第16章 連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型

1、第第16章章 連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型n16.1 美式期權(quán)定價模型概述美式期權(quán)定價模型概述n16.2 股票價格行為模型股票價格行為模型n16.3 無套利機會股票價格模型無套利機會股票價格模型n16.4 美式看漲期權(quán)定價模型美式看漲期權(quán)定價模型n16.5 美式看跌期權(quán)定價模型美式看跌期權(quán)定價模型n因為美式期權(quán)沒有固定的執(zhí)行時間，學(xué)因為美式期權(quán)沒有固定的執(zhí)行時間，學(xué)者很難用解析模型為美式期權(quán)定價。本者很難用解析模型為美式期權(quán)定價。本章主要介紹作者章主要介紹作者2008年提出的連續(xù)時間年提出的連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型。內(nèi)容包括股票價格美式期權(quán)定價模型。內(nèi)容包括股票價格行為模型

2、，連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型。行為模型，連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型。16.1 美式期權(quán)定價模型概述美式期權(quán)定價模型概述n19731973年，年，F(xiàn)ischer BlackFischer Black、Myron ScholesMyron Scholes和和Robert Robert MertonMerton在歐式股票期權(quán)定價模型研究中，取得突破性在歐式股票期權(quán)定價模型研究中，取得突破性進展。提出不派息（和派息）股票期權(quán)定價模型，又進展。提出不派息（和派息）股票期權(quán)定價模型，又稱為稱為Black-ScholesBlack-Scholes模型。該模型的提出為股票期權(quán)定模型。該模型的提出為股票期權(quán)定價提供

3、了理論依據(jù)，同時也促進了價提供了理論依據(jù)，同時也促進了2020世界世界8080年代和年代和9090年代金融工程的發(fā)展。為了表彰他們對人類所做出的年代金融工程的發(fā)展。為了表彰他們對人類所做出的貢獻，貢獻，Myron ScholesMyron Scholes和和Robert MertonRobert Merton于于19971997年獲得年獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。遺憾的是諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。遺憾的是Fischer BlackFischer Black于于19951995年逝年逝世。世。nCoxCox、RossRoss和和 Rubinstein(1979)Rubinstein(1979)提出的二叉樹模型，提

4、出的二叉樹模型，成為美式期權(quán)定價的主流模型。為了提高二叉樹的收成為美式期權(quán)定價的主流模型。為了提高二叉樹的收斂速度，斂速度，HullHull和和WhiteWhite（19941994）提出三叉樹模型。）提出三叉樹模型。Boyle(1977)Boyle(1977)提出蒙特卡羅模擬模型。提出蒙特卡羅模擬模型。BrennanBrennan和和Schwartz(1978)Schwartz(1978)提出有限差分模型。提出有限差分模型。Duan(1995)Duan(1995)提出提出GARCHGARCH（廣義自回歸條件異方差）模型。（廣義自回歸條件異方差）模型。 n經(jīng)過多年的研究，作者已經(jīng)研制出不派息連

5、續(xù)經(jīng)過多年的研究，作者已經(jīng)研制出不派息連續(xù)時間美式期權(quán)定價模型（時間美式期權(quán)定價模型（20082008）, ,在此基礎(chǔ)上在此基礎(chǔ)上又提出連續(xù)時間美式外匯期權(quán)定價模型又提出連續(xù)時間美式外匯期權(quán)定價模型（20092009），這兩個模型的復(fù)雜程度與），這兩個模型的復(fù)雜程度與BSBS模型相模型相似。通過實證研究，這兩個模型的計算結(jié)果與似。通過實證研究，這兩個模型的計算結(jié)果與二叉樹模型相比，看漲期權(quán)的最大相對誤差僅二叉樹模型相比，看漲期權(quán)的最大相對誤差僅為為2.47%2.47%，看跌期權(quán)的最大誤差僅為，看跌期權(quán)的最大誤差僅為-0.6545%-0.6545%。 16.2 股票價格行為模型股票價格行為模型n

6、假設(shè)股票的價格波動為零，而且不派息。如果投資者假設(shè)股票的價格波動為零，而且不派息。如果投資者的期望收益率為的期望收益率為 ，零時刻的股票價格為，零時刻的股票價格為 ，則持，則持股股 年股票價格的期望值年股票價格的期望值 應(yīng)為：應(yīng)為：n （16-116-1）n公式（公式（16-116-1）與銀行存款本金和利息的計算公式完全）與銀行存款本金和利息的計算公式完全相同。相同。 為本金；為本金； 為銀行存款利率；為銀行存款利率； 為存款年為存款年限；限； 為為 年后的本金和利息。為了數(shù)學(xué)處理上的年后的本金和利息。為了數(shù)學(xué)處理上的方便，我們采用連續(xù)復(fù)利形式，則模型（方便，我們采用連續(xù)復(fù)利形式，則模型（16

7、-116-1）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋簄 （16-216-2）n從公式（從公式（16-2）中我們可以看出，當股票的價格波動）中我們可以看出，當股票的價格波動為零時，股票價格的期望值以年利率為的復(fù)利形式增為零時，股票價格的期望值以年利率為的復(fù)利形式增長，與銀行存款有相同的增長方式。長，與銀行存款有相同的增長方式。 ttSS)1 (0tteSS00StStt0StStn由此可見，用公式（由此可見，用公式（16-216-2）表示）表示t t時刻股票價格的期望時刻股票價格的期望值是合理的。把式（值是合理的。把式（16-216-2）兩邊同除以）兩邊同除以 ，并取對數(shù)，并取對數(shù)得到：得到：n （16-316-3）n

8、其中其中 是持股是持股 年的對數(shù)收益率，而不是年年的對數(shù)收益率，而不是年收益率，年收益率為收益率，年收益率為 。n假設(shè)假設(shè) 是單位時間內(nèi)股票對數(shù)收益率的方差，則是單位時間內(nèi)股票對數(shù)收益率的方差，則 為為 年內(nèi)收益率年內(nèi)收益率 的方差。只有在公式的方差。只有在公式（16-316-3）中加入隨機項，才能真實全面地反映股票價格的變化。中加入隨機項，才能真實全面地反映股票價格的變化。tSSt)ln(00S)/ln(0SSt)/ln(0SSttt2t2n通過上面的分析，股票價格過程通過上面的分析，股票價格過程 可以用下列形式的可以用下列形式的隨機過程來描述隨機過程來描述n （16-416-4）n或或n

9、（16-516-5）n其中：其中： 為為 測度下的標準維納（測度下的標準維納（WienerWiener）過）過程，程， 。 n （16-616-6）n其中：其中： 為標準正態(tài)分布變量，為標準正態(tài)分布變量， 。WtteSS0)exp(0WtSSttW), 0(tNWtSWP) 1 , 0( Nn公式（公式（16-516-5）兩邊同除以）兩邊同除以 ，并取對數(shù)得到：，并取對數(shù)得到：n （16-716-7）n對數(shù)收益率服從下列形式的正態(tài)分布對數(shù)收益率服從下列形式的正態(tài)分布n （16-916-9）n方程（方程（16-516-5）是描述股票價格變化的合理模型。）是描述股票價格變化的合理模型。 WtSSt

10、)ln(0),()ln(20ttNSSt0S16.3 無套利機會股票價格模型無套利機會股票價格模型n 一般情況下，國庫券以政府為擔(dān)保，價格受隨機因素一般情況下，國庫券以政府為擔(dān)保，價格受隨機因素的影響較少，波動也較少，因此，買國庫券屬于無風(fēng)的影響較少，波動也較少，因此，買國庫券屬于無風(fēng)險投資。而股票的價格受隨機因素的影響較大，波動險投資。而股票的價格受隨機因素的影響較大，波動也較大，因此，買股票屬于風(fēng)險投資。單位國庫券的也較大，因此，買股票屬于風(fēng)險投資。單位國庫券的價格和股票的價格分別用下列模型表示：價格和股票的價格分別用下列模型表示：n （16-1016-10）n （16-1116-11）n

11、其中：其中： 為為 時刻單位國債的價格；時刻單位國債的價格； 為為 時刻股時刻股票的價格，元票的價格，元/ /股；股； 為零時刻股票的價格，元為零時刻股票的價格，元/ /股；股； 為國債利率，又稱為無風(fēng)險利率；為國債利率，又稱為無風(fēng)險利率；rtteB WtteSS0tBtStt0Srn對股票價格貼現(xiàn)后得到對股票價格貼現(xiàn)后得到 時刻股票價格的現(xiàn)值：時刻股票價格的現(xiàn)值：n即即n （16-1216-12）n其中：隨機變量其中：隨機變量 零時刻的值等于隨機變量零時刻的零時刻的值等于隨機變量零時刻的值值 ，即，即 。n下面推導(dǎo)式（下面推導(dǎo)式（16-1216-12）的微分形式。我們可以把式）的微分形式。我

12、們可以把式（16-1216-12）寫成下列形式：）寫成下列形式：n其中其中: :tttSBZ1WtrteZZ)(0tXteZZ0WtrXt)(ttZtS00SZ n令令n伊滕公式的一般形式為：伊滕公式的一般形式為：n因為因為tXteZXf0)(tttttXdXfdXXfdZ2 )(21)(tXttZeZXfXft0 )()(dWdtrdXt)(22)(dWdtrXdt2222)()(2)()(dWdtdWrdtrn高級無窮小項高級無窮小項 和和 ，另外，另外 ，因此因此n分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機過程分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機過程（16-1216-12）的隨機微分方

13、程：）的隨機微分方程：n n （16-1316-13）n公式（公式（16-1216-12）和（）和（16-1316-13）表示同一隨機過程，前者）表示同一隨機過程，前者是該過程的積分形式，表示時刻股票價格的現(xiàn)值，而是該過程的積分形式，表示時刻股票價格的現(xiàn)值，而后者為該過程的微分形式，表示時刻股票價格現(xiàn)值的后者為該過程的微分形式，表示時刻股票價格現(xiàn)值的變化。假設(shè)債券市場和股票市場允許買空賣空。變化。假設(shè)債券市場和股票市場允許買空賣空。)21(2dWdtrZdZtt0)(2dt0dWdtdtdW2)(dtXdt22n當任意時刻股票價格現(xiàn)值變化的期望值等于零時，當任意時刻股票價格現(xiàn)值變化的期望值等于

14、零時，即即 ，為，為 鞅過程，這時，市場沒有套利機鞅過程，這時，市場沒有套利機會。會。n當當 時，股票的利潤比國債高，投資者紛紛時，股票的利潤比國債高，投資者紛紛拋售國債，投資股票，國債的價格越來越低，而股票拋售國債，投資股票，國債的價格越來越低，而股票的價格越來越高，直到套利機會消失為止。的價格越來越高，直到套利機會消失為止。n當當 時，股票的利潤比國債低，投資者紛紛時，股票的利潤比國債低，投資者紛紛拋售股票，投資國債，國債的價格越來越高，而股票拋售股票，投資國債，國債的價格越來越高，而股票的價格越來越低，直到套利機會消失為止。的價格越來越低，直到套利機會消失為止。n由此可見，在套利者的作用

15、下，市場中的套利機會很由此可見，在套利者的作用下，市場中的套利機會很少，一旦出現(xiàn)，套利者就會蜂擁而至，套利機會立即少，一旦出現(xiàn)，套利者就會蜂擁而至，套利機會立即就會消失。由此可見，套利者的作用并不是一無是處，就會消失。由此可見，套利者的作用并不是一無是處，對金融市場有糾偏的作用。對金融市場有糾偏的作用。0)(tdZE0)(tdZE0)(tdZEtZn在方程（在方程（16-1316-13）中，包括兩項，第一項為非隨機項，）中，包括兩項，第一項為非隨機項，期望值不等于零，第二項為隨機項，期望值為零。如期望值不等于零，第二項為隨機項，期望值為零。如果漂移率果漂移率 ，則，則， ，這時，市場，這時，市

16、場存在套利機會。根據(jù)存在套利機會。根據(jù)CMGCMG測度變換定理，為了把股票價測度變換定理，為了把股票價格現(xiàn)值過程變?yōu)轺边^程，令格現(xiàn)值過程變?yōu)轺边^程，令n （16-1416-14）n則則n或或n （16-1516-15）02/2r0)(tdZEWtrW)21(12dWdtrWd)21(12dtrWddW)21(12n把公式（把公式（16-1516-15）代入公式（）代入公式（16-1316-13），得到鞅過程：），得到鞅過程：n （16-1616-16）n其中：其中： 為為 測度下的布朗運動，測度下的布朗運動， ； 為為 測度下的布朗運動，測度下的布朗運動， 。 n在方程（在方程（16-1616

17、-16）中，因為）中，因為 ，則，則 為為 測度測度下鞅過程，這時，市場沒有套利機會。利用伊滕定理，下鞅過程，這時，市場沒有套利機會。利用伊滕定理，可以猜出隨機微分方程（可以猜出隨機微分方程（16-1616-16）的解：）的解：n （16-1716-17）n推導(dǎo)過程如下：令推導(dǎo)過程如下：令WdZdZtt0)(WEPW0)(WEQ0)(tQdZE)21exp(20tWZZttWXt221WPQtZQn令令n伊滕公式的一般形式為：伊滕公式的一般形式為：n因為因為tXteZXf0)(tttttXdXfdXXfdZ2 )(21)(tXttZeZXfXft0 )()(dtWddXt221222)21(d

18、tWdXdtdtdtdtWdWd22222)21()(n分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機過程分別把上述公式代入伊滕公式，可以求出隨機過程（16-1716-17）的隨機微分方程（）的隨機微分方程（16-1616-16）。用隨機過程）。用隨機過程（16-1716-17）表示股票價格的現(xiàn)值，沒有套利機會。根據(jù)）表示股票價格的現(xiàn)值，沒有套利機會。根據(jù)模型（模型（16-1716-17），可以反推出股票），可以反推出股票t t時刻的價格過程：時刻的價格過程：n即即n （16-1816-18）n用隨機過程（用隨機過程（16-1816-18）表示）表示t t時刻股票的價格沒有套利時刻股票的價格沒有套利

19、機會。而方程（機會。而方程（16-516-5）則有套利機會。因此，方程）則有套利機會。因此，方程（16-1816-18）將作為建立美式股票期權(quán)定價模型的基礎(chǔ)。）將作為建立美式股票期權(quán)定價模型的基礎(chǔ)。tttZBS )21(exp20trWSSt16.4 美式看漲期權(quán)定價模型美式看漲期權(quán)定價模型n 歐式看漲期權(quán)只有在到期日才能執(zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價歐式看漲期權(quán)只有在到期日才能執(zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價格在簽署期權(quán)和約時就已經(jīng)確定，因此，股票的到期格在簽署期權(quán)和約時就已經(jīng)確定，因此，股票的到期價格決定期權(quán)到期時的價值。另外，看漲期權(quán)的買方價格決定期權(quán)到期時的價值。另外，看漲期權(quán)的買方支付期權(quán)費后，就獲得了一項權(quán)

20、利，買方有權(quán)執(zhí)行期支付期權(quán)費后，就獲得了一項權(quán)利，買方有權(quán)執(zhí)行期權(quán)，也有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價值總是大于權(quán)，也有權(quán)不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價值總是大于零。每股看漲期權(quán)在執(zhí)行日的價值可以表示為：零。每股看漲期權(quán)在執(zhí)行日的價值可以表示為：n （16-1916-19）n其中：其中： 為期權(quán)的到期時間，年；為期權(quán)的到期時間，年； 為股票的到期價為股票的到期價格，元格，元/ /股；股； 為期權(quán)的執(zhí)行價格，元為期權(quán)的執(zhí)行價格，元/ /股；股； 求求 測測度下的期望值運算符。度下的期望值運算符。 )0 ,max(XSETQTTSX.QEQn 式（式（16-1916-19）是期權(quán)在執(zhí)行時的價值，而看漲期

21、權(quán)的）是期權(quán)在執(zhí)行時的價值，而看漲期權(quán)的買方在簽署和約時支付期權(quán)費，因此必須對式（買方在簽署和約時支付期權(quán)費，因此必須對式（16-1916-19）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看漲期權(quán)的當前價值貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看漲期權(quán)的當前價值 ：n （16-2016-20）n其中：其中： 為期限為為期限為 的無風(fēng)險零利率；的無風(fēng)險零利率； 為折現(xiàn)因子。為折現(xiàn)因子。n對于美式期權(quán)，投資者可以在到期日之前任何時刻執(zhí)對于美式期權(quán)，投資者可以在到期日之前任何時刻執(zhí)行。假設(shè)美式期權(quán)的投資者，買入美式期權(quán)后立即執(zhí)行。假設(shè)美式期權(quán)的投資者，買入美式期權(quán)后立即執(zhí)行，投資者可以把投資收益購買國債獲得無風(fēng)險收益。行，投資者可以把

22、投資收益購買國債獲得無風(fēng)險收益。因此，美式期權(quán)應(yīng)該是歐式期權(quán)的因此，美式期權(quán)應(yīng)該是歐式期權(quán)的 倍。倍。n （16-2116-21）)0 ,max(XSEecTQrTE）， 0max(XSEeecTQrTrTAEcrTrTerTen如果投資者購買股票看漲期權(quán)后，股票價格波動很大，如果投資者購買股票看漲期權(quán)后，股票價格波動很大，立即執(zhí)行看漲期權(quán)對投資者有利，投資者就可能立即立即執(zhí)行看漲期權(quán)對投資者有利，投資者就可能立即執(zhí)行看漲期權(quán)。這時美式看漲期權(quán)的執(zhí)行時間為零。執(zhí)行看漲期權(quán)。這時美式看漲期權(quán)的執(zhí)行時間為零。美式看漲期權(quán)的當前價值為：美式看漲期權(quán)的當前價值為：n （16-2216-22）n根據(jù)公式

23、（根據(jù)公式（16-1816-18），我們知道，在到期日股票的價格），我們知道，在到期日股票的價格為：為：n （16-2316-23）n把式（把式（16-2316-23）代入式（）代入式（16-2216-22），則得到美式期權(quán)的），則得到美式期權(quán)的當前價值：當前價值：n （16-2416-24）， 0max(XSEcTQA)21(exp20TrWSST0 ,)21(exp(max20XTrWSEcQAn因為維納過程的數(shù)學(xué)表達式為：因為維納過程的數(shù)學(xué)表達式為：n其中：其中： 為標準正態(tài)分布變量為標準正態(tài)分布變量, , 。n因為期權(quán)的價值又必須大于零，因此因為期權(quán)的價值又必須大于零，因此n從中得到隨

24、機變量從中得到隨機變量 的取值范圍：的取值范圍：TW0)21(exp20XTrTSaTTrXS)21()ln(20) 1 , 0( Nn對公式（對公式（16-2416-24）求數(shù)學(xué)期望，就得到期權(quán)的當前價值：）求數(shù)學(xué)期望，就得到期權(quán)的當前價值：n （16-2516-25）n或者或者n （16-2616-26）n因為因為n式（式（16-2616-26）可以寫成）可以寫成n (16-27)(16-27)deXeScTrTTaA2221)21(0)(21deXdeeScaTTarTA22221)2121(022222)(212121TTTdeXdeeScaTarTA2221)(21022n令令n (

25、16-28)(16-28)n交換積分上下限，并改變積分上下限的符號。交換積分上下限，并改變積分上下限的符號。n (16-29)(16-29)n可以把式可以把式(16-29)(16-29)簡寫成式（簡寫成式（16-3016-30）n （16-3016-30）TdeXdeeScaTarTA222121022deXeeScaTarTA222121)(022)()(0aXNTaNeScrTAn令令, , ， 則（則（16-3016-30）式變成式（）式變成式（16-16-3131）n （16-3116-31）n其中其中n同理，我們可以得到歐式看漲期權(quán)定價模型。同理，我們可以得到歐式看漲期權(quán)定價模型。n

26、 （16-3216-32）Tad1ad2)()(210dXNdNeScrTATTrXSd)21()ln(201)()(210dNXedNScrTETdTTrXSd1202)21()ln(n例題例題16-116-1美式看漲期權(quán)定價美式看漲期權(quán)定價 n假設(shè)股票的當前價格為假設(shè)股票的當前價格為2020元，期權(quán)的執(zhí)行價格為元，期權(quán)的執(zhí)行價格為20 20 元，元，期權(quán)的期限為期權(quán)的期限為6 6個月，無風(fēng)險年利率為個月，無風(fēng)險年利率為5%5%，股票的年波，股票的年波動率為動率為20%20%。求美式看漲期權(quán)的價值。求美式看漲期權(quán)的價值。n解：因為解：因為TTrXSd)21()ln(2012475. 05 .

27、 02 . 0)5 . 0)()2 . 0(5 . 005. 0()2020ln(21061. 01414. 02475. 012Tdd200S20X05. 0r5 . 0T2 . 0 n美式看漲期權(quán)的當前價值為：美式看漲期權(quán)的當前價值為：n該股票美式看漲期權(quán)當前的價值為該股票美式看漲期權(quán)當前的價值為1.461.46元元/ /股。股。5987. 0)2475. 0()(1 NdN5407. 0)1061. 0()(2 NdN)()(210dXNdNeScrTA46. 15407. 0205987. 07183. 2205 . 005. 0n歐式看漲期權(quán)的當前價值為：歐式看漲期權(quán)的當前價值為：n

28、該股票歐式看漲期權(quán)當前的價值為該股票歐式看漲期權(quán)當前的價值為1.431.43元元/ /股。股。n因為美式期權(quán)又靈活的執(zhí)行時間，因此，美式期權(quán)的因為美式期權(quán)又靈活的執(zhí)行時間，因此，美式期權(quán)的價值大于歐式期權(quán)的價值。價值大于歐式期權(quán)的價值。)()(210dNXedNScrTE43. 15407. 07183. 2205987. 0205 . 005. 016.5 美式看跌期權(quán)定價模型美式看跌期權(quán)定價模型n如果投資者預(yù)測股票的價格將會下跌，為了保值或投如果投資者預(yù)測股票的價格將會下跌，為了保值或投機，買入看跌期權(quán)。歐式看跌期權(quán)在到期日執(zhí)行。期機，買入看跌期權(quán)。歐式看跌期權(quán)在到期日執(zhí)行。期權(quán)的執(zhí)行價格

29、在簽署期權(quán)和約時就已經(jīng)確定，因此，權(quán)的執(zhí)行價格在簽署期權(quán)和約時就已經(jīng)確定，因此，股票的到期價格決定看跌期權(quán)到期時的價值。另外，股票的到期價格決定看跌期權(quán)到期時的價值。另外，看跌期權(quán)的買方支付期權(quán)費后，就獲得了一項權(quán)利，看跌期權(quán)的買方支付期權(quán)費后，就獲得了一項權(quán)利，當看跌期權(quán)的價值大于零時就執(zhí)行期權(quán)，否則就不執(zhí)當看跌期權(quán)的價值大于零時就執(zhí)行期權(quán)，否則就不執(zhí)行期權(quán)，因此，期權(quán)的價值總是大于零。在到期日每行期權(quán)，因此，期權(quán)的價值總是大于零。在到期日每股看跌期權(quán)的價值為：股看跌期權(quán)的價值為：n （16-3316-33）n看跌期權(quán)的買方在簽署和約時支付期權(quán)費，因此必須看跌期權(quán)的買方在簽署和約時支付期權(quán)費

30、，因此必須對公式（對公式（16-3316-33）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看跌期權(quán)的）貼現(xiàn)后才能得到每股歐式看跌期權(quán)的當前價值為：當前價值為：n （16-3416-34）)0 ,max(TQESXEp)0 ,max(TQrTESXEepn投資者購買美式股票看跌期權(quán)后，如果股票價格急劇投資者購買美式股票看跌期權(quán)后，如果股票價格急劇下跌，投資者可以立即執(zhí)行期權(quán)，獲得的收益可以購下跌，投資者可以立即執(zhí)行期權(quán)，獲得的收益可以購買國債，獲得無風(fēng)險。這時，美式看跌期權(quán)的當前價買國債，獲得無風(fēng)險。這時，美式看跌期權(quán)的當前價值為：值為：n （16-3516-35）n把式（把式（16-2316-23）代入式（）代入

31、式（16-3516-35），則得到看跌期權(quán)的），則得到看跌期權(quán)的當前價值：當前價值：n （16-3616-36）n把維納過程，把維納過程， ，代入（，代入（16-3616-36），而且期權(quán)的），而且期權(quán)的價值又必須大于零，因此價值又必須大于零，因此)0 ,max(TQASXEp0),)21(exp(max20TrWSXEpQATW0)21(exp20TrWSXn從中得到隨機變量從中得到隨機變量 的取值范圍：的取值范圍：n對公式（對公式（16-3616-36）求數(shù)學(xué)期望，就得到美式看跌期權(quán)的）求數(shù)學(xué)期望，就得到美式看跌期權(quán)的當前價值為：當前價值為：n （16-3716-37）n為了方便積分，我們

32、把式（為了方便積分，我們把式（16-3716-37）分成兩項）分成兩項n （16-3816-38）aTTrXS)21()ln(20deeSXpTrTTaA2221)21(0)(21aTTrTaAdeeSdeXp)2121(02122222n在式（在式（16-3816-38）中，第一項就是標準正態(tài)密度函數(shù)積分。）中，第一項就是標準正態(tài)密度函數(shù)積分。為了方便積分，我們可以變換第二項的指數(shù)形式：為了方便積分，我們可以變換第二項的指數(shù)形式：n （16-3916-39）n （16-4016-40）n在（在（16-4016-40）中，令）中，令 ，得：，得：n （16-4116-41）222)(21212

33、1TTTaTrTAdeeSaXNp2)(2102)(TTarTAdeeSaXNp22102)(n在式（在式（16-4116-41）中，第二項又變成標準正態(tài)密度函數(shù)的）中，第二項又變成標準正態(tài)密度函數(shù)的積分，我們可以把它寫成如下形式：積分，我們可以把它寫成如下形式：n （16-4216-42）n在式（在式（16-4216-42）中，令）中，令 ， ，則美，則美式看跌期權(quán)的當前價值可以表示為：式看跌期權(quán)的當前價值可以表示為：n （16-4316-43）)()(0TaNeSaXNprTAad 2Tad1)()(102dNeSdXNprTAn其中：其中：n （16-4316-43）n同理，我們可以得到

34、歐式看跌期權(quán)定價模型。同理，我們可以得到歐式看跌期權(quán)定價模型。n （16-4416-44）n下面舉例說明美式看跌期權(quán)定價模型的用法。下面舉例說明美式看跌期權(quán)定價模型的用法。TTrXSd)21()ln(202, 1)()(102dNSdNXeprTEn例題例題16-2 16-2 美式看跌期權(quán)定價美式看跌期權(quán)定價n考慮不分紅考慮不分紅5 5個月美式股票期權(quán)，股票的當前價格為個月美式股票期權(quán)，股票的當前價格為5050元，執(zhí)行價格為元，執(zhí)行價格為5050元，無風(fēng)險利率為元，無風(fēng)險利率為10%10%，股票對數(shù)收，股票對數(shù)收益率的年波動率為益率的年波動率為40%40%。求美式看漲期權(quán)和美式看跌期。求美式看

35、漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)的價值。權(quán)的價值。n解：因為解：因為2905. 04167. 04 . 04167. 0)4 . 0211 . 0()5050ln(21d0323. 02582. 02905. 012Tdd50S50X1 . 0r4167. 012/5T4 . 0 n美式看漲期權(quán)的當前價值為美式看漲期權(quán)的當前價值為6.416.41元元/ /股。股。61407. 0)2905. 0()(1 NdN51196. 0)0323. 0()(2 NdN38593. 061407. 01)2905. 0()(1NdN48804. 051196. 01)0323. 0()(2NdN41. 651196. 05061407. 07183. 2504167. 01 . 0Acn美式看跌期權(quán)的當前價值為美式看跌期權(quán)的當前價值為4.2864.286元元/ /股。股。n如果用二叉樹模型計算美式看跌式期權(quán)的價值，當把如果用二叉樹模型計算美式看跌式期權(quán)的價值，當把期權(quán)的持續(xù)時間劃分成期權(quán)的持續(xù)時間劃分成5