正方形的判定

1、正方形的性質(zhì)與判定一、選擇題 ( 本大題共 10 小題 )1.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)AB到點(diǎn) E，使 AE=AC，則 BCE的度數(shù)是（）A.22.5 °B.25°C.23°D.20°2.如一個(gè)四形的兩對(duì)線互垂直平分且相等那么個(gè)四邊形是（）A. 平行四邊形B. 菱形C. 正方形D. 矩形3. 四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O，ADBC， AD=BC，使四邊形 ABCD為正方形，下列條件中： AC=BD； AB=AD；AB=CD； ACBD需要滿足（）A. B. C.D.或4. 如圖，正方形ABCD的對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn)

2、O， OA=3，則此正方形的面積為（）A.3B.12C.18D.365. 如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O，若 AO=C0=BO=DO，ACBD，則四邊形 ABCD的形狀是（）A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 正方形第1題圖第4題圖第5題圖第 7題圖6. 已知在正方形ABCD中，對(duì)角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O，OEAB 交 BC于點(diǎn) E，若 AD=8cm，則 OE的長(zhǎng)為（）A.3 cmB.4cmC.6 cmD.8 cm7. 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 x，點(diǎn) E、 F 分別是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、 F 作 AD、 AB的平行線，則圖中陰影部分的面積的和

3、為（）A. x2B. x2C.x2D.x28. 如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 8，在各邊上順次截取 AE=BF=CG=DH=5，則四邊形 EFGH的面積是（ ）A.30B.34C.36D.409. 如圖， E 是正方形 ABCD對(duì)角線 AC上一點(diǎn)， EFAB，EGBC， F、 G是垂足，若正方形 ABCD周長(zhǎng)為 a，則 EF+EG等于（）A.B.C. aD.2 a10. 已知正方形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2，則它的面積是（）A.2B.4C.61第8題圖第9題圖第11題圖第 12題圖二、填空題 ( 本大題共6 小題 )11. 如圖，在正方形ABCD中， E 為 CD邊上一點(diǎn)，以CE 為對(duì)角線構(gòu)

4、造正方形CMEN，點(diǎn) N 在正方形ABCD內(nèi)部，連接AM，與 CD邊交于點(diǎn)F若 CF=3， DF=2，連接 BN，則 BN的長(zhǎng)為 _12. 如圖，已知：正方形 EFGH的頂點(diǎn) E、 F、 G、H 分別在正方形 ABCD的邊 DA、 AB、 BC、CD上若正方形 ABCD的面積為 16， AE=1，則正方形 EFGH的面積為 _ 13. 如圖，將正方形紙片按如圖折疊， AM為折痕，點(diǎn) B 落在對(duì)角線 AC上的點(diǎn) E 處，則 CME= _14. 如圖， BD是 ABC的角平分線， DEBC，交 AB于點(diǎn) E，DFAB，交 BC于點(diǎn)F，當(dāng) ABC滿足條件_時(shí)，四邊形BEDF是正方形15. 如圖，正方

5、形 ABCD的邊長(zhǎng)為 4，線段 GH=AB，將 GH的兩端放在正方形的相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)，如果G 點(diǎn)從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿圖中所示方向按ABCDA 滑動(dòng)到 A 止，同時(shí)點(diǎn) H 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿圖中所示方向按 BCDAB 滑動(dòng)到 B 止，在這個(gè)過(guò)程中，線段 GH的中點(diǎn) P 所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為_16. 如圖，在正方形 ABCD中，AB= ，點(diǎn) P 為邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) （不與 A、B 重合），過(guò) A、 P 在正方形內(nèi)部作正方形APEF，交邊 AD于 F 點(diǎn)，連接DE、 EC，當(dāng) CDE為等腰三角形時(shí)，AP= _ 2三、解答題 ( 本大題共8 小題 )17. 已知： P 是正方形 ABCD

6、對(duì)角線 AC上一點(diǎn)， PEAB，PFBC， E、 F 分別為垂足（ 1）求證： DP=EF（ 2）試判斷 DP與 EF的位置關(guān)系并說(shuō)明理由18. 如圖，在正方形 ABCD中， E 為對(duì)角線 AC上一點(diǎn)，連接 EB、 ED（1）寫出圖中所有的全等三角形；（2）延長(zhǎng) BE交 AD于點(diǎn) F，若 DEB=140°，求 AFE 的度數(shù)19. 已知，在正方形ABCD中， E 是 CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EB= BC，F(xiàn) 是 AB 的中點(diǎn)，請(qǐng)你將F 點(diǎn)與圖中某一標(biāo)明字母的點(diǎn)連接成線段，使連成的線段與AE 相等并證明這種相等關(guān)系20. 如圖，矩形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O，PBAC，PCBD， PB

7、、PC相交于點(diǎn) P（1）猜想四邊形 PCOB是什么四邊形，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)矩形 ABCD滿足什么條件時(shí)，四邊形 PCOB是正方形3正方形的性質(zhì)與判定練習(xí)參考答案一、選擇題。1.A解：四邊形ABCD是正方形， CAB=BCA=45°；ACE中， AC=AE，則： ACE=AEC= （180° - CAE）=67.5 °； BCE=ACE- ACB=22.5°故選 A2. C解：如果一個(gè)邊形兩對(duì)角線相垂直分且相等，那么這個(gè)邊形正方形，求證四邊形ABC正方形，ACBD，平四邊形CD為菱形，已知：四邊ABCD，A， O=O， OBOD， AC=BD，四邊形A

8、CD為方形邊形 ABCD為平行四形，選 C3.D解： ADBC， AD=BC四邊形ABCD為平行四邊形AC=BD平行四邊形ABCD是矩形若 AB=AD則四邊形ABCD為正方形；若 ACBD，則四邊形 ABCD是正方形故選 D因?yàn)?ADBC， AD=BC，所以四邊形 ABCD為平行四邊形，添加則可根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，證明四邊形是矩形，故可根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形來(lái)添加條件本題是考查正方形的判別方法，判別一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：先說(shuō)明它是矩形，再說(shuō)明有一組鄰邊相等；先說(shuō)明它是菱形，再說(shuō)明它有一個(gè)角為直角4.C解：正方形ABCD的對(duì)角線AC、 BD相交

9、于點(diǎn)O， OA=3， AB=BC， OA=OC， AB=，4正方形的面積=，故選 C5.D解：四邊形ABCD的形狀是正方形，理由如下：AO=C0=BO=DO，四邊形ABCD是平行四邊形，ACBD，四邊形ABCD是菱形，AO=C0=BO=DO，AC=DB，四邊形ABCD是正方形，故選 D6.B解：四邊形ABCD是正方形， AD=AB=8cm， OA=OC，OEAB， OE是 ABC的中位線，OE= AB=4cm，故選 B7. B解： FPCD， BPF=C=90°（同位角相等）；在 BFP 和 BDC中， BFP BDC，=，同理，得=，又 AD=CD， NF=FP， BNF=BPF=

10、90°， BF=BF， BNF BPF，SBNF=SBPF，5同理，求得多邊形NFEM與多邊形PFEQ的面積相等，多邊形MEDA與多邊形QEDC的面積相等，圖中陰影部分的面積是正方形ABCD面積的一半，即故選 B8. B解：四邊形ABCD是正方形， A=B=C=D=90°，AB=BC=CD=DA， AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG在 AEH、 BFE、 CGF 和 DHG中， AEH BFE CGF DHG（SAS）， EH=FE=GF=GH， AEH=BFE，四邊形 EFGH是菱形， BEF+BFE=90°， BEF+AEH=90°， H

11、EF=90°，四邊形 EFGH是正方形，AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5， EH=FE=GF=GH=，四邊形EFGH的面積是：×=34，故選 B9.A解：E 是正方形ABCD對(duì)角線 AC上一點(diǎn)， BAC=ACB=45°， EFAB，EGBC， F、 G是垂足，EG=CG， EF=AF，正方形ABCD周長(zhǎng)為 a， BC= ， EF+EG等于 ，故選 A10. C.解：在正方形中，對(duì)角線相等，所以正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)均為2，6正方形又是菱形，菱形的面積計(jì)算公式是S= ab（ a、b 是正方形對(duì)角線長(zhǎng)度）S=××=6， 故選

12、 C二、填空題。11. 257解：如圖，連接MN，延長(zhǎng) AM、 BC交于點(diǎn) G， MN與 CD交于點(diǎn) H，作 NKBC 于 K四邊形ABCD是正方形， DF=2 CF=3，ADBG， AD=BC=CD=5， = ，CG=，四邊形ENCM是正方形，NH=HM=CH=EH，MNEC，設(shè)CH=x，MHCG，=， = ， x= ，在 RTBNK中， BKN=90°， NK=CH= ， BK=BC-CK= ，BN=故答案為712. 解：四邊形 ABCD、 EFGH均為正方形， A=B=90°， EFG=90°， EF=FG AFE+BFG=90°， BFG+BGF

13、=90°， AFE=BGF在 AFE 和 BGF中， AFE BGF（ AAS），BF=AE=1正方形ABCD的面積為16，AB=4， AF=AB-BF=3同理可證出 AFE BGF CHG DEHS正方形 EFGH=S正方形 ABCD-4S AFE=16- 4××1×3=10故答案為： 1013. 解：四邊形ABCD是正方形， B=90°， ACB=45°，由折疊的性質(zhì)得： AEM=B=90°， CEM=90°， CME=90° - 45°=45°；故答案為： 45°14.

14、解：當(dāng) ABC 滿足條件 ABC=90°，四邊形DEBF是正方形理由： DEBC，DFAB，四邊形DEBF是平行四邊形BD是 ABC的平分線， EBD=FBD，又 DE BC， FBD=EDB，則 EBD=EDB， BE=DE故平行四邊形DEBF是菱形，當(dāng) ABC=90°時(shí)，菱形 DEBF是正方形故答案為： ABC=90°15. 解：根據(jù)題意得點(diǎn) M到正方形各頂點(diǎn)的距離都為 2，點(diǎn) M所走的運(yùn)動(dòng)軌跡為以正方形各頂點(diǎn)為圓心，以 2 為半徑的四個(gè)扇形，點(diǎn) P 所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為正方形ABCD的面積減去4 個(gè)扇形的面積正方形ABCD的面積為4×4=

15、16， 4 個(gè)扇形的面積為4×=4 ，8點(diǎn) P 所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為16-4 故答案為16-4 16.解：連接 AE，四邊形ABCD、 APEF是正方形，A、 E、 C共線，當(dāng) CD=CE=時(shí)， AE=AC-EC=2-，AP=AE=- 1 當(dāng)ED=EC 時(shí) ， DEC=90° ，EDC=ECD=45°， EC=CD=1， AE=AC-EC=1， AP= AE= 當(dāng) CDE為等腰三角形時(shí)， AP=-1或故答案為2-1或三、解答題。17. 證明：（ 1）如圖 1 所示：連結(jié) PB四邊形 ABCD是正方形，BC=DC， BCP=DCP=45°在 CB

16、P 和CDP中， CBP CDPDP=BPPEAB，PFBC， B=90°四邊形BFPE是矩形BP=EFDP=EF（2）DPEF理由：如圖2 所示：延長(zhǎng)DP交 EF 于 G，延長(zhǎng) EP交 CD于 H，連接 PB CBP CDP， CDP=CBP四邊形BFPE是矩形， CBP=FEP CDP=FEP又 EPG=DPH EGP=DHPPEAB，ABDCPHDC即 DHP=90° EGP=DHP=90°PGEF，即DPEF18. 解：9（ 1）根據(jù)正方形的對(duì)稱性，正方形ABCD關(guān)于直線 AC成軸對(duì)稱，所以，全等的三角形有： ADC ABC， ADE ABE， DCE BCE；（ 2） DEB=140°， BEC= DEB= ×140°=70°，又正方形對(duì)角線AC平分 BCD， ACB=45°，在 BCE中， CBE=180° - BEC- ACB=180° - 70° - 45°=65°，ADBC， AFE=CBE=65°19. 解：如圖，連接 DF、 CF均可得出與AE相等證 明 ： AB