速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)

1、2.2 .2.2 .速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)回顧回顧實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的兩個(gè)必要條件實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的兩個(gè)必要條件: : 工作物質(zhì)粒子有適當(dāng)?shù)哪芗壗Y(jié)構(gòu)工作物質(zhì)粒子有適當(dāng)?shù)哪芗壗Y(jié)構(gòu) 有合適的激勵(lì)能源有合適的激勵(lì)能源前瞻前瞻分析方法分析方法: : 速率方程方法速率方程方法以及速率方程的求解步驟以及速率方程的求解步驟速率方程方法速率方程方法: : 分析粒子系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)的一種方法分析粒子系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)的一種方法 速率方程速率方程: : 描述各能級粒子數(shù)描述各能級粒子數(shù)( (密度密度) )變化速率的方程變化速率的方程組組 速率方程的求解步驟速率方程的求解步驟: : (1)(1)列出速

2、率方程列出速率方程: : ( ( i=1,2,. n) dtdnin是粒子參予光和物質(zhì)相互作用的能級總數(shù)。若粒子有是粒子參予光和物質(zhì)相互作用的能級總數(shù)。若粒子有n n個(gè)個(gè)能級能級, , 則可列出則可列出n個(gè)方程個(gè)方程, , 其中其中( (n-1)-1)個(gè)獨(dú)立。個(gè)獨(dú)立。(!可實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的幾種量子系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的幾種量子系統(tǒng))(2)(2)求出速率方程的穩(wěn)定解求出速率方程的穩(wěn)定解( (數(shù)學(xué)解數(shù)學(xué)解): ): 求出穩(wěn)態(tài)下求出穩(wěn)態(tài)下 ( ) ( )各能級的粒子數(shù)各能級的粒子數(shù), , 或比值或比值 0dtdniijnn 其中其中nj -激光上能級粒子數(shù)激光上能級粒子數(shù) ni -激光下能級粒子數(shù)激

3、光下能級粒子數(shù)穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)-達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí); ; 穩(wěn)態(tài)下各能級粒子數(shù)密度不再穩(wěn)態(tài)下各能級粒子數(shù)密度不再變化變化 ( (即即 ) )。 0dtdni（3 3） 確定粒子數(shù)反轉(zhuǎn)確定粒子數(shù)反轉(zhuǎn)( (即即 ） 的物理?xiàng)l件的物理?xiàng)l件( (物理解物理解) )1ijnn1 1 三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)一一. . 二能級系統(tǒng)二能級系統(tǒng) * *( (光與粒子相互作用過程只涉及二個(gè)能級光與粒子相互作用過程只涉及二個(gè)能級) )1.1.能級圖能級圖 約定約定: : 實(shí)線箭頭代表輻射躍遷實(shí)線箭頭代表輻射躍遷; ; 虛線箭頭代表非輻射躍遷虛線箭頭代表非輻射躍遷。其中其中 ：W12受激吸收幾率

4、受激吸收幾率( (激勵(lì)幾率激勵(lì)幾率) ) W21受激發(fā)射幾率受激發(fā)射幾率 A21自發(fā)發(fā)射幾率自發(fā)發(fā)射幾率 21非輻射躍遷幾率非輻射躍遷幾率( (熱弛豫等熱弛豫等, , 熱弛豫即熱運(yùn)動(dòng)熱弛豫即熱運(yùn)動(dòng) 碰撞交換能量碰撞交換能量) ) （雙下標(biāo)代表過程的量） dtndnW1212dtndnW2221dtndnA2221 2. 2.速率方程速率方程: : 二能級系統(tǒng)只有二能級系統(tǒng)只有1 1個(gè)獨(dú)立的速率方程個(gè)獨(dú)立的速率方程方程中的每一項(xiàng)方程中的每一項(xiàng): :某一過程的某一過程的幾率幾率與該過程始態(tài)能級上的粒子數(shù)之積與該過程始態(tài)能級上的粒子數(shù)之積 = = 該過程該過程導(dǎo)致的粒子數(shù)變化率導(dǎo)致的粒子數(shù)變化率(!

5、)(!) 能級能級E2上粒子數(shù)密度的變化率為上粒子數(shù)密度的變化率為 ：2212212211122nnAnWnWdtdn 第一項(xiàng)第一項(xiàng)受激吸收引起的受激吸收引起的n2的增加率的增加率, , 取正號取正號 ( (過程幾率與過程始態(tài)上粒子數(shù)的乘積過程幾率與過程始態(tài)上粒子數(shù)的乘積); ); 第二項(xiàng)第二項(xiàng)受激發(fā)射引起的受激發(fā)射引起的n2的減少率的減少率, , 取負(fù)號取負(fù)號; ; 第三項(xiàng)第三項(xiàng)自發(fā)發(fā)射引起的自發(fā)發(fā)射引起的n2的減少率的減少率, , 取負(fù)號取負(fù)號; ; 第四項(xiàng)第四項(xiàng)非輻射躍遷引起的非輻射躍遷引起的n2的減少率的減少率, , 取負(fù)號。取負(fù)號。 E1 E2 21 A21 W21 W12 若設(shè)若設(shè)

6、 g1=g2 , 則則 W12=W21=W, 速率方程變?yōu)樗俾史匠套優(yōu)?21221212)(nnAnnWdtdn 3.3.穩(wěn)定解穩(wěn)定解( (數(shù)學(xué)解數(shù)學(xué)解): ): 穩(wěn)態(tài)下穩(wěn)態(tài)下 , , 故故 02dtdn212112AWWnn 可見可見: : 對二能級系統(tǒng)對二能級系統(tǒng), , 一般總有一般總有 ; ; 僅當(dāng)激勵(lì)速率很大時(shí)僅當(dāng)激勵(lì)速率很大時(shí) ( ), ( ), 12nn 212112 AW12nn 4.4.結(jié)論結(jié)論( (物理解物理解): ): 在光頻區(qū)在光頻區(qū), , 二能級系統(tǒng)二能級系統(tǒng)不可能不可能實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)實(shí)現(xiàn)粒子數(shù) 反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)二二. . 實(shí)現(xiàn)上下能級之間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)產(chǎn)生激光的物理過程：實(shí)現(xiàn)上下能級

7、之間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)產(chǎn)生激光的物理過程：1.1. 三能級系統(tǒng)圖:其中其中 E1基態(tài)能級基態(tài)能級, , 又是激光下能級又是激光下能級, , 也是抽運(yùn)能級。也是抽運(yùn)能級。 E2激光上能級激光上能級, , 是亞穩(wěn)能級是亞穩(wěn)能級( ( 2121小小) )。 E3抽運(yùn)能級抽運(yùn)能級, , 非輻射躍遷幾率大非輻射躍遷幾率大( (3232大大(!)(!) 其主要特征是激光的下能級為基態(tài)，極易積累粒子(幾乎聚集了所有粒子),發(fā)光過程中下能級的粒子數(shù)一直保存有相當(dāng)?shù)臄?shù)量,對抽運(yùn)的要求很高。所以不易實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)所以不易實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn).32n1n2n3n 由圖可見:四能級系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn), 只要求n2n1而不必令n2

8、 n0,而n0則是極易積累的基態(tài)粒子數(shù)。E0:基能級基能級/ /光抽運(yùn)能級光抽運(yùn)能級E1:不是基態(tài)能級，而是一個(gè)激發(fā)態(tài)能不是基態(tài)能級，而是一個(gè)激發(fā)態(tài)能, ,是激光下能級是激光下能級, , 10小小 而而10大大( (迅速弛豫到迅速弛豫到E0, 抽空抽空E1, 減少減少n1)在常溫下基本上是空的。在常溫下基本上是空的。E2: 激光上能級激光上能級/ /亞穩(wěn)能級亞穩(wěn)能級( (易積累易積累n2)E3: 光抽運(yùn)能級光抽運(yùn)能級, , 32小而小而32 大大( (迅速迅速弛豫弛豫到到E2) 2.2. 四能級系統(tǒng)圖:10 3.3.激光下能級粒子數(shù)與基態(tài)粒子數(shù)的比較激光下能級粒子數(shù)與基態(tài)粒子數(shù)的比較: : 實(shí)

9、例實(shí)例: (: (三價(jià)釹離子三價(jià)釹離子) ) 3dNeVh25. 010eVkT062. 0 45 . 9210110)/exp(ekThnn01nn ,而常溫下而常溫下(T=300K) 即即1. 1. 圖圖(2-5)(2-5)為簡化的四能級圖，為簡化的四能級圖，n0、n1、n2分別為基態(tài)、上能級、下能級分別為基態(tài)、上能級、下能級的粒子數(shù)密度；的粒子數(shù)密度；n為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，R1、R2分別是激勵(lì)分別是激勵(lì)能源將基態(tài)能源將基態(tài)E0上的粒子抽運(yùn)到上的粒子抽運(yùn)到E1、E2能級上的速率；能級上的速率； 2.2.速率方程速率方程: 3: 3個(gè)能級應(yīng)有個(gè)能級

10、應(yīng)有2 2個(gè)獨(dú)立方程個(gè)獨(dú)立方程(1)(1)E2能級在單位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密能級在單位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密度為：度為：)(g)(g 121212212212121221222BnBnAnRWnWnAnRdtdn)(g02121vBW 此處因?yàn)榭紤]到介質(zhì)的線型函數(shù)遠(yuǎn)比傳播著的光能量密度為 的單色受激輻射光的線寬要寬得多,故應(yīng)用(1-54)式和(1-55)式)(g01212vBW因?yàn)镋2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率A21遠(yuǎn)大于E2能級向基級能級E0的自發(fā)躍遷幾率A20 ,所以這里沒有考慮由A20引起的躍遷.圖(2-5)）簡化的四能級圖0n1n2n2 2 速率方程組速率方程組(2)(2)E1能級在單

11、位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密度為：能級在單位時(shí)間內(nèi)增加的粒子數(shù)密度為：圖(2-5)）簡化的四能級圖0n1n2n101121212212110112121221211)()(g AngBnBnAnRAnWnWnAnRdtdn式中各項(xiàng)的物理過程及物理意義如同以上所述.總的粒子數(shù)為各能級粒子數(shù)之和nnnn210)()(g 121212212212121221222gBnBnAnRWnWnAnRdtdn101121212212110112121221211)()(g AngBnBnAnRAnWnWnAnRdtdn210nnnn速率方程組速率方程組 以上三式即為在增益介質(zhì)中同時(shí)存在抽運(yùn)、吸收、自發(fā)輻射和受激輻

12、射時(shí)各能級上的粒子數(shù)密度隨時(shí)間變化的速率方程組。3 3 穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布一一. . 當(dāng)激光器工作達(dá)到穩(wěn)定時(shí),抽運(yùn)和躍遷達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，各能級上粒子數(shù)密度并不隨時(shí)間而改變，即： 0210dtdndtdndtdn 假設(shè)能級E2、E1的簡并度相等，即g1=g2， 因此有B12=B21，則有：將上兩式相加可得：12111110121)()(RRnnAnRR0)(g)(12121221222BnBnAnRdtdn0)(g)(10112121221211AnBnBnAnRdtdn)(1)()( )()(g)(212212121222122112122gBgBRRR

13、fBABRRRn1212122121212212)()(1)()(RRfBfBRRRnnn)(1)(1)(212021212122gBngBRRR由上幾式可得：則激光上下能級粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式為：式中1、 2 分別為上、下能級的壽命4 4 小信號工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布小信號工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布)(g1)(g1)(21202121212212BnBRRRnnn 由式 可得： 一一. .小信號小信號粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布121220)(RRRn0n它是當(dāng)分母中的第二項(xiàng)為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值。而分母中的第二項(xiàng)一定是個(gè)正值，因此它又是粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值可能達(dá)到的

14、最大值。顯然只有在諧振腔中傳播的單色光能密度可能趨近于零( 0即I 0)，換句話說，參數(shù) 對應(yīng)著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的大小。 0n參數(shù) 對應(yīng)著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時(shí)的狀態(tài)(入射光不含 )，通常把這個(gè)狀態(tài)叫作小信號工作狀態(tài)，而參數(shù) 就被稱作是小信號工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布。 0n0nhEE12n0稱作小信號反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度,它正比于受激輻射上能級壽命2及激發(fā)幾率R2. 二二. .小信號粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的物理?xiàng)l件小信號粒子數(shù)反轉(zhuǎn)的物理?xiàng)l件: : 121220)(RRRn1. 1. 激光上能級E2的壽命要長,使該能級上的粒子不能輕易地通過非受激輻射而離開;2. 2.

15、 激光下能級E1的壽命要短,使該能級上的粒子很快地衰減;3. 3. 選擇合適的激勵(lì)能源,使它對介質(zhì)的E2能級的抽運(yùn)速率R2愈大愈好,而E1能級的抽運(yùn)速率R1愈小愈好.即滿足條件即滿足條件1212RR 圖(2-5)）簡化的四能級圖0n1n2n5 5 均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布)(1)(1)(21202121212212gBngBRRRnnn 由式 可知 激光工作物質(zhì)的光譜線型函數(shù)對激光器的工作有很大的影響.具有均勻加寬譜線和具有非均勻加寬譜線的工作物質(zhì)的反轉(zhuǎn)密度行為有很大差別,由它們所構(gòu)成的激光器的工作特性也有很大不同,因此將分別予以討論。一一. .對于

16、均勻增寬的介質(zhì)ff2)()2()(2)(0220且如果介質(zhì)中傳播的光波頻率為 ，則有：0Ic2)(g0;sII2212BcIs其中IcBB2)(g212212飽和光強(qiáng)如果介質(zhì)中傳播的光波頻率 ，則有：0 )()(22)(2)()(0ggIvcgIcIgcg則有：)()(2)()()(g02120212ggIIcBggIBs一般情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布可以表示為：2200220000) 2)(1 ()() 2()(1)()( g1IInIIngIInnsss002200220000) 2)(1 ()() 2()(1)()(1IInIInggIInnsss00這就是均勻增寬型介質(zhì)E2、E1能級之

17、間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式。它給出能級間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值與腔內(nèi)光強(qiáng)、光波的中心頻率、介質(zhì)的飽和光強(qiáng)、激勵(lì)能源的抽運(yùn)速率以及介質(zhì)能級的壽命等參量的關(guān)系。(2-10)均勻增寬情形均勻增寬情形: :只要入射光頻率在譜線線寬范圍內(nèi)只要入射光頻率在譜線線寬范圍內(nèi), , 所有粒子所有粒子 都參加受激發(fā)射都參加受激發(fā)射/ /吸收吸收; ;6 6 均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng) 本節(jié)研究本節(jié)研究: :反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度n的飽和效應(yīng)（討論的飽和效應(yīng)（討論n與各種與各種因素的關(guān)系，引出因素的關(guān)系，引出n飽和效應(yīng)飽和效應(yīng)的概念。）的概念。）一一. .粒子

18、數(shù)反轉(zhuǎn)分布粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布n 飽和效應(yīng)飽和效應(yīng): :介質(zhì)已實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)并達(dá)介質(zhì)已實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)并達(dá)到閾值。入射光中含頻率到閾值。入射光中含頻率 時(shí)時(shí), , 強(qiáng)烈的受激發(fā)射使激強(qiáng)烈的受激發(fā)射使激光上能級光上能級 的粒子數(shù)的粒子數(shù) 迅速減少迅速減少, , 隨入射光強(qiáng)隨入射光強(qiáng)I I 增大反而增大反而下降的現(xiàn)象下降的現(xiàn)象. .nhEE122E2n圖(2-5)）簡化的四能級圖0n1n2n)(1)(1 )(g1)(212021202121212212IgcBngBnBRRRnnn 由式 可知： 飽和原因飽和原因: :入射光引起強(qiáng)烈的受激發(fā)射使激光上能級粒子入射光引起強(qiáng)烈的受激發(fā)射使激光上能級粒子 數(shù)減少

19、。數(shù)減少。 二二. . n與入射光頻率與入射光頻率v的關(guān)系的關(guān)系: : 2200220000)2)(1 ()()2()(1)()(1IInIInggIInnsss0 0 討論 時(shí)時(shí): ( (入射光頻率等于譜線中心頻率入射光頻率等于譜線中心頻率) )0可見可見: : I I一定時(shí)一定時(shí), , 對不同入射光頻率對不同入射光頻率v, n不同不同. .sIInn10 只要只要 , , 必有必有 有飽和效應(yīng)有飽和效應(yīng); ; 0I0nnn0n20n0IsI 若若 , , , , 飽和效應(yīng)顯著。飽和效應(yīng)顯著。 sII 2/0nn這是由于中心頻率處受激輻射幾率最大，所以入射光造成的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)這是由于中心頻率處

20、受激輻射幾率最大，所以入射光造成的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)下降越嚴(yán)重。下降越嚴(yán)重。 時(shí)時(shí): (: (入射光頻率偏離譜線中心頻率時(shí)入射光頻率偏離譜線中心頻率時(shí)) )0 可見可見: 只要只要 , 則則 , 仍有飽和效應(yīng)仍有飽和效應(yīng). 0 I0nn210sII在處sII 時(shí)0022220220220432)2/()2/(2)2/()2/(2)1 ()2/()()2/()(nnnIInsn0n20n043n2200220000)2)(1 ()()2()(1)()(g1IInIIngIInnsss0 0 結(jié)論結(jié)論: :不論不論v是否偏離是否偏離v0 0均有飽和效應(yīng)均有飽和效應(yīng); ; 偏離偏離v0越遠(yuǎn)越遠(yuǎn), , 飽和作用越弱飽和作用越弱. .(3).(3).為了更具體地說明頻率對為了更具體地說明頻率對 n的影響，令腔中光強(qiáng)都等于的影響，令腔中光強(qiáng)都等于Is，根據(jù)上式，根據(jù)上式算出幾個(gè)頻率下的算出幾個(gè)頻率下的 n值。如下表所示。隨著頻率對中心頻率的偏離，光值。如下表所示。隨著頻率對中心頻率的偏離，光波對粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)