6852.6850.5750.57199319931515686860.1360.1354.9154.9151.8751.87199419941616676762.1962.1957.1057.1053.4453.44199519951717696964.2464.2459.2459.2455.1855.18199619961818767667.7767.7761.8061.8057.1657.1

25、6199719971919757569.9469.9464.2464.2459.2959.29199819982020808072.9572.9566.8566.8561.5661.56 表表4-5 某廠歷年來原料消耗量指數(shù)平滑法計算表（單位：萬噸）某廠歷年來原料消耗量指數(shù)平滑法計算表（單位：萬噸）w 解解 取取=0.3， S0(1)=S0(2)=y1=50w利用式利用式(4.2.7)和和式式(4.2.8)分別計算分別計算一、二次指數(shù)平一、二次指數(shù)平滑值滑值St(1)和和St(2)，結(jié)果列于表結(jié)果列于表4-54-5的的第第(4)、(5)欄。欄。于是由公式算得：于是由公式算得： 05.7985.

26、6695.722222012020SSa 61. 2)85.6695.72(3 . 013 . 0)(122012020SSb于是有線性預(yù)測方程于是有線性預(yù)測方程 ： 利用此方程，分別取利用此方程，分別取1 1和和2 2，便可求得便可求得1999年和年和2000年年該廠原料消耗量的預(yù)測值分別為該廠原料消耗量的預(yù)測值分別為 81.67(萬噸萬噸) 和和84.29(萬噸萬噸) 。20,61. 205.79tbayttt 三、三次指數(shù)平滑法的原理及應(yīng)用三、三次指數(shù)平滑法的原理及應(yīng)用w三次指數(shù)平滑法是二次指數(shù)平滑法的進(jìn)一步推廣，應(yīng)用三次指數(shù)平滑法是二次指數(shù)平滑法的進(jìn)一步推廣，應(yīng)用于具有非線性趨勢的時間

27、序列的預(yù)測問題。于具有非線性趨勢的時間序列的預(yù)測問題。w三次指數(shù)平滑就是對二次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)三次指數(shù)平滑就是對二次指數(shù)平滑值序列再作一次指數(shù)平滑處理，即平滑處理，即 )13.2 .4()1 ()3(1)2()3(tttSSSSt(3) 稱為三次指數(shù)平滑值。三次指數(shù)平滑值亦不能直接用于預(yù)測。稱為三次指數(shù)平滑值。三次指數(shù)平滑值亦不能直接用于預(yù)測。如果時間序列的長期趨勢呈拋物線型，則可根據(jù)如果時間序列的長期趨勢呈拋物線型，則可根據(jù)St(1)，St(2)和和St(3)建建立如下二次多項式預(yù)測方程立如下二次多項式預(yù)測方程: : 2ttttcbay仿照二次指數(shù)平滑法的推導(dǎo)方法，可推得估計值公式

28、仿照二次指數(shù)平滑法的推導(dǎo)方法，可推得估計值公式: : )2()1 (2)34()45(2)56()1 (233321223212321ttttttttttttSSScSSSbSSSa初始平滑值初始平滑值S0(1)，S0(2)和和S0(3)確定方法與二次指數(shù)平滑法基本相同。確定方法與二次指數(shù)平滑法基本相同。 例例4-6 按表按表4-5第第(3)欄給出的數(shù)據(jù)，用三次指數(shù)平滑法預(yù)測該廠欄給出的數(shù)據(jù)，用三次指數(shù)平滑法預(yù)測該廠1999年和年和2000年原料消耗量的預(yù)測值分別為年原料消耗量的預(yù)測值分別為 83.31(萬噸萬噸) 和和86.92(萬萬噸噸) 。 3 趨勢外推法趨勢外推法 w 隨著時間的推移，

29、社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展變化常常呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。如果通過對其時間序列的分析和計算，能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會經(jīng)濟(jì)變量y關(guān)于時間t的變化規(guī)律和趨勢，即建立所謂趨勢模型： yf（t），那么，當(dāng)有理由相信這種規(guī)律和趨勢能夠延伸到未來時，便可用此模型對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測，這就是趨勢外推預(yù)測法。w 趨勢外推預(yù)測法 是一種常用預(yù)測方法，其應(yīng)用的前提是：w（1）社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進(jìn)的，沒有跳躍式突變；w（2）社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來與過去的變化規(guī)律基本一致。一、趨勢模型的種類及其選擇一、趨勢模型的種類及其選擇w常用的常用的趨勢外推預(yù)測模型有：趨勢外推預(yù)測模型有：w（一）多項式模型；（一）

30、多項式模型；w（二）指數(shù)曲線模型；（二）指數(shù)曲線模型；w（三）生長曲線模型（三）生長曲線模型。w趨勢外推預(yù)測模型趨勢外推預(yù)測模型的選擇方法主要有：的選擇方法主要有：經(jīng)驗(yàn)法經(jīng)驗(yàn)法、圖形識圖形識別法別法和和差分差分法法。w（一）（一）經(jīng)驗(yàn)法經(jīng)驗(yàn)法w 就是預(yù)測者依據(jù)本人或?qū)＜壹w的經(jīng)驗(yàn)及專業(yè)知就是預(yù)測者依據(jù)本人或?qū)＜壹w的經(jīng)驗(yàn)及專業(yè)知識來選擇確定模型。經(jīng)驗(yàn)法選定模型的過程中，即要有識來選擇確定模型。經(jīng)驗(yàn)法選定模型的過程中，即要有對時間序列的定量分析，又離不開對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本身的定對時間序列的定量分析，又離不開對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象本身的定性分析，它要求預(yù)測者即要熟知模型的數(shù)學(xué)特征，又要性分析，它要求預(yù)測者即要熟知模

31、型的數(shù)學(xué)特征，又要深諳經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化條件及相關(guān)的經(jīng)濟(jì)理論，只有將數(shù)深諳經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化條件及相關(guān)的經(jīng)濟(jì)理論，只有將數(shù)學(xué)智慧和經(jīng)濟(jì)分析有機(jī)地結(jié)合在一起，才能選定適當(dāng)?shù)膶W(xué)智慧和經(jīng)濟(jì)分析有機(jī)地結(jié)合在一起，才能選定適當(dāng)?shù)钠饎菽Ｐ?。起勢模型。rtkrrkrtktktktkyCyyyy01111(-1)(（二）（二）圖形識別法圖形識別法w就是將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間為橫軸，時間序列觀測值為縱軸的散點(diǎn)就是將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間為橫軸，時間序列觀測值為縱軸的散點(diǎn)圖，并連城圓滑的曲線，然后觀察其大致走向，與已知各類函數(shù)曲線的圖形圖，并連城圓滑的曲線，然后觀察其大致走向，與已知各類函數(shù)曲線的圖形進(jìn)行比較，

32、從中選擇較為適宜的數(shù)學(xué)模型。進(jìn)行比較，從中選擇較為適宜的數(shù)學(xué)模型。w（三）（三）差分法差分法w 這是選擇趨勢模型的一種定量方法，精度較高，但計算量較大。這是選擇趨勢模型的一種定量方法，精度較高，但計算量較大。 1.普通差分法普通差分法：就是先計算時間序列的向后差分，其定義為：就是先計算時間序列的向后差分，其定義為： w 一階差分：一階差分： w 二階差分：二階差分：w k階差分：階差分： w 2.廣義差分法廣義差分法：就是先計算時間序列的廣義差分，這里的廣義：就是先計算時間序列的廣義差分，這里的廣義差分是指時間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分，以及相鄰項的比率或差差分是指時間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分，以及

33、相鄰項的比率或差分的比率。分的比率。w 然后，根據(jù)算得的時間序列差分的特點(diǎn)，選擇適宜的數(shù)學(xué)模然后，根據(jù)算得的時間序列差分的特點(diǎn)，選擇適宜的數(shù)學(xué)模型。型。w這種方法，我們將在后面結(jié)合具體模型詳加介紹。這種方法，我們將在后面結(jié)合具體模型詳加介紹。1tttyyy21122)(tttttttyyyyyyy二、二、多項式趨勢預(yù)測模型多項式趨勢預(yù)測模型及應(yīng)用及應(yīng)用多項式趨勢預(yù)測模型也稱時間回歸模型，其一般形式為：多項式趨勢預(yù)測模型也稱時間回歸模型，其一般形式為：kkttbtbtbby2210當(dāng)k=1時，為直線預(yù)測模型：tbbyt10當(dāng)k=2時，為二次多項式（拋物線）預(yù)測模型多項式（拋物線）預(yù)測模型：221

34、0tbtbbyt（一）多項式預(yù)測模型次數(shù)的選擇 實(shí)際預(yù)測中，究竟應(yīng)選擇幾次的多項式，可通過計算時間序列的差分來確定。對于直線預(yù)測模型，其一階差分常數(shù)）()1(110101btbbtbbyyyttt對拋物線預(yù)測模型，拋物線預(yù)測模型，其二階差分常數(shù)）(2212byyyttt對三次多項式預(yù)測模型，多項式預(yù)測模型，其三階差分常數(shù)）(! 36333bbytK次多項式預(yù)測模型的多項式預(yù)測模型的k k階差分常數(shù)）(!ktkbkyK次多項式預(yù)測模型可令多項式預(yù)測模型可令tk= =xk, ,化為化為K元線性回歸模型。元線性回歸模型。（二）（二）直線（一元時間回歸）模型參數(shù)估計的簡捷算法直線（一元時間回歸）模型參

35、數(shù)估計的簡捷算法w 如果時間序列的散點(diǎn)圖大致呈一條直線，或者時間序列各相鄰時期的增(減)量，即逐期增長量接近于一個常數(shù)時，便可考慮用一條直線來描繪（擬合）時間序列的長期發(fā)展趨勢,并依此進(jìn)行預(yù)測。w 記直線模型為btayt 也稱為一元線性時間回歸模型。 設(shè)時間序列觀測值為y1, y2,，yT，套用一元線性回歸參數(shù)估計的公式有：TtTttTtTtTttTtTtttTbyTatTtytTtyb11211211111)(1)(1 注意： yt一般都是等間隔時間的觀測值，時間t的取值只起到一種標(biāo)明順序的作用，它與yt一般沒有嚴(yán)格的因果關(guān)系。因此只要保持t的等間隔性及先后次序，就可以給t賦以任何數(shù)值。通常

36、讓t的T個取值以原點(diǎn)為對稱，從而有t=0，于是上述公式可化簡為：w 例例4-7 某市近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如表4-6所列，試預(yù)測1999年該市工業(yè)總產(chǎn)值。w 表4-6 某市工業(yè)總產(chǎn)值資料 （單位：億元）解：若畫出散點(diǎn)圖(略)，可以看出，本例的時間序列有明顯的線性趨勢。一階差分基本接近一個常數(shù)。因此可以配一元線性時間回歸模型進(jìn)行預(yù)測。為時間序列的項數(shù)。其中，TyTattybtt,12年份 19901991199219931994 199519961997 1998t值 -4-3-2-101234工業(yè)總產(chǎn)值yt 5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一階差分 yt 0.60.50.

37、70.60.80.60.80.8三、三、指數(shù)曲線趨勢預(yù)測模型指數(shù)曲線趨勢預(yù)測模型及應(yīng)用及應(yīng)用w常見的指數(shù)曲線趨勢預(yù)測模型有：w1.指數(shù)曲線預(yù)測模型:w2.修正指數(shù)曲線預(yù)測模型:bttAey ttABKy（一）模型的選擇 1.圖形識別法 上述兩種指數(shù)曲線模型可以通過描述時間序列的散點(diǎn)圖來識別。指數(shù)曲線的圖形參見P50圖37；修正指數(shù)曲線的圖形，當(dāng)0B1時，如圖41所示。 2.廣義差分法 對于指數(shù)曲線，其一階差比率（也稱環(huán)比速度）： yt/yt-1=eb(常數(shù)）。所以，如果時間序列各相鄰時期的比值接近于一個常數(shù)，則可用指數(shù)曲線模型來進(jìn)行預(yù)測。 對于修正指數(shù)曲線，其一階差分比率B (常數(shù)）。當(dāng)時間序

38、列的一階差分比率大致相等時，可用修正指數(shù)曲線進(jìn)行預(yù)測。（二）指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應(yīng)用及應(yīng)用w對指數(shù)曲線模型ytAebt作線性變換:w先取對數(shù) ，有 lnyt=lnA+btw再令 Yt=lnyt ，a=lnAw則有 Yt=a+btw仍然約定t=0，則有例例4-8 某自行車廠近幾年自行車的產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表47所列，試預(yù)測該廠1999年的產(chǎn)量。 為時間序列的項數(shù)。其中，TlnyTYTatlnytttYbtttt1122于是,A ae從而求得指數(shù)曲線預(yù)測模型為：t bteyA 例例4-8 某自行車廠近幾年自行車的產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表47所列，試預(yù)測該廠1999年的產(chǎn)量。 P67 例例8表表4-7年 份年 份1

39、99319931994199419951995199619961997199719981998t 值值-5-5-3-3-1-11 13 35 5產(chǎn) 量(萬輛） 產(chǎn) 量(萬輛） yt8.78.710.610.613.313.316.516.520.620.626.026.0差比率差比率yt/yt-11.221.221.251.251.241.241.251.251.261.26Lnyt2.16332.1633 2.360852.360852.5877642.5877642.80336042.80336043.02529113.0252911 3.25813.2581某自行車廠近幾年自行車產(chǎn)量某自

40、行車廠近幾年自行車產(chǎn)量解解 第一步，選擇模型：由于第一步，選擇模型：由于其一階差比率其一階差比率接近于一個常數(shù)，所以，接近于一個常數(shù)，所以，選擇指數(shù)曲線是適宜的。選擇指數(shù)曲線是適宜的。 第二步，估計模型參數(shù)第二步，估計模型參數(shù)按公式算得按公式算得 從而有從而有69982619871611098070682872.ttlnyTatlnytb87651469982.A.eea于是所求指數(shù)曲線預(yù)測模型為：于是所求指數(shù)曲線預(yù)測模型為：tttbteey(1.1160)87651487651410980.A.第三步，預(yù)測第三步，預(yù)測1999年年自行車的產(chǎn)量：)( 132876514710980萬輛.eyt

41、（三）修正指數(shù)曲線模型的（三）修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應(yīng)用參數(shù)估計及應(yīng)用w 對于修正指數(shù)曲線模型yt=K+ABt，一般要求0B1，所以當(dāng)t+時，ytK，即修正指數(shù)曲線以y=K為其水平漸近線，K也稱其極限水平。w 用三段總和法來估計模型參數(shù)。w 設(shè)時間序列數(shù)據(jù)為yt, t=0,1,2,3n-1，如果數(shù)據(jù)個數(shù)不是3的倍數(shù)，可刪除起始的一項或二項，使其成為3的倍數(shù)。w將所有數(shù)據(jù)按先后次序等分為三組，并分別求和，則有BBBAnKBAnKySBBBAnKBAnKySBBAnKBAnKySnnnnttnnttnnnnttnnttnnttntt1)1 (1)1 (11213213231212210101

42、進(jìn)一步可推得BBBAnKBAnKySBBBAnKBAnKySBBAnKBAnKySnnnnttnnttnnnnttnnttnnttntt1)1 (1)1 (112132132312122101011) 1(,2121223BBASSBSSSSnn于是得A、B、K的估計式為：)1(1) 1()(1(1212121223nnnBSSSnKBSSBASSSSB(4.3.14)例例49 某商品某商品1991年投放市場以來，社會總需求量統(tǒng)計資料如表年投放市場以來，社會總需求量統(tǒng)計資料如表48所列，試預(yù)測所列，試預(yù)測2000年的社會總需求量。年的社會總需求量。P68 例例9表表 4-8年 份年 份1991

43、19911992199219931993199419941995199519961996199719971998199819991999總需求量（億噸）總需求量（億噸） 50.050.060.060.068.068.069.669.671.171.171.771.772.372.372.872.873.273.2一階差分一階差分10.08.01.61.50.60.60.50.4一階差分比率一階差分比率0.800.800.200.200.940.940.400.401.001.000.830.830.800.80S1= 178.0178.0S2= 212.4212.4S3= 218.3218.3

44、B= 0.55560.5556A=K=yt=y2000= 73.173.173.06173.06173.1738-22.27190.555673.1738-22.27190.5556t t-22.2719-22.271973.173873.1738某商品社會總需求量某商品社會總需求量解解 第一步，選擇模型：第一步，選擇模型： 1.描散點(diǎn)圖，初步確定選用描散點(diǎn)圖，初步確定選用修正指數(shù)曲線模型；修正指數(shù)曲線模型； 2.2.計算一階差分比率，進(jìn)一步驗(yàn)證計算一階差分比率，進(jìn)一步驗(yàn)證選用選用修正指數(shù)曲線模型。修正指數(shù)曲線模型。 第二步，估計模型參數(shù)：第二步，估計模型參數(shù)： 第三步，預(yù)測第三步，預(yù)測200

45、0年年的社會總需求量的社會總需求量：(t=9) y2000= 73.1738-22.2719 73.1738-22.27190.55560.5556t t73.173.1（萬噸）萬噸）四、四、生長曲線趨勢預(yù)測模型生長曲線趨勢預(yù)測模型及應(yīng)用及應(yīng)用w 在市場上，一般產(chǎn)品（或技術(shù)）的發(fā)展，基本上都要經(jīng)歷一個問世、發(fā)展、成熟、衰落的過程。其圖形如P23圖2-1所示的S型生長曲線。w這里介紹兩種能夠較好描述產(chǎn)品或技術(shù)生命周期規(guī)律的典型S型生長曲線模型：皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。w（一）皮爾曲線預(yù)測模型一）皮爾曲線預(yù)測模型及應(yīng)用及應(yīng)用w皮爾（RPearl)是美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家,他以其生物學(xué)家的特有

46、視角,提出了一個著名的S型生長曲線:)15. 3 . 4(1bttaeLy式中,L、a、b為正數(shù)。 顯然，當(dāng)t+時，ytL，即L是yt的上限。 皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計與預(yù)測，也適于對產(chǎn)品或技術(shù)作生命周期分析，尤其適合處于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢分析與預(yù)測。 1. .模型的識別模型的識別 皮爾曲線可用廣義差分法加以識別，因其倒數(shù)的一階差分比率為e-b(常數(shù)），所以當(dāng)時間序列各項倒數(shù)的一階差分比率大致相等時，就可用皮爾曲線模型來進(jìn)行預(yù)測。 2. .模型的模型的參數(shù)估計及應(yīng)用參數(shù)估計及應(yīng)用 皮爾曲線的三個參數(shù)可以用三段總和法加以估計：對式（4.3.15）取倒數(shù)，得btteLaLy1

47、1令btteBLaALKyY,1,1則有 Yt=K+ABt此即修正指數(shù)曲線，從而可套用其參數(shù)估計公式（4.3.14）)1(1) 1()(1(1212121223nnnBSSSnKBSSBASSSSB于是，皮爾曲線的參數(shù)估計公式為：21211211223) 1()(1()1(1)(1nnBSSBLALaBSSSnKLSSSSlnnBlnb1323122101111nnttnnttnttySySyS式中 例例410 吉林省吉林省196619661983年年底人口數(shù)如表年年底人口數(shù)如表49所列，所列，試試預(yù)測該省預(yù)測該省198420012001年年底人口數(shù)。年年底人口數(shù)。w 表表49 吉林省人口數(shù)統(tǒng)

48、計表 （單位：萬人 ）年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 1966196719681969197019710123451679.31722.11766.31808.21860.41915.2197219731974197519761977678910111962.72007.92034.52063.92092.62117.91978197919801981198219831213141516172194.32184.62210.72230.92257.62269.5 解解 人口的數(shù)量變動一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。對所給時間序列數(shù)據(jù)，計算其一階差分比

49、率，結(jié)果見表410所示。表中計算結(jié)果除個別年份外，基本差不多，因此采用皮爾曲線預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測是合適的。 把數(shù)據(jù)等分為三組，n=6，由表49中數(shù)據(jù)算得： w于是所求皮爾曲線趨勢預(yù)測模型為：171233311623501107071864.21109336161.21103550215.31ttttttySySyS，1035268.09016519.0,9016519.05373204.0661223lnBlnbSSSSB4752420. 0109360001. 17625.2454) 1()(1(7625.2454)1(614261216121BSSBLALaBSSSKLtt bteeaLy1

50、035268. 04752420. 017625.24541 為了檢驗(yàn)該模型的預(yù)測精度，可以計算回溯擬合值，即19661983年底的人口擬合值，列于下表中： 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 1966196719681969197019711972197319741679.31722.11766.31808.21860.41915.21962.72007.92034.51664.01718.41770.71820.51868.01913.01955.41995.32032.815.33.7-4.4-12.4-7.62.27.312.61.7197519

51、7619771978197919801981198219832063.92092.62117.92194.32184.62210.72230.92257.62269.52067.72100.32130.52158.62184.52208.42230.42250.72269.2-3.8-7.7-12.6-9.30.12.30.57.10.3 可見所建模型對歷史數(shù)據(jù)擬合得相當(dāng)好，擬合誤差介于0.115.3之間。擬合均方標(biāo)準(zhǔn)差:7 . 7)1811702tttyyS（擬 如果一種預(yù)測法能使擬合值非常接近實(shí)際觀測值，那么用作外推預(yù)測也就較為可靠。如本例中，對吉林省19841987年人口的預(yù)測值就與實(shí)際

52、值比較接近。特別是1986年的預(yù)測值，誤差只有-0.7萬人。19841987年的預(yù)測均方標(biāo)準(zhǔn)差S S預(yù)=4.3。詳見下表： 年份 人口(yt) 預(yù)測值 誤差誤差 年份 人口(yt) 預(yù)測值 誤差誤差 1984198519861987198819891990199119922284.52298.02315.32336.42373.12395.42440.22459.72474.02286.22301.82316.02328.92340.72351.52361.22370.12378.2-1.7-3.8-0.77.532.443.979.089.695.8199319941995199619971

53、9981999200020012496.12515.62550.92579.12600.12603.22616.12627.32690.82385.52392.12398.12403.62408.52413.02417.02420.72424.0110.6123.5152.8175.5191.6190.2199.1206.6266.8但是，從1988年起，預(yù)測結(jié)果越來越劣。究其原因有二：一是時間序列預(yù)測法不適于長期預(yù)測，所以隨著預(yù)測超前期的增長，外推預(yù)測的精度必然下降。二是我國人口第二個生育高峰時期（19631976年）出生的人口逐步進(jìn)入婚育年齡，因而使吉林省人口的增長率又一次大幅度上升，以至

54、于使得由歷史數(shù)據(jù)推得的人口上限值2454.8萬人顯得過低。實(shí)際上，該省1991年底的人口就已突破了2459萬人。 這時，我們?nèi)绻鸭质∪丝诘纳舷拗堤嵘?650萬，并依此算得相應(yīng)的參數(shù)5130401. 0109360001. 126504ALa則皮爾曲線預(yù)測模型修正為：ttbteeaLy1035268.05130401.0126501用修正模型預(yù)測，其結(jié)果見下表。從。從1992年起，年起，修正模型的預(yù)測效果優(yōu)于原模型，但從2001年，又開始變劣。年份 人口(yt) 預(yù)測值 預(yù)測誤差誤差 調(diào)整預(yù)測值 預(yù)測誤差誤差 1984198519861987198819891990199119921993

55、199419951996199719981999200020012284.52298.02315.32336.42373.12395.42440.22459.72474.02496.12515.62550.92579.12600.12603.22616.12627.32690.82286.22301.82316.02328.92340.72351.52361.22370.12378.2 2385.52392.12398.12403.62408.52413.02417.02420.72424.0-1.7-3.8-0.77.532.443.979.089.695.8110.6123.5152.81

56、75.5191.6190.2199.1206.6266.82454.62472.62489.02503.92517.62530.02541.32551.62561.02569.52577.22584.12590.52596.22601.42606.12610.42614.2-170.1-174.6-173.7-167.5-144.5-134.6-101.1-91.9-87.0-73.4-61.6-33.2-11.43.91.810.016.976.6 鑒于前兩個模型對近年的預(yù)測效果都不理想，故下面利用吉林省19832000年年底人口數(shù)據(jù)，重新建立預(yù)測模型來預(yù)測該省20012006年年底人口數(shù)。

57、w仍把數(shù)據(jù)等分為三組，n=6，由上表數(shù)據(jù)算得： 年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 年份 t值 人口(yt) 1983198419851986198719880123452269.52284.52298.02315.32336.42373.1198919901991199219931994678910112395.42440.22459.72474.02496.12515.61995199619971998199920001213141516172550.92579.12600.12603.22616.12627.3171233311623501103113611.211043

58、61711.21105948274.21ttttttySySyS，0399912.09607979.0,9607979.07866692.0661223lnBlnbSSSSB4429729. 0103666581. 12855.3241) 1()(1(2855.3241)1(614261216121BSSBLALaBSSSKL于是所求皮爾曲線趨勢預(yù)測模型為：tt bteeaLy0399912. 04429729. 012855.32411利用該模型計算的回溯擬合值列于下表中： 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 年份 人口(yt) 擬合值 誤差誤差 198319841985198619871

59、9881989199019912269.52284.52298.02315.32336.42373.12395.42440.22459.72246.32273.62300.52327.02353.02378.62403.72428.32452.423.210.9-2.5-11.7-16.6-5.5-8.311.97.31992199319941995199619971998199920002474.02496.12515.62550.92579.12600.12603.22616.12627.32476.02499.12521.82543.92565.62586.72607.32627.526

60、47.1-2.0-3.0-6.27.013.513.4-4.1-11.4-19.8將回溯擬合值與實(shí)際觀測值加以比較，發(fā)現(xiàn)擬合程度比較好。擬合均方標(biāo)準(zhǔn)差49.11)1811702tttyyS（擬利用該模型對吉林省20012006年年底人口進(jìn)行預(yù)測，具體結(jié)果詳見下表： 年份 人口(yt) 預(yù)測值 誤差誤差 年份 人口(yt) 預(yù)測值 誤差誤差 2001200220032690.82699.42703.72666.32685.02703.224.514.40.52004200520062708.52716.02723.02720.92738.12754.9-12.4-22.1-31.9可見對吉林省2