湖北剩州市沙市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué)1.2.2正余弦定理在三角形中的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

1、高中數(shù)學(xué)高一年級(jí)必修五第一章 第1.2.2節(jié)：正、余弦定理在三角形中的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題，掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用。并結(jié)合三角形的有關(guān)知識(shí)解決三角形面積有關(guān)的問(wèn)題。讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，讓學(xué)生在歸納探究中體驗(yàn)成功收獲的愉悅。學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：能推導(dǎo)三角形的面積公式并利用面積公式及正弦定理、余弦定理來(lái)解決有關(guān)三角形面積的題目。 難點(diǎn)：利用正弦定理、余弦定理解決簡(jiǎn)單的面積問(wèn)題，并能利用三角形的有關(guān)知識(shí)及正、余弦定理來(lái)證明與三角形邊角有關(guān)的恒等式

2、。 學(xué)法指導(dǎo)教師可放手讓學(xué)生探究，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能夠不拘一格，一題多解。D知識(shí)鏈接回顧我們的探究經(jīng)歷，從初中的直角三角形出發(fā)，引入三角形中的某個(gè)角，采取將銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的策略，結(jié)果探究出了三角形中的兩個(gè)重要定理正弦定理和余弦定理，給我們解決三角形問(wèn)題帶來(lái)了極大的便利，那么我們不禁要問(wèn)：利用三角形的有關(guān)知識(shí)還能推導(dǎo)出什么有用的結(jié)果呢？由此展開(kāi)新課。E自主學(xué)習(xí)三角形的面積公式提出問(wèn)題在ABC中，若AC3，BC4，C60°.問(wèn)題1：ABC的高AD為多少？提示：ADAC·sin C3×sin 60°

3、.問(wèn)題2：ABC的面積為多少？提示：SABCBC·AD×4×3.問(wèn)題3：若ACb，BCa，你發(fā)現(xiàn)ABC的面積S可以直接用a，b，C表示嗎？提示：能Sabsin C.導(dǎo)入新知三角形的面積公式(1)Sa·ha(ha表示a邊上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.化解疑難三角形的面積公式Sabsin C與原來(lái)的面積公式Sa·h(h為a邊上的高)的關(guān)系為：hbsin C，實(shí)質(zhì)上bsin C就是ABC中a邊上的高F.合作探究三角形的面積計(jì)算例1在ABC中，已知C120°，AB2，AC2，求ABC的面積解由正弦定理知，即，所以

4、sin B，由于ABAC，所以CB，故B30°.從而A180°120°30°30°.所以ABC的面積SAB·AC·sin A·2·2·sin 30° .類題通法1求三角形面積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡(jiǎn)便、最快捷的計(jì)算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計(jì)算，還能使計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)值2事實(shí)上，在眾多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過(guò)來(lái)，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相

5、應(yīng)的邊或角，應(yīng)熟練應(yīng)用此公式活學(xué)活用1(1)在ABC中，若A60°，b16，SABC64，則c_.(2)在ABC中，若a3，b2，c4，則其面積等于_解析：(1)由已知得SABC·bc·sin A，即64×16×c×sin 60°，解得c16.(2)由余弦定理得cos A，所以sin A ，于是SABCbcsin A×2×4×.答案：(1)16(2)三角形中的恒等式證明問(wèn)題例2在ABC中，求證：.解法一：左邊·右邊，其中R為ABC外接圓的半徑.法二：左邊右邊，(cos C0).類題通法

6、解決此類問(wèn)題，既要用到三角形中特有的恒等變形公式，又要用到任意角三角函數(shù)的恒等變形公式，兩者要結(jié)合，靈活運(yùn)用三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式，主要是正弦定理、余弦定理這兩個(gè)定理，因此這類題型都可用不同的途徑求解活學(xué)活用2在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，求證：c.證明：由余弦定理的推論得cos B，cos A，代入等式右邊，得右邊c左邊，c.三角形中的綜合問(wèn)題例3在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面積為2，求b，c.解(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos B

7、cos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，從而cos Acos(BC).(2)由于0<A<，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213，解方程組得或類題通法解決三角形的綜合問(wèn)題，除靈活運(yùn)用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識(shí)外，一般還要用到三角函數(shù)、三角恒等變換、方程等知識(shí)因此，掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式和性質(zhì)是解題關(guān)鍵活學(xué)活用3在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cos，·3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解：(1)cos，cos A2c

8、os21，sin A.又由·3，得bccos A3，bc5，SABCbcsin A2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，a2.典例(12分)如圖，在四邊形ABCD中，ACCDAB1，·1，sinBCD.(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD的面積解題流程規(guī)范解答(1)ACCDAB1，···cosBAC2cosBAC1， cosBAC，BAC60°.(3分)在ABC中，由余弦定理有：BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC22122×2&#

9、215;1×3，BC(6分)(2)由(1)知，在ABC中有：AB2BC2AC2，ABC為直角三角形，且ACB90°，(7分)SABCBC·AC××1.(8分)又BCDACBACD90°ACD，sinBCD，cosACD，(9分)從而sinACD，(10分)SACDAC·CD·sinACD×1×1×.(11分)S四邊形ABCDSABCSACD.(12分)名師批注向量數(shù)量積運(yùn)算公式易用錯(cuò)，在ABC中，和夾角有時(shí)誤認(rèn)為ABC，從而不得分 利用了誘導(dǎo)公式求cosACD，求解時(shí)對(duì)取正負(fù)號(hào)不把握活

10、學(xué)活用在ABC，中，AB2，cos C，D是AC上一點(diǎn)，AD2DC，且cosDBC.求：(1)BDA的大??；(2) ·.解：(1)由已知得cosDBC，cos C，從而sinDBC，sin C，cosBDAcos(DBCC)××，BDA.(2)設(shè)DCx，則AD2x，AC3x，設(shè)BCa，則在DBC中，由正弦定理得，ax.在ABC中，由余弦定理，得4(3x)2(x)22·3x·x·.解得x1，3，.··cos(C)2××4.G.課堂小結(jié)由學(xué)生整理學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？有什么收獲？H達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1在A

11、BC中，已知AB2，BC5，ABC的面積為4，若ABC，則cos 是()A. B.C± D±解析：選CSABCAB·BCsinABC×2×5×sin 4.sin .又(0，)，cos ±±.2在ABC中，已知A30°，a8，b8，則ABC的面積為()A32 B.16C32或16 D32或16解析：選D在ABC中，由正弦定理，得sin B，又ba，B60°或120°.當(dāng)B60°時(shí)，C180°30°60°90°，SABC×8

12、15;832；當(dāng)B120°時(shí)，C180°30°120°30°，SABCabsin C×8×8×16.3在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面積SABC，則邊BC的邊長(zhǎng)為()A. B.3C. D7解析：選ASABCAB·ACsin A，AC1由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos A412×2×1×cos 60°3.即BC.4ABC的周長(zhǎng)為20，面積為10，A60°，則BC的邊長(zhǎng)等于()A5 B.6C7 D8解析：選C如圖

13、由題意得由(2)得bc40.由(3)得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)23×40a7.5某人從出發(fā)點(diǎn)A向正東走x m后到B，向左轉(zhuǎn)150°再向前走3 m到C，測(cè)得ABC的面積為 m2，則此人這時(shí)離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為()A3 mB. mC2 mD. m解析：選D在ABC中，SAB×BCsin B，×x×3×sin 30°，x.由余弦定理，得AC (m)二、填空題6ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為_(kāi)解析：不妨設(shè)b2，c2，cos A，則a2b2c22bc·cos A9，a3.又s

14、in A ，外接圓半徑為R.答案：7一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過(guò) h，該船實(shí)際航程為_(kāi)解析：如圖所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60°，AD212482×2×4×36，AD6，即該船實(shí)際航程為6 km.答案：6 km8在ABC中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，則三邊長(zhǎng)為_(kāi)解析：由題意知a邊最大sin A，A120°，a2b2c22bccos A.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答題9在ABC中，若c4，b7，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為，求邊長(zhǎng)a.解：AD是BC邊上的中線，可設(shè)CDDBx，則CBa2x.c4，b7，AD，在ACD中，有cos C，在ABC中，有cos C.解得x.a2x9.10(2010