112導數的概念

1、舊知回顧舊知回顧平均變化率的定義平均變化率的定義 我們把式子我們把式子 稱為函數稱為函數 f(x)從從 到到 的的平均變化平均變化 率率 . （ average rate of change）2121f x-f xx -x1 1x x2 2x x 平均速度不能反映物體在某段平均速度不能反映物體在某段時間里的運動狀態(tài)，那么用什么來時間里的運動狀態(tài)，那么用什么來衡量物體的狀態(tài)呢？衡量物體的狀態(tài)呢？新課導入新課導入 如何知道運動員在每一時刻的速度呢？ 汽車在每一刻的汽車在每一刻的速度怎么知速度怎么知道呢？道呢？3.1.2 導數的概念導數的概念教學目標教學目標知識與能力知識與能力（1）體會導數的思想及

2、其內涵）體會導數的思想及其內涵. .（2）能根據導數定義，求函數的導數）能根據導數定義，求函數的導數. .（3）理解瞬時速度的概念）理解瞬時速度的概念. .過程與方法過程與方法 （1）體會導數的思想及其內涵，體會導數的思想及其內涵，通過分析實例，了解導數概念的實際背通過分析實例，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數景，知道瞬時變化率就是導數. （2）通過函數圖象直觀地理解導通過函數圖象直觀地理解導數的意義數的意義.情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 能夠在已有的經驗（生活經驗，能夠在已有的經驗（生活經驗，數學學習經驗）的基礎上，更好的數學學習經驗）的基礎上，更好的學習瞬時速度，導數等概

3、念學習瞬時速度，導數等概念 .教學重難點教學重難點重點重點 體會導數的思想及其內涵，體會導數的思想及其內涵，形成導數概念形成導數概念.難點難點導數導數的概念及其內涵的概念及其內涵. 在高臺跳水運動中，運動員在不同在高臺跳水運動中，運動員在不同時刻的速度是不同的時刻的速度是不同的.我們把物體在某一我們把物體在某一時刻的速度稱為時刻的速度稱為瞬時速度瞬時速度（instaneous velociy）. 平均速度平均速度反映了物體運動時的快反映了物體運動時的快慢程度慢程度, ,但要精確地描述非勻速直線但要精確地描述非勻速直線運動運動, ,就要知道物體在每一時刻運動就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度的

4、快慢程度, ,也即需要通過也即需要通過瞬時速度瞬時速度來反映來反映. . 已知物體作變速直線運動已知物體作變速直線運動, ,其其運動方程為運動方程為ss（t）( (表示位表示位移移, ,t表示時間）表示時間）, ,求物體在求物體在t0 時刻時刻的速度的速度00()( )limlim.ttss tts tvtt 物體的運動規(guī)律是物體的運動規(guī)律是 s=s(t)，那，那么物體在時刻么物體在時刻 t 的的瞬時速度瞬時速度v，就，就是物體在是物體在t到到 t+t這段時間內，當這段時間內，當 t0 時的平均速度時的平均速度: 物體作自由落體運動物體作自由落體運動,運動方程運動方程為：為： 其中位移單位是其

5、中位移單位是m，時，時間單位是間單位是s，g=10m/s2.求：求：（1） 物體在時間區(qū)間物體在時間區(qū)間2，2.1上的上的平均速度；平均速度；（2） 物體在物體在t=2(s)時的瞬時速度時的瞬時速度.2 21 1s s = =g gt t2 2s ss(2+t)Os(2)解解:_s1v =2g+g(t)t2(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: _v =2.05g=20.5m/s.(2)t0,2+ t2當./202limlim0_0smgtsvvtt 即物體在時刻即物體在時刻t0=2(s)的的瞬時速度瞬時速度等等于于20(m/s).當時間間隔當時間間隔t 逐漸變小時逐漸變小時,平平均

6、速度就越接近均速度就越接近t0=2(s) 時的時的瞬時速度瞬時速度v=20(m/s). 從而平均速度從而平均速度 的極限為的極限為v 還記得上節(jié)課講的關于高臺跳水問題嗎？運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數關系:2 2h(t)=-4.9t +6.5t+10h(t)=-4.9t +6.5t+10通過列表看出平均速度的變化趨勢通過列表看出平均速度的變化趨勢 ： 知道了瞬時速度的概念，那么在高臺跳水運動中，如何求（比如，t=2)運動員的瞬時速度？t0時，在時，在2,2+ t這段時間內這段時間內 h 2 -h 2+h 2 -h 2+ t tv =v =2- 2+2-

7、 2+ t t2 24.94.9 t +13.1t +13.1 t t= =- - t t= = - -4 4. .9 9 t t - -1 13 3. .1 1當當t=0.01時，時， =-13.149；v當當t=0.001時，時， =-13.1049；v當當t=0.0001時，時， =-13.10049；v當當t=0.00001時，時， =-13.100049；v當當t=0.000001時，時， =-13.1000049；v.觀察觀察 當當 趨近于趨近于0時，平均速時，平均速度度 有什么樣的變化？有什么樣的變化？tv 我們發(fā)現，當我們發(fā)現，當 趨近于趨近于0時，即時，即無論無論t從小于從小

8、于2的一邊，還是從大于的一邊，還是從大于2的一邊趨近于的一邊趨近于2時，平均速度都趨近時，平均速度都趨近于一個確定的值于一個確定的值-13.1 .t 我們用我們用 表示表示 “當當t=2, t趨近于趨近于0 時時,平均速平均速度趨于確定值度趨于確定值-13.1”.0limth(2+h(2+ t)-h(2)t)-h(2)=-13.1=-13.1 t t探究探究l那么運動員在某一時刻那么運動員在某一時刻t0的瞬時速的瞬時速度怎么表示度怎么表示?0limt0000h(t +h(t + t)-h(t )t)-h(t ) t t探究探究 函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率又怎么表示？ 一般地，函數

9、一般地，函數 在在 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是 y =f xy =f x0 0 x= xx= x 我們稱它為函數我們稱它為函數 在在 處的處的導數導數（derivative）. yf x0 xx0000limlimxxf xxf xfxx 一般將導數一般將導數記作記作 , ,或或 者者 , ,即即0f (x ) 0 x xy | ( ( ) ) ) ) 00000 x0 xx0f xxf(x )f(xf(x )f (x )limlim xxx 表示函數表示函數y關關于自變量于自變量x在在 處的處的導數導數0|xxy0 x0 xxy 有極限有極限f(x)在點在點x0處可導處可導f(x)在點

10、在點x0處的導數處的導數 是函數是函數f(x)在以在以x0與與x0+x 為端點的區(qū)間為端點的區(qū)間x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均變化率平均變化率,而導數則是函數而導數則是函數f (x)在點在點x0 處的處的變化率變化率,它反映了函數隨自變量變化而變它反映了函數隨自變量變化而變化的快慢程度化的快慢程度 00f(xx) f(x )yxx 000 xx0f(x)-f(x )f (x ) = limx-x事實上，導數也可以用下式表示：事實上，導數也可以用下式表示： 如果函數如果函數y=f(x)在點在點x=x0存在導數，存在導數，就說函數就說函數y=f(x)在點在點x0處處可導可導，如果

11、極限，如果極限不存在，就說函數不存在，就說函數 f(x)在點在點x0處處不可導不可導. 由導數的意義可知，求函數由導數的意義可知，求函數y=f(x)在點在點x0處的導數的基本方法是處的導數的基本方法是:（1）求函數的增量）求函數的增量00y = f(x +x)-f(x ).00f(x +x)-f(x )y=xx（2）求平均變化率）求平均變化率0 x0yf (x ) = lim.x（3）取極限，求得導數）取極限，求得導數 這里的增量不是一般意義上的增量，這里的增量不是一般意義上的增量，它可正也可負它可正也可負.自變量的增量自變量的增量x的形式是的形式是多樣的多樣的,但不論但不論x選擇哪種形式選擇

12、哪種形式, y也必也必須選擇與之相對應的形式須選擇與之相對應的形式.注意！注意！求函數求函數y=x2在在x=1處的導數處的導數.2 22 22 2解解： ( (1 1) ) y y= =( (1 1+ + x x) ) - -1 1 = =2 2 x x+ +( ( x x) ) , ,2 2 y y2 2 x x+ +( ( x x) )= = =2 2+ + x x, , x x x xx x= =1 1 x x0 0 x x0 0 y y l li im m= = l li im m( (2 2+ + x x) )= = 2 2, ,y y | |= = 2 2. . x x課堂小結課堂

13、小結1.瞬時速度的定義瞬時速度的定義 物體在某一時刻的速度稱為物體在某一時刻的速度稱為瞬瞬時速度時速度. .2.導數的定義導數的定義 一般地，函數一般地，函數 在在 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是 yf x0 xx00 x0 x0f x +x -f xflim= limxx 我們稱它為函數我們稱它為函數 在在 處的處的導數導數（derivative）. yf x0 xx3.求導數的步驟求導數的步驟（1）求）求 y； x y（2）求）求 ；（3）取極限得取極限得 f (x)=lim . x y x0若若f(x0)=2，則，則00()()lim_.2kof xkf xk -1隨堂練習隨堂練習1.

14、設函數設函數 f(x)可導可導 ，則，則 x x0 0f(1+f(1+ x)-f(1)x)-f(1)limlim3 3 x x=（ ） A.f (1) B.1f (1)3 C. 不存在不存在 D. 以上都不對以上都不對 B2. 求函數求函數y=x+1/x在在x=2處的導數處的導數.1 11 1- - x x解解： y y = =( (2 2+ + x x) )+ +- -( (2 2+ + ) )= = x x+ +2 2+ + x x2 22 2( (2 2+ + x x) )- - x x x x+ + y y1 12 2( (2 2+ + x x) )= = =1 1- -, , x x

15、 x x2 2( (2 2+ + x x) )x x= =2 2 x x0 0 x x0 0 y y1 11 13 33 3l li im m= = l li im m 1 1- - = =1 1- -= =, ,y y | | = =. . x x2 2( (2 2+ + x x) )4 44 44 43.4. 已知函數已知函數 在在 處的附處的附近有定義，且近有定義，且 ，求，求 的值的值.y =x0 x = x0 x=x1y|=20 x0 00 0解解: : y y= = x x + + x x- - x x , ,0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 x x +

16、 + x x - - x x( ( x x + + x x - - x x ) )( ( x x + + x x+ + x x ) ) y y= = = x x x x x x( ( x x + + x x+ + x x ) )1 1= =. .x x + + x x+ + x x x x0 0 x x0 0000000 y11y11 lim= lim=,lim= lim=, x xx +x + x +x2 xx +x2 x0 0 x x= =x x0 00 01 11 11 1由由y y| |= =, ,得得= =, ,x x = =1 1. .2 22 22 2x x 設函數設函數f(x)在點在點x0處可導處可導, ,求求下列極限值下列極限值. .00 x 0f(x -x)-f(x )lim.x0 00 00 00 0 x x0 0 x x0 00 0f f( (x x - - x x) )- -f f( (x x ) )f f( (x x - - x x) )- -f f( (x x ) )1 1) )原原式式= = l li im m= =- - l li im m- -( (- - x x) )- -解解：( ( x x= =- -f f ( (x x ) ); ;5.習題答案習題答案練習（第練習（第6頁）頁） yf(3+