高中數(shù)學競賽平面幾何中的幾個重要定理(20210908144324)

1、平面幾何中幾個重要定理及其證明塞瓦定理1 .塞瓦定理及其證明定理：在 ABC內一點P,該點與 ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交 ABC三邊AB BC CA于點DE、F,且D E、F三點均不是 ABC的頂點，那么有AD BE CF 1DB EC FA .證明：運用面積比可得ADDBSADPS BDPS ADCS BDC根據(jù)等比定理有所以S ADPS ADCS BDPS BDCS ADCS ADPS BDCS BDPS APCS BPCADDBS APCS BPC.同理可得BEECAPBS APCCFFAS BPCS APB三式相乘得AD BE CFDB EC FA注：在運用三角形的面積比

2、時，要把握住兩個三角形是“等高還是“等底，這樣就可以產生出“邊之比2.塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在 ABC三邊AB BG CA上各有一點 D E、F,且D E、F均不是ABC的頂點，假設AD BE CFDB EC FA1，那么直線 CD AE BF三線共點.證明：設直線AE與直線BF交于點P, 直線CP交AB于點D，那么據(jù)塞瓦定理有ADZ BE CFDZB EC FAAD BE CFDB EC FA1，所以有ADDBADZDZB.由于點D D都在線段AB上，所以點D與D重合.即得D E、F三點共線.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證.梅涅勞斯定理3.梅涅勞斯定理及其證明

3、定理：一條直線與 ABC勺三邊AB BG CA所在直線分別交于點D E、F,且D E、F均不是 ABG勺頂點，那么有AD BE CF ,1 .DB EC FA證明：如圖，過點C作AB的平行線，交EF于點G.CG因為CG / AB，所以ADCFFA(1)CG因為CG / AB，所以_DBECBE(2)DBBE CFADBECF由(1)-( 2)可得即得EC1ADEC FA，DBFA注：添加的輔助線CG是證明的關鍵“橋梁，兩次運用相似比得 出兩個比例等式，再拆去“橋梁 (CG使得命題順利獲證.4.梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在 ABC勺邊AB BC上各有一點D E,在邊AC的延長線上有一點F

4、,假設AD BE CFDB EC FA那么，D E、F三點共線.AEC證明：設直線EF交AB于點D，那么據(jù)梅涅勞斯定理有ADZ BE CFDZB EC FAADZDZB.由于點D、D都AD BE CFDB EC FA在線段AB上，所以點D與D重合.即得D E、F三點共線.注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍， 注意分析其 相似后面的規(guī)律.三、托勒密定理BMC5 .托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內接四邊形，那么有AB -CD+ BOAD1I=AC - BD證明：設點M是對角線AC與BD的交點，在線段BD上找一點， 使得 DAE = BAM因為 ADB = ACB即 AD

5、E = ACB所以 AD0 ACB即得AD DE疋 BC，即 AD BC AC DE (1)由于 DAE= BAM 所以 DAM= BAE 即 DAC= BAE 而 ABD =ACD 即 ABE = ACD 所以 ABE ACD 即得AB BE即 AB CD AC BE( 2)AC CD，丿由(1) + (2)得AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD.所以 AB- CD + BC- AD = AC - BD.注：巧妙構造三角形，運用三角形之間的相似推得結論.這里的 構造具有特點，不容易想到，需要認真分析題目并不斷嘗試.6.托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形 ABC

6、D滿足ABX CD + BCX AD = ACX BD,那 么A B C D四點共圓.證法1 同一法：在凸四邊形 ABCD內取一點E，使得 EABEBA DCA，貝卩 EAB s DAC .可得 ABX CD = BEX AC( 1)AE ABAD AC(2)那么由 DAECAB及2可得 DAEDAC ,AD X BC = DEX AC( 3)由(1) + (3)可得 AB XCD + BCX AD = ACX ( BE + DE ).據(jù)條 件可得 BD = BE + DE,那么 點E在線段 BD上.那么 由EBA DCA，得 DBADCA，這說明A B、C D四點共圓.證法2 構造轉移法延長

7、DA到A，延長DB到B,使A B、B、A四點共圓.延長DC到C，使得B、C C、B四點共圓.如果能證明A、b/、C共線，那么命題獲證那么，據(jù)圓幕定理知 A、C C、A四點也共圓.AZBZAZDABbCBCCZDBD .可得AzBzBCab Ad bc czdBD另一方面,AZCZ AZDAC CD ，即A©甘AB欲證AZD BC CZDBDAC AZD，即證CDAB CDAZDBC CD CZDAC BD AZD即 BC CDCZD(AC BDABCD)AZD .據(jù)條件有AC BDAB CDADBC，所以需證BC CD CZD ADBC AZD ,即證CD CZD AD AZD ,這

8、是顯然的.所以，A/B/ B/C/ AC，即 A、B、C共線.所以 A/B/B 與 BB/C/ 互補.由于 AZBZB DAB , BBC DCB，所以 DAB 與DCB互補，即A、B、C D四點共圓.7. 托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形ABCD勺四個頂點不在同一個圓上，那么就BE有 ABX CD + BCX AD > ACX BD證明：如圖，在凸四邊形 ABCD取一點E,使得 EAB DAC , EBA DCA，那么 EAB s DAC .可得 ABX CD = BEX AC( 1)AE ABAD AC那么由 DAE CAB及2可得 DAE s CAB .于是由(1) +

9、(3)可得 AB XCD + BCX AD = ACX ( BE + DE )因為A B、C D四點不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BCX AD ACX BD所以BE + DE BD即得點E不在線段BD上,貝卩據(jù)三角形的性質有 BE + DE > BD.所以 ABX CD + BCX AD > ACX BD.四、西姆松定理8. 西姆松定理及其證明定理：從 ABC外接圓上任意一點P向BC CA AB或其延長線 引垂線，垂足分別為 D E、F,那么D E、F三點共線.證明：如圖示，連接PC連接EF交BC于點D，連接PD.因為 PE AE, PF AF,所以 A、F、P

10、、E四點共圓，可得 FAE = FEP因為A B、P、C四點共圓，所以BACBCP即FAE =BCP所以,FEP=bcp 即 Dep二 Dcp 可得 c、D、p、e 四點共圓.所以， CDP + CEP= 1800。而 CEP= 900,所以 CDP = 90°,即 pD bc.由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點 D與D重合， 即得D E、F三點共線.注：1采用同一法證明可以變被動為主動， 以便充分地調用題 設條件.但需注意運用同一法證明時的唯一性.2反復運用四點共圓的性質是解決此題的關鍵，要掌握好四 點共圓的運用手法.五、歐拉定理AOBE9. 歐拉定理及其證明定理：設厶A

11、BC的重心、外心、垂心分別 用字母G O H表示.那么有G O H三點共 線歐拉線，且滿足OH 3OG .證明向量法：連BO并延長交圓O于 點D。連接CD AD HC設E為邊BC的中點，連接OE和OC那么OH OA AH因為 CD丄 BC AHI BC 所以 AH II CD .同理 CH II DA .從而得AH DC .而DC 20E，所以AH 20E .因為OE1-OB OC2 ，所以AHOB OC由得：OH OA OBOC-另一方面，OG OA AGOA 2GFOA GB GC .而 GB GO OB ,GC GO OC，所以OG OA 2 GO OC OB OG 1 OA OB OC

12、3由得：OH 3OG .結論得證.注：1運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其ACE獨特之處，注意掌握向量對幾何問題的表 現(xiàn)手法；2此題也可用純幾何法給予證明.又證幾何法：連接oh AE兩線 段相交于點G ;連BO并延長交圓O于點D;連接CD AD HC設E為邊BC的中點，連接OE和OC如圖.因為 CD丄 BC AHI BC 所以 AH / CD .同理 CH / DA .可得 AH = CD.而 CD = 2OE 所以 AH = 2OE因為 AH CD CD/ OE 所以 AH OE 可得 AH( EOG 所AH AG7以 OE G7EHG72G7O 1 .AG72一/由GE 1，

13、及重心性質可知點G就是 ABC的重心，即G與點G重合.所以，G O H三點共線，且滿足OH 3OG .六、蝴蝶定理直線CF關于直線I的對稱直線交圓于點C、F，交線段AB于點Q.連 接fF、dF、Qf7、dQ.據(jù)圓的性質和圖形的對稱性可知：mFQ = MFP FQm = FPM且 fF 7/ AB , PM = mQ.因為CD F7、F四點共圓，所以CDF + CFF = 180 0,而由 fF / AB 可得 QPF + CFF = 180 0,所以cdF = Qpf,即卩 mdF二 Qpf.又因為 Qpf = pdh,即卩Qpf = mF.所以有mdF= mQf7 .這說明Q、d f m四點

14、共圓，即得 mFQ = Qdm因為 mFQ = mfp 所以 mfp = Qdm 而 mfp = edm 所以 edm = Qdm這說明點q與點Q重合，即得pm = mq設直線DE CF的方程分別為x = miy + ni，x = my + n 2 ；直線CD EF的方程分別為y = k1 x ，y = k2 x 那么經過 C、 D、 E、 F 四點的曲線系方程為(y - ki x )( y - k2 x)+ (x - my - ni)( x - mi y - n2)=0 整理得(+kik2)x 2+(1+ mm2)y 2 - ( ki+k2)+ (m+m2)xy-(ni+n 2)x+(nim