112導(dǎo)數(shù)的概念

1、舊知回顧舊知回顧平均變化率的定義平均變化率的定義 我們把式子我們把式子 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) f(x)從從 到到 的的平均變化平均變化 率率 . （ average rate of change）2121f x-f xx -x1 1x x2 2x x 平均速度不能反映物體在某段平均速度不能反映物體在某段時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么用什么來(lái)時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么用什么來(lái)衡量物體的狀態(tài)呢？衡量物體的狀態(tài)呢？新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入 如何知道運(yùn)動(dòng)員在每一時(shí)刻的速度呢？ 汽車(chē)在每一刻的汽車(chē)在每一刻的速度怎么知速度怎么知道呢？道呢？3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力知識(shí)與能力（1）體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及

2、其內(nèi)涵）體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵. .（2）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). .（3）理解瞬時(shí)速度的概念）理解瞬時(shí)速度的概念. .過(guò)程與方法過(guò)程與方法 （1）體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，通過(guò)分析實(shí)例，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背通過(guò)分析實(shí)例，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù). （2）通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的意義數(shù)的意義.情感態(tài)度與價(jià)值觀情感態(tài)度與價(jià)值觀 能夠在已有的經(jīng)驗(yàn)（生活經(jīng)驗(yàn)，能夠在已有的經(jīng)驗(yàn)（生活經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）的基礎(chǔ)上，更好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）的基礎(chǔ)上，更好的學(xué)習(xí)瞬時(shí)速度，導(dǎo)數(shù)等概

3、念學(xué)習(xí)瞬時(shí)速度，導(dǎo)數(shù)等概念 .教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)重點(diǎn) 體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，形成導(dǎo)數(shù)概念形成導(dǎo)數(shù)概念.難點(diǎn)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其內(nèi)涵的概念及其內(nèi)涵. 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在不同在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在不同時(shí)刻的速度是不同的時(shí)刻的速度是不同的.我們把物體在某一我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度（instaneous velociy）. 平均速度平均速度反映了物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的快反映了物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的快慢程度慢程度, ,但要精確地描述非勻速直線(xiàn)但要精確地描述非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng), ,就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度的

4、快慢程度, ,也即需要通過(guò)也即需要通過(guò)瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度來(lái)反映來(lái)反映. . 已知物體作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)已知物體作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng), ,其其運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為ss（t）( (表示位表示位移移, ,t表示時(shí)間）表示時(shí)間）, ,求物體在求物體在t0 時(shí)刻時(shí)刻的速度的速度00()( )limlim.ttss tts tvtt 物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s=s(t)，那，那么物體在時(shí)刻么物體在時(shí)刻 t 的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v，就，就是物體在是物體在t到到 t+t這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t0 時(shí)的平均速度時(shí)的平均速度: 物體作自由落體運(yùn)動(dòng)物體作自由落體運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程為：為： 其中位移單位是其

5、中位移單位是m，時(shí)，時(shí)間單位是間單位是s，g=10m/s2.求：求：（1） 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2，2.1上的上的平均速度；平均速度；（2） 物體在物體在t=2(s)時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度.2 21 1s s = =g gt t2 2s ss(2+t)Os(2)解解:_s1v =2g+g(t)t2(1)將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得: _v =2.05g=20.5m/s.(2)t0,2+ t2當(dāng)./202limlim0_0smgtsvvtt 即物體在時(shí)刻即物體在時(shí)刻t0=2(s)的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度等等于于20(m/s).當(dāng)時(shí)間間隔當(dāng)時(shí)間間隔t 逐漸變小時(shí)逐漸變小時(shí),平平均

6、速度就越接近均速度就越接近t0=2(s) 時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v=20(m/s). 從而平均速度從而平均速度 的極限為的極限為v 還記得上節(jié)課講的關(guān)于高臺(tái)跳水問(wèn)題嗎？運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系:2 2h(t)=-4.9t +6.5t+10h(t)=-4.9t +6.5t+10通過(guò)列表看出平均速度的變化趨勢(shì)通過(guò)列表看出平均速度的變化趨勢(shì) ： 知道了瞬時(shí)速度的概念，那么在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，如何求（比如，t=2)運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度？t0時(shí)，在時(shí)，在2,2+ t這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi) h 2 -h 2+h 2 -h 2+ t tv =v =2- 2+2-

7、 2+ t t2 24.94.9 t +13.1t +13.1 t t= =- - t t= = - -4 4. .9 9 t t - -1 13 3. .1 1當(dāng)當(dāng)t=0.01時(shí)，時(shí)， =-13.149；v當(dāng)當(dāng)t=0.001時(shí)，時(shí)， =-13.1049；v當(dāng)當(dāng)t=0.0001時(shí)，時(shí)， =-13.10049；v當(dāng)當(dāng)t=0.00001時(shí)，時(shí)， =-13.100049；v當(dāng)當(dāng)t=0.000001時(shí)，時(shí)， =-13.1000049；v.觀察觀察 當(dāng)當(dāng) 趨近于趨近于0時(shí)，平均速時(shí)，平均速度度 有什么樣的變化？有什么樣的變化？tv 我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 趨近于趨近于0時(shí)，即時(shí)，即無(wú)論無(wú)論t從小于從小

8、于2的一邊，還是從大于的一邊，還是從大于2的一邊趨近于的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值于一個(gè)確定的值-13.1 .t 我們用我們用 表示表示 “當(dāng)當(dāng)t=2, t趨近于趨近于0 時(shí)時(shí),平均速平均速度趨于確定值度趨于確定值-13.1”.0limth(2+h(2+ t)-h(2)t)-h(2)=-13.1=-13.1 t t探究探究l那么運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻那么運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速的瞬時(shí)速度怎么表示度怎么表示?0limt0000h(t +h(t + t)-h(t )t)-h(t ) t t探究探究 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率又怎么表示？ 一般地，函數(shù)

9、一般地，函數(shù) 在在 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是 y =f xy =f x0 0 x= xx= x 我們稱(chēng)它為函數(shù)我們稱(chēng)它為函數(shù) 在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（derivative）. yf x0 xx0000limlimxxf xxf xfxx 一般將導(dǎo)數(shù)一般將導(dǎo)數(shù)記作記作 , ,或或 者者 , ,即即0f (x ) 0 x xy | ( ( ) ) ) ) 00000 x0 xx0f xxf(x )f(xf(x )f (x )limlim xxx 表示函數(shù)表示函數(shù)y關(guān)關(guān)于自變量于自變量x在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)0|xxy0 x0 xxy 有極限有極限f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo)f(x)在點(diǎn)

10、在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)在以在以x0與與x0+x 為端點(diǎn)的區(qū)間為端點(diǎn)的區(qū)間x0,x0+x(或或x0+x,x0)上的上的平均變化率平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0 處的處的變化率變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度化的快慢程度 00f(xx) f(x )yxx 000 xx0f(x)-f(x )f (x ) = limx-x事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)也可以用下式表示：事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)也可以用下式表示： 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=x0存在導(dǎo)數(shù)，存在導(dǎo)數(shù)，就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處可導(dǎo)可導(dǎo)，如果

11、極限，如果極限不存在，就說(shuō)函數(shù)不存在，就說(shuō)函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處不可導(dǎo)不可導(dǎo). 由導(dǎo)數(shù)的意義可知，求函數(shù)由導(dǎo)數(shù)的意義可知，求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:（1）求函數(shù)的增量）求函數(shù)的增量00y = f(x +x)-f(x ).00f(x +x)-f(x )y=xx（2）求平均變化率）求平均變化率0 x0yf (x ) = lim.x（3）取極限，求得導(dǎo)數(shù)）取極限，求得導(dǎo)數(shù) 這里的增量不是一般意義上的增量，這里的增量不是一般意義上的增量，它可正也可負(fù)它可正也可負(fù).自變量的增量自變量的增量x的形式是的形式是多樣的多樣的,但不論但不論x選擇哪種形式選擇

12、哪種形式, y也必也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.注意！注意！求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).2 22 22 2解解： ( (1 1) ) y y= =( (1 1+ + x x) ) - -1 1 = =2 2 x x+ +( ( x x) ) , ,2 2 y y2 2 x x+ +( ( x x) )= = =2 2+ + x x, , x x x xx x= =1 1 x x0 0 x x0 0 y y l li im m= = l li im m( (2 2+ + x x) )= = 2 2, ,y y | |= = 2 2. . x x課堂小結(jié)課堂

13、小結(jié)1.瞬時(shí)速度的定義瞬時(shí)速度的定義 物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬瞬時(shí)速度時(shí)速度. .2.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) 在在 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是 yf x0 xx00 x0 x0f x +x -f xflim= limxx 我們稱(chēng)它為函數(shù)我們稱(chēng)它為函數(shù) 在在 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（derivative）. yf x0 xx3.求導(dǎo)數(shù)的步驟求導(dǎo)數(shù)的步驟（1）求）求 y； x y（2）求）求 ；（3）取極限得取極限得 f (x)=lim . x y x0若若f(x0)=2，則，則00()()lim_.2kof xkf xk -1隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1.

14、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)可導(dǎo)可導(dǎo) ，則，則 x x0 0f(1+f(1+ x)-f(1)x)-f(1)limlim3 3 x x=（ ） A.f (1) B.1f (1)3 C. 不存在不存在 D. 以上都不對(duì)以上都不對(duì) B2. 求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).1 11 1- - x x解解： y y = =( (2 2+ + x x) )+ +- -( (2 2+ + ) )= = x x+ +2 2+ + x x2 22 2( (2 2+ + x x) )- - x x x x+ + y y1 12 2( (2 2+ + x x) )= = =1 1- -, , x x

15、 x x2 2( (2 2+ + x x) )x x= =2 2 x x0 0 x x0 0 y y1 11 13 33 3l li im m= = l li im m 1 1- - = =1 1- -= =, ,y y | | = =. . x x2 2( (2 2+ + x x) )4 44 44 43.4. 已知函數(shù)已知函數(shù) 在在 處的附處的附近有定義，且近有定義，且 ，求，求 的值的值.y =x0 x = x0 x=x1y|=20 x0 00 0解解: : y y= = x x + + x x- - x x , ,0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 x x +

16、 + x x - - x x( ( x x + + x x - - x x ) )( ( x x + + x x+ + x x ) ) y y= = = x x x x x x( ( x x + + x x+ + x x ) )1 1= =. .x x + + x x+ + x x x x0 0 x x0 0000000 y11y11 lim= lim=,lim= lim=, x xx +x + x +x2 xx +x2 x0 0 x x= =x x0 00 01 11 11 1由由y y| |= =, ,得得= =, ,x x = =1 1. .2 22 22 2x x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,求求下列極限值下列極限值. .00 x 0f(x -x)-f(x )lim.x0 00 00 00 0 x x0 0 x x0 00 0f f( (x x - - x x) )- -f f( (x x ) )f f( (x x - - x x) )- -f f( (x x ) )1 1) )原原式式= = l li im m= =- - l li im m- -( (- - x x) )- -解解：( ( x x= =- -f f ( (x x ) ); ;5.習(xí)題答案習(xí)題答案練習(xí)（第練習(xí)（第6頁(yè)）頁(yè)） yf(3+