多元函數(shù)分析性質(zhì)之間的關(guān)系精品資料

1、多元函數(shù)分析性質(zhì)之間的關(guān)系本文主要介紹了二元函數(shù)連續(xù)性， 偏導(dǎo)性存在及可微性的基礎(chǔ)知識(shí)， 對(duì)它們分別進(jìn)行了總結(jié)證明和進(jìn)一步的討論， 總結(jié)出這三個(gè)概念之間的關(guān)系， 并舉出例子加以論證支撐。 由淺入深，從簡(jiǎn)單開始，逐步深入，做深入探究多元函數(shù)連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)及可微性之間的關(guān)系。一、二元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及可微三個(gè)概念的定義（一）二元函數(shù)的連續(xù)性定義1設(shè) f 為定義在點(diǎn)集DR 2 上的二元函數(shù)，P0D ( 它或者是D 的聚點(diǎn)，或者是D 的孤立點(diǎn)）。對(duì)于任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，只要PU（ P0;)D ,就有f (P)f ( P0 ) <,則稱f 在 D 上任何點(diǎn)都關(guān)于集合D 連續(xù)，在不誤解的

2、情況下，也稱f 在點(diǎn)P0 連續(xù)。若 f 在 D 上任何點(diǎn)都關(guān)于集合 D 連續(xù)，則稱 f 在點(diǎn) P0 連續(xù)。由上述定義知道：若 P0 是 D 的孤立點(diǎn)，則 P0 必定是 f 關(guān)于 D 的連續(xù)點(diǎn)；若P0 是 D 聚點(diǎn)，則 f 關(guān)于 D 在 P0 連續(xù)等價(jià)于limf ( P)f ( P0 )P P0P D（二）二元函數(shù)的可微性定義 2 設(shè)函數(shù) zf ( x, y)在點(diǎn)p0 ( x0 , y0 ) 的某領(lǐng)域U ( p0 ) 內(nèi)有定義，對(duì)于 U ( p0 ) 中的點(diǎn)p( x, y）（x0x, y0y) ，若函數(shù)f在點(diǎn)p0 處的全增量z表示為zf ( x0x, y0y)f ( x, y)A xB yo()

3、 ,其中A,B 是僅與點(diǎn)P0 有關(guān)的常數(shù)，x2y2，o() 是較高階的無(wú)窮小量，則稱函數(shù)f在點(diǎn)P0 處可微，并稱上式中關(guān)于x ，y 的線性函數(shù) A xB y 為函數(shù)f在點(diǎn)P0 的全微分，記作dz |p0df ( x0 , y0 )A xB y由上可知dz 是z的線性主部，特別當(dāng)|x |， |y |充分小時(shí)，全微分dz可作為全增量z的近似值，即f( ,)f(x0,y0)(）()x yA x x0B y y0有時(shí)也把(,)( , )x( )z f x0x y0yf x yAB y o寫成如下形式z A x B xxy， 這 里li mli m0( x, y )( 0,0)( x, y )(0,0)

4、（三）二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)由一元函數(shù)微分學(xué)知道：若f ( x0x)f ( x0 )A xo( x), 其中A f ' (x0 ) 。同樣，若二元函數(shù) f 在點(diǎn)（ x0 , y0 ) 可微，則 f 在（x0 , y0 ) 處的全增量 可由zf (x0x, y0y)f ( x0 , y0 )A xB yo( )表 示 。 現(xiàn) 在 討 論 其 中 A 、 B 的 值 與 函 數(shù) f的關(guān)系。為此，在式子z AxB yxy 中令 y0( x0) ，這時(shí)得到z 關(guān)于 x的偏增量x z，且有xzA xx 或者x zAx現(xiàn)讓x0 ，由上式得 A的一個(gè)極限表達(dá)式Alimx zlimf ( x0x, y0 )

5、f ( x0 , y0 )x 0xx 0x容易看出，上式右邊的極限正是關(guān)于x 的一元函數(shù) f (x, y0 ) 在 x x0 處的導(dǎo)數(shù)。類似地，令 x 0( y 0) ，由zA xB yxy 又得到B limy zlimf ( x, y0y)f ( x, y)0y00，它是關(guān)于 y 的一元x 0yy 0函數(shù) f ( x0 , y) 在 yy0 處的導(dǎo)數(shù)。綜上所述，可知函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) ( x, y) 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上是00把 x 固定在 x0 ，讓 y 有增量y ，如果極限存在 ，那么 次極限 稱為函 數(shù)zf ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 點(diǎn)處對(duì) y 的

6、偏導(dǎo)數(shù)，記作 f y (x0 , y0 ) 。因此，二元函數(shù)當(dāng)固定其中一個(gè)自變量時(shí)， 它對(duì)另一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù)，可定義如下：定義 3設(shè)函數(shù) zf ( x, y), ( x, y)D . 若 (x0 , y0 )D , 且 f ( x, y0 ) 在x0 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限limx f ( x0 , y0 )limf (x0x, y0 )f ( x0, y0 )xx存在時(shí)，稱x 0x 0這 個(gè)極 限 為 函 數(shù) f 在 點(diǎn) (x0,y0) 關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記作fx ( x0, y0）或fx (x0 , y0 )注意 1 這里符號(hào)，專用于偏導(dǎo)數(shù)算符，與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)d 相xy

7、dx仿，但沒(méi)有差別。（x0y0,) 存在關(guān)于x(或y)的偏導(dǎo)數(shù)，f至注意 2 在上述定義中， f 在點(diǎn)少在 （ x, y) yy0, xx0（或 ( x, y) xx0 , y y0) 上必須有定義。若函數(shù) zf (x, y) 在區(qū)域 D 上每一點(diǎn)（x, y) 都存在對(duì) x（或?qū)?y ）的偏導(dǎo)數(shù)，則得到函數(shù) zf ( x, y) 在區(qū)域 D 上對(duì) x（或?qū)?y ）的偏導(dǎo)函數(shù)（也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)），記作f x( x, y) 或 f ( x, y)f y ( x, y)或 f ( x, y)xy也可簡(jiǎn)單的寫作f z , zx 或fxf y , zy或fy二、二元函數(shù)三個(gè)概念的結(jié)論及證明（一）二元函數(shù)連續(xù)

8、性的結(jié)論總結(jié)及證明一元函數(shù)若在某點(diǎn)存在左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，則這個(gè)一元函數(shù)必在這點(diǎn)連續(xù)，但對(duì)于二元函數(shù)f ( x, y) 來(lái)說(shuō)，即使它在某點(diǎn)P0 ( x0 , y0 ) 即存在關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù)f x ( x0 , y0 ) ， 又 存在 關(guān)于 y 的偏導(dǎo) 數(shù) f y ( x0 , y0 ) ， f ( x, y) 也 未必 在點(diǎn)P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)，如下定理有：定理 1 設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P（x, y) 的某鄰域 U (P ）內(nèi)有定義，若0000f (x0 , y) 作為 y 的一元函數(shù)在點(diǎn) yy0 連續(xù)， f x (x, y) 在 U ( P0 ) 內(nèi)有界，則f

9、(x, y) 在點(diǎn) P0 (x, y) 連續(xù)。證明：任取 (x0x, y0 y)U(P0), 則f(x0,y)f(x0,y0)x y0f ( x0 x, y0y) f ( x0, y0y)f ( x0, y0y) f ( x0 , y0 )（ 1）由于 fx( x, y) 在 U ( P ) 存在，故對(duì)于取定的 y0y ， f ( x, yy) 作00為 x 的一元函數(shù)在以 x0 和 x0x為端點(diǎn)的閉區(qū)間上可導(dǎo)。從而據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中的拉格朗日中值定理，存在（0,1），使f ( x0x, y0y)f (x0 , y0y)f x( x0x, y0y) x將它代入（1）式，得由于f x(x0(x0

10、x, y0f ( x0x, yy)x, y0y) xU(P0)y)f (x0 , 故 f xf ( x0 , y0 )y0y)f (x0 , y0 ) （2）(x0x, y0y) 有界，因而當(dāng) ( x0 ,y)(0,0) 時(shí)有f ( x0x, y0y). x0又據(jù)定理的條件知， f( x , y) 在 yy連續(xù)，故當(dāng) (x, y) (0,0) 時(shí)，00又有f ( x0 , x0y)f ( x0 , y0 )0.所以，由（ 2）知，有l(wèi)im f( xx, y0y)f ( x, y)0.x0000y0這說(shuō)明f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)。推論1設(shè)函數(shù)zf ( x, y

11、) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 的某鄰域 U ( p0 )內(nèi)有定義，若f (x0 , y) 作為y 的一元函數(shù)在點(diǎn)yy0 連續(xù)， f x ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)，則 f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)。證明 由于 f x (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 連續(xù)，故 fx ( x, y) 必在點(diǎn) P0 (x0 , y0 )的某鄰域內(nèi)有界，因而據(jù)定理1， f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)。推論 2 設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P( x, y) 的某鄰域 U (P ) 內(nèi)有定義，若0000f( x, y) 在 U (P ) 有界， fy( x, y ) 存在，則 f ( x, y) 在點(diǎn) P( x, y) 連續(xù)。x000000證明：由于 f y ( x0 , y0 ) 存在，故 f ( x0 , y) 作為 y 的一元函數(shù)在點(diǎn)yy0連續(xù)，從而據(jù)定理1 可得， f ( x, y) 在點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) 連續(xù)。同理可證如下的定理2 及其推論。定理 2設(shè)函數(shù) zf ( x, y) 在點(diǎn) P( x, y) 的某鄰域U (P ) 有定義，0000fy( x, y) 在U ( p ) 內(nèi)有界， f (x, y) 作為 x 的一元函數(shù)在點(diǎn)xx連續(xù)，則000f (x