第四章概率與概率分布

1、第四章 概率與概率分布第一節(jié) 隨機事件及其概率一、隨機試驗與隨機事件1、必然現(xiàn)象與偶然現(xiàn)象具有確定變化規(guī)律的現(xiàn)象是必然現(xiàn)象，一定條件必然導致一定結果。事先不確定結果的現(xiàn)象是隨機現(xiàn)象/偶然現(xiàn)象，在一定條件下可能出現(xiàn)這種結果也會出現(xiàn)那種結果，隨機而定。但隨機現(xiàn)象的隨機性中也蘊含著某種規(guī)律性。例如：個人壽命有長有短，無法確切預測，但某一地區(qū)人口平均壽命是比較穩(wěn)定的。隨機現(xiàn)象的這種規(guī)律就是統(tǒng)計規(guī)律。2、隨機試驗為了研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，就要進行隨機試驗，以獲取有關信息，例如拋硬幣記錄正反面，從任意一批貨中抽取一件來檢查質量是否合格。嚴格意義的隨機試驗必須滿足三個條件：試驗在相同條件下可重復進行；每次試

2、驗的可能結果不止一個，但所有可能結果試驗前已知；每次試驗只能觀測到一個可能結果，但在試驗結束之間無法肯定出現(xiàn)哪一個。3、隨機事件隨機試驗的每一個可能結果被稱為一個隨機事件。隨機事件分類：基本事件（不能再分解）和復合事件（由兩個或多個基本事件組成）。隨機事件可用樣本空間的集合來表示，每一個基本事件稱為樣本點，所有樣本點構成樣本空間，如上例=甲勝，乙勝，平局。二、隨機事件的概率用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的是隨機事件發(fā)生的概率，隨機事件A發(fā)生的概率記為P（A），對于一般的隨機事件，0發(fā)生的概率1。等于1則為必然事件，等于零則為不可能事件。1、古典概率概率論發(fā)源于人們對抽簽、拋硬幣、擲篩子等隨機

3、游戲和賭博問題的研究，計算此類概率較簡單直觀。例如篩子有六面，每一面出現(xiàn)的概率均等都是1/6。這類試驗具有兩個特點：試驗的基本事件總數(shù)有限，即樣本空間包含有限多個樣本點；每個事件出現(xiàn)的可能性相同。概率的古典定義：P（A）=事件A中包含的基本事件數(shù)/樣本空間中基本事件總數(shù)=m/n例1：有50件產(chǎn)品，其中有5件次品，現(xiàn)從50件中任取兩件，求抽到兩件均為合格品的概率是多少？兩件均為次品的概率是多少？解：P（A）= (C452C500)/C502 =0.8082 P（B）=(C450C52)/C502=0.00822、統(tǒng)計概率一些事件的各種結果發(fā)生的可能性不同，不能通過一兩次試驗來判斷結果（如射擊），

4、只有充分多次，事件發(fā)生的頻率才穩(wěn)定，即概率的統(tǒng)計定義。P（A）=pm/n在相同條件下重復進行n次試驗，事件A發(fā)生了m次，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率m/n在某一常數(shù)p上下波動，而且這種波動的幅度會隨試驗次數(shù)增加而縮小。例2：某地區(qū)近幾年新生嬰兒性別資料如表1，估計該地區(qū)新生兒為男嬰的概率。年份新生嬰兒數(shù)男嬰數(shù)男嬰比例%200016248270.509200112056220.516200215127740.512200314077150.508解：當試驗次數(shù)（觀察的新生兒個數(shù)）充分多時，男嬰出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.511左右，因此可以估計生男嬰的概率為0.511。當觀測次數(shù)很多時，頻率和概

5、率非常接近，頻率（真實的發(fā)生比例）可作為概率（可能發(fā)生比例）的近似值，次數(shù)越多，越接近真實概率。此方法也稱概率的統(tǒng)計方法或頻率方法。3、主觀概率依據(jù)人們的主觀判斷而估計的隨機事件發(fā)生可能性大小稱為主觀概率，但并非隨意猜想，是基于經(jīng)驗、專業(yè)知識、對事件發(fā)生的條件和影響因素進行分析而得出的。4、概率的基本性質（1）任一事件A的概率是一個介入0和1之間的數(shù)值。（2）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0。（3）若A與B不可能同時發(fā)生/互斥事件，則至少有一個發(fā)生的概率等于各自概率之和。P(AB)=P(A)+P(B)三、概率的運算法則1、加法公式計算兩個事件中至少有一個發(fā)生的概率，AB事件。（1）互斥

6、事件的加法公式A發(fā)生，B就不可能發(fā)生例3：有50件產(chǎn)品，其中有5件次品，現(xiàn)從中任取兩件，求至少抽到一件次品的概率。解1：至少抽到1件次品就是兩件均為次品和只有1件次品兩個事件的和。P(AB)=P(A)+P(B)=C451C51/C502+C450C52/ C502=0.1918解2：利用互補事件概率關系計算?；パa事件，不可能同時發(fā)生而又必然有一個會發(fā)生的兩事件，如中靶和脫靶，合格與不合格。利用P(A)+P()=1，可得P（至少抽到一件次品）=1-P（未抽到次品）=1-C452- C502=0.1918（2）相容事件的加法公式兩事件可能同時發(fā)生例4：將分別寫有09這十個數(shù)的小球放入容器內(nèi)，任意搖

7、出一個小球，求出現(xiàn)奇數(shù)或大于等于4的數(shù)的概率。解：奇數(shù)或大于等于4的數(shù)就是奇數(shù)（A）和大于等于4的數(shù)（B）這兩個事件和。樣本空間包括從0到9的10個數(shù)，A=1、3、5、7、9，B=4、5、6、7、8、9，由于每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，所以P(A)=5/10，P(B)=6/10。由于A和B之間有交集，AB（簡寫AB）=5、7、9，所以P(AB)=5/10+6/10-3/10=0.8對于相容事件：P(AB)=P(A)+P(B) -P(AB)2、乘法公式計算許多事件同時發(fā)生的概率（1）條件概率作隨機試驗時，如果附加一些條件，計算的概率就是條件概率，如在已知事件B發(fā)生的條件下求A發(fā)生的概率，用P(A

8、B)表示。公式P(AB)= P(AB)/ P(B) P(B)0例5：某公司下屬的甲乙兩廠生產(chǎn)同種產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)產(chǎn)品400件，其中一級品為280件；乙廠生產(chǎn)600件，其中一級品360件。若要從該公司全部產(chǎn)品中任意抽取一件，求已知抽出產(chǎn)品為一級品的條件下該產(chǎn)品出自甲廠的概率。解：設A=甲廠產(chǎn)品，B=一級品，則P(A)=0.4， P(B)=0.64 P(AB)=0.28 P(AB)= 280/1000/640/1000=0.438該題等同于計算從全廠的一級品中抽到甲廠產(chǎn)品的概率，即全部一級品中甲廠產(chǎn)品的比例。（2）乘法公式和事件的獨立性由條件概率公式可推導出：P(AB)=P(A)P(BA) 或 P(

9、AB)=P(B)P(AB)，表示兩個事件同時發(fā)生的概率等于其中一個發(fā)生概率乘以另一個事件的條件概率。這里要求兩個事件之間有相關性，否則，如果事件B的發(fā)生不影響事件A的發(fā)生，那么P(AB)= P(A)，這種情況稱為A、B為獨立事件。獨立事件的乘法公式簡化為P(AB)=P(A) P(B)例6：50件產(chǎn)品中任取兩件，求抽到兩件均為合格品的概率和兩件均為次品的概率。分兩次抽取，每次只抽一件，則兩種情況：不放回抽樣和放回抽樣。解：設A1=第一次抽到合格品，A2=第二次抽到合格品，A1A2=抽到兩件均為合格品，12=抽到兩次均為次品。在不放回抽樣中：兩次不獨立，相互影響，用不獨立公式：P(AB)=P(A)

10、P(BA)P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)=45/50×44/490.8082P(12)=P(1)P(21)=5/50×4/490.0082在放回抽樣中，兩次抽取相互獨立，樣本空間都是50，用獨立公式P(AB)=P(A) P(B)P(A1A2)=P(A1) P(A2)=45/50×45/50=0.81P(12)= P(1)P(2)=5/50×5/50=0.013、全概率公式與貝葉斯公式例7：有一道四選一的題，某學生知道正確答案的概率為2/3，不知道正確答案時才對的概率是1/4，求該學生做出正確選擇的概率？解：設A=知道正確答案，B=選擇正確，顯然

11、，選擇正確的概率可分解為兩種情況“知道正確答案而選擇正確即AB”“不知道正確答案但選擇正確即B”的和，而這兩個事件又分別是另外兩個事件的積。P(B)=P(AB)+P(B)= P(A)P(BA)+ P()P(B)=2/3×1+1/3×1/4=3/4將上例推廣到一般情況就是全概率公式：有i條路可以達到目的地，A1、A2. Ai互不相容，也只有這i條路可達到目的地，它們構成了所有的可能性集合，則稱事件A1、A2. Ai為完備事件組。要達到目的地（事件B），總是要選擇Ai中的一條路，與其同時發(fā)生。 P(B)= P(A1B)+P(A2B)+ P(AiB)= P(A1)P(BA1)+

12、P(A2)P(BA2)+ P(Ai)P(BAi) = P(Ai)P(BAi)直觀意義：每一個Ai發(fā)生都可能導致B發(fā)生，每一個Ai地發(fā)生導致B發(fā)生的概率為P(AiB)= P(Ai)P(BAi)，因此作為結果的事件B發(fā)生的概率是各個原因A1引發(fā)的概率的和。由全概率公式推導出貝葉斯公式 ，也稱后驗概率公式：P(AiB)= P(AiB)/ P(B)= P(Ai)P(BAi)/ P(Ai) P(BAi)實際等同于計算在給定B條件下Ai的條件概率公式。應用十分廣泛，是在觀察到B已發(fā)生情況下，確定導致B發(fā)生的各個原因Ai的概率，常用來尋找事件發(fā)生的最可能原因。例8/練習題：在例6中，若學生回答正確，則其純屬

13、猜對的概率是多少？解：就是要求在答對的情況下B，不知道答案的概率是多少。 P(B)= P(B)/ P(B)= P()P(B)/P(A) P(BA)+ P() P(B)=1/3×1/4/2/3×1+1/3×1/40.111第二節(jié) 隨機變量及其概率分布一、隨機變量的概念如果隨機試驗的每個可能結果都用一個數(shù)值表示，那么所有結果就可用一個變量表示，即隨機變量。隨機變量的取值是隨機的，事先不確定。隨機變量通常用大寫字母表示，具體取值用小寫字母表示。例如，檢查產(chǎn)品合格率，出現(xiàn)次品的件數(shù)可能是0、1、2、3件，出現(xiàn)次品的件數(shù)就是一個隨機變量X，它有4個取值x1x2x3x4，分別

14、對應4個事件。隨機變量X取值為xi的概率用P(X=xi)來表示。根據(jù)取值的特點，將隨機變量分為離散型和連續(xù)型。二、隨機變量的概率分布隨機變量取值的規(guī)律，即取各個值的概率分布1、離散型隨機變量的概率分布例9：將一均勻篩子投擲20次、100次、無數(shù)次，用X表示篩子落下時面朝上的點數(shù)，做出各種情況下X的相對頻率分布表和分布圖。表：篩子出現(xiàn)點數(shù)的相對頻率分布出現(xiàn)的點數(shù)X相對頻率f/nn=20n=100n=10.200.181/620.100.171/630.300.151/640.150.151/650.100.201/660.150.151/6 f/n n=20 f/n n=10 f/n=P(x)

15、n=0.3 0.3 0.30.2 0.2 0.20.1 0.1 0.1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6當樣本較小時，相對頻率劇烈波動，隨著樣本量增加，相對頻率趨于穩(wěn)定，最后穩(wěn)定在一個極限分布上，即隨機變量X的概率分布。通過離散型隨機變量的概率分布圖形，可以知道該變量有可能有哪些取值及每個可能取值出現(xiàn)的頻率。每個取值的相對頻率之和等于1，概率之和也等于1：P(x)=12、連續(xù)型隨機變量的概率密度表：200名男生身高的頻數(shù)分布組限組中值頻數(shù)相對頻率相對概率密度148-15415140.020.003154-160157120.060.010160-16616

16、3440.220.037166-172169640.320.053172-178175560.280.047178-184181160.080.013184-19018740.020.003合計2001.001.00如畫出條形圖，柱條高度之和為1。如果將組距縮小一倍，3厘米，則條形圖形狀如下：148-151149.520.010.003151-154152.520.010.003154-157155.560.030.010157-170158.560.030.010合計2001.00隨著組距的減小，相對頻率分布圖越來越扁，柱條的寬度越來越窄，所有柱條高度之和仍為1。如果將縱軸刻度改為相對頻率密

17、度=相對頻率/組距，畫出直方圖，就使得柱狀圖不受組距大小影響，而成為一個標準化的圖。這時柱條面積總和等于1。樣本量增加、組距減小時的變化：隨樣本量增大，隨機因素影響減小，相對頻率趨向于概率。同時樣本增大也可以更精細地分組，于是在面積固定為1時，相對頻率密度近似變成一條曲線，稱為密度函數(shù)，簡稱概率分布。離散型隨機變量分布圖形是一個階梯形，連續(xù)型變量是一條曲線。三、隨機變量的數(shù)字特征1、隨機變量的數(shù)學期望均值它描述隨機變量的概率分布的中心位置。例10：賭博中的擲篩子 n =20n =100n=Xf/nX(f/n)f/nX(f/n)f/n= P(X)X P(X)10.200.20.180.181/6

18、1/620.100.20.170.341/62/630.300.90.150.451/63/640.150.60.150.601/64/650.100.50.201.001/65/660.150.90.150.901/66/6=3.30=3.47=21/6=3.50隨樣本量增大，樣本均值趨向于某一極限值，稱為概率分布的均值或總體均值，也叫隨即變量X的均值，用E(x)或表示。= X P(X)E(x)只是重復多次試驗后所能期望得到的平均意義上的值，不一定是真實出現(xiàn)的值，所以也叫期望值。2、隨機變量的方差和標準差例11：按照上表中最后一列的概率分布計算均方差MSD和方差XP(X)(x-)(x-)2(

19、x-)2 P(X)11/6-2.506.251.0421/6-1.502.250.3831/6-0.500.250.0441/60.500.250.0451/61.502.250.3861/62.506.251.04=3.50MSD=2.92方差和均方差的差別僅在于除數(shù)是n-1而不是n，但當總體趨于無窮大時，兩者相同。方差=MSD=2.92；標準差=1.71。極限情況下的方差稱為概率分布的方差或總體方差，用2表示，公式：2=MSD=(X-) 2P(X)3、總體矩和樣本矩總體均值和方差也叫做總體的一階矩和二階距，與樣本均值和樣本方差的比較：樣本矩總體矩樣本均值=X(f/n)總體均值= X P(X

20、)樣本方差S2=MSD=(X-)2f/n總體方差2=MSD=(X-) 2P(X)四、常見的概率分布模型1、二項分布離散型隨機變量針對二項變量，即每次實驗只有兩種可能結果的變量，如性別、拋硬幣正反面。這類試驗的兩種可能結果通常用“成功”和“失敗”表示，用p和1-p表示成功概率和失敗概率，每次都有相同的成功概率和失敗概率，且每次實驗是獨立的。N次這樣的重復試驗中成功的總次數(shù)X就稱為二項變量。二項變量的例子：試驗成功失敗pNX=k投擲均勻硬幣國徽朝上國徽朝下1/2投擲次數(shù)國徽朝上的總次數(shù)隨機抽取一居民女性 男性總體中女性居民的比例樣本量樣本中的女性人數(shù)多項選擇題答案猜測（5個選項）正確錯誤1/5試題

21、數(shù)回答正確題數(shù)二項變量X的概率分布就是二項分布，概率分布公式為：P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-kk=0,1,2,3.例12：在一個男女居民各半的大居民中，抽取一個n=10的隨機樣本，問1）樣本中正好有4位女性居民的概率是多少？2）樣本中至少有2為女性居民的概率是多少？假定有放回抽樣（其實不放回時誤差也很小，因為總體很大而樣本很?。＝猓?n=10，k=4，p=0.51） P(X=4)=C104(0.5)4(0.5)6=0.20512） P(X2)= P(X=2) +P(X=3) +P(X=4).+ P(X=10)=0.9893可以查詢表二項概率分布表或二項分布的右側尾部累計概率表。二項

22、分布的性質：二項分布可簡寫為B(n,p)，n是獨立實驗的次數(shù)，p是事件A在每次實驗中發(fā)生的概率。二項分布的數(shù)學期望為np，二項分布方差為npq。當p=0.5時，分布圖形是對稱的，當不等于0.5時非對稱，n越大非對稱性越不明顯。2、正態(tài)分布連續(xù)型隨機變量，寫作N(,2)許多連續(xù)型隨機變量的概率分布是一種呈鐘形的對稱曲線，叫做正態(tài)曲線或高斯曲線，統(tǒng)計中最普通也最常用的分布。正態(tài)分布的特征：單峰，對稱眾數(shù)、中位數(shù)和均值相等。正態(tài)分布的常用性質：（1）正態(tài)曲線以x軸為漸近線，但是永遠不會與x相交。（2）正態(tài)分布是一條關于x=對稱的鐘形曲線，平均值位于正態(tài)曲線的中心。（3）標準差決定陡峭或扁平程度，越小

23、，越陡峭，越大，越扁平。（4）任何正態(tài)分布都適用689599.7規(guī)則，即：大約有68.27%的數(shù)據(jù)落在距平均值一個標準差的范圍內(nèi)，即距均值一個標準差的范圍面積占總面積的68%；大約有95.45%的數(shù)據(jù)落在距平均值兩個標準差的范圍內(nèi)；大約有99.73%的數(shù)據(jù)落在距平均值三個標準差的范圍內(nèi)。2.1 標準正態(tài)分布，寫作N(0，1)由于不同的變量的各自分布形狀不同，同一變量采用不同度量單位也會產(chǎn)生不同正態(tài)分布。所以可轉換為統(tǒng)一的分布：標準正態(tài)分布，=0，=1的正態(tài)分布，也叫Z分布。將隨機變量X轉化為Z值，Z= ，表示X值與均值的距離是標準差的幾倍。則隨機變量Z服從標準正態(tài)分布N(0，1)。標準分的實際

24、意義：例子：A同學數(shù)學考了90分，平均分是70分；B同學政治考了90分，平均分85分，兩個同學的成績一樣嗎？設標準差相等都為10分。Z(A)=90-70/10=2Z(B)=90-85/10=0.5 則A優(yōu)于BC同學數(shù)學考了70分，標準分為70-70/10=0，但不等于真實成績?yōu)?。如果數(shù)學和政治平均分都為70分，數(shù)學成績標準差為20，政治成績標準差為10，則A同學和B同學孰優(yōu)孰劣？ Z(A)=90-70/20=1Z(B)=90-70/10=2 則B優(yōu)于A學習正態(tài)分布和標準正態(tài)分布的作用：計算某個變量在某一范圍內(nèi)取值的概率。例13：練習查表，p(Z1.96) ;p(Z-1.96); p(-1.9

25、6Z1.96); p(-1.0Z1.5)p(Z1.96)=0.025; p(Z-1.96)= p(Z1.96)=0.025; p(-1.96Z1.96)=1-2 p(Z1.96)=0.95; p(-1.0Z1.5)= 1- p (Z-1.0)- p(Z1.5)= 1-p(Z1.0)- p(Z1.5)=0.7745p(-1.0Z1.5)= p (Z1.5)-（1- p(Z1.0)）=0.7745例14：某企業(yè)員工平均收入X服從=1750元，標準差=350元的正態(tài)分布，求該企業(yè)員工收入超過2200元的比例是多少？低于1500元的比例有多少？也就是說，隨機抽取一位員工其平均收入超過2200元或不到1500元的概率是多少？解：1)Z=(2200-1750)/3501.29，p(Z1.29)=0.09589.6% 2)Z