讓“封閉”題“開(kāi)放”

1、讓“封閉”題“開(kāi)放”胡挺員 “開(kāi)放題已成為全世界的熱點(diǎn)。開(kāi)放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力。”那么，在教材還沒(méi)有提供足夠的開(kāi)放題之前，“好的開(kāi)放題從那里來(lái)？”(1)我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開(kāi)放”。 一、意識(shí)的開(kāi)放 首先要改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動(dòng)的、封閉的意識(shí)。學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過(guò)渡到社會(huì)人、使社會(huì)人更好地服務(wù)于社會(huì)，由于社會(huì)時(shí)刻在發(fā)生著變化，因此，一個(gè)良好的社會(huì)人必需具備適應(yīng)社會(huì)變化的能力。讓學(xué)生懂得用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問(wèn)題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問(wèn)題、提出解題的新方案；即使為了應(yīng)試，就題論題的學(xué)習(xí)也是事倍功半，如一九九八年全國(guó)高考試題

2、第(19)題：“關(guān)于函數(shù)f(x)=4Sin(2x+/3)(xR)，有下列命題：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整數(shù)倍；y=f(x)的表達(dá)式可改寫(xiě)為y=4Cos(2x-/6):y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-/6，0)對(duì)稱(chēng)；y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-/6對(duì)稱(chēng)。其中正確的命題是(注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)”顯然高中代數(shù)上冊(cè)第184頁(yè)例4“作函數(shù)y=3Sin(2x+/3)的簡(jiǎn)圖。”可作為其原型。學(xué)生如果明白這些道理就會(huì)產(chǎn)生對(duì)問(wèn)題開(kāi)放的需求，逐步形成自覺(jué)的開(kāi)放意識(shí)。 二、問(wèn)題的開(kāi)放 有了開(kāi)放的意識(shí)，加上方法指導(dǎo)，開(kāi)放才會(huì)成為可能。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們

3、可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開(kāi)放”的如下模式： 問(wèn)題本身的開(kāi)放 獲得新問(wèn)題 問(wèn)題解法的開(kāi)放 獲得新思路 示例1。(高中平面解析幾何習(xí)題四第11題)求經(jīng)過(guò)兩條曲線(xiàn)x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交點(diǎn)的直線(xiàn)方程。 解法開(kāi)放：通常是先求交點(diǎn)坐標(biāo)，再由交點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)方程。如果對(duì)由目標(biāo)分解出的兩個(gè)要素進(jìn)行適當(dāng)解釋?zhuān)哼^(guò)交點(diǎn)由兩曲線(xiàn)方程組成的方程組的解是所求方程的解，直線(xiàn)所求的方程為一元二次方程，那么，只要由第一條曲線(xiàn)方程乘以3與第二條曲線(xiàn)方程相減便可得到所求的直線(xiàn)方程7x-4y=0；如果從“直線(xiàn)”入手，再考慮“過(guò)交點(diǎn)”，則可引入直線(xiàn)方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。 示例2。(高中代數(shù)下冊(cè)第

4、12頁(yè)例7)已知a、b、mR+,并且a<b,求證(a+m)/(b+m)> a/b。 解法開(kāi)放：除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考察問(wèn)題的角度，或同時(shí)對(duì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合，可獲得如下思路：兩點(diǎn)(b,a)、(-m,-m)的連線(xiàn)的斜率大于兩點(diǎn)(b,a)、(0,0)的連線(xiàn)的斜率；b個(gè)單位溶液中有a個(gè)單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個(gè)單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。 示例3。(高中平面解析幾何復(fù)習(xí)參考題二第11題)由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線(xiàn)。求垂

5、線(xiàn)夾在圓周和x軸間的線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程。(答案：x2/4+y2=1) 問(wèn)題本身開(kāi)放：先從問(wèn)題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線(xiàn)段中點(diǎn)”等。然后對(duì)這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問(wèn)題。 對(duì)A而言，圓作為一種特殊的曲線(xiàn)，我們將其重新定位在“曲線(xiàn)”上，那么曲線(xiàn)又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A(大小或形狀或位置)就可使問(wèn)題向三個(gè)方向延伸。 如改變位置，將A寫(xiě)成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化(取a=0)，并進(jìn)行新的組合便有問(wèn)題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x

6、2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說(shuō)明理由。 簡(jiǎn)解：解方程組 x2+(y-b)2=4 x2+(2y-b)2=4得 y=0 或y=2b/3 當(dāng)y=0時(shí)，x2+b2=4， 若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)； 若b=±2，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 若 -2<b<2，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。 當(dāng)y=2b/3時(shí),x2+b2/9=4， 若b<-6或b>6，圓與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)； 若b=±6，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)； 若-6<b<6，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。 綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當(dāng)

7、b<-6或b>6時(shí)沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)b=±6時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-6<b<-2或b=0或2<b<6時(shí)恰有二個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b=±2時(shí)恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-2<b<0或0<b<2時(shí)恰有四個(gè)公共點(diǎn)。 上面的解法是從“數(shù)”著手，也可以從“形”著手分析。 再進(jìn)一步延伸，得：當(dāng)b>6時(shí)，圓x2+(y-b)2=4上的點(diǎn)到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這類(lèi)似于1992年浙江省高中證書(shū)會(huì)考試題，這個(gè)問(wèn)題的解決是對(duì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。 對(duì)B而言，它是一條特殊的直線(xiàn)，通過(guò)對(duì)其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問(wèn)題；而C是一種特殊的線(xiàn)段分點(diǎn)，同樣可以使其進(jìn)到一般，若對(duì)由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)以往的一些會(huì)考、高考試題。 開(kāi)放的行為給上面三個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識(shí)的回歸。 “所有的畫(huà)都是以只有3種原色的方式構(gòu)成的。每當(dāng)我們把某樣?xùn)|西說(shuō)成是新的的時(shí)