高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-12-1級(jí)數(shù)的收斂性分解

1、 級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析三大組成部分之一，是逼近理論的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)、進(jìn)行近似計(jì)算的一種有用的工具. 級(jí)數(shù)理論的主要內(nèi)容是研究級(jí)數(shù)的收斂性以及級(jí)數(shù)的應(yīng)用.1 級(jí)數(shù)的收斂性數(shù)學(xué)分析 第 十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性有限個(gè)實(shí)數(shù)有限個(gè)實(shí)數(shù) u1, ,u2,un 相加后還是一個(gè)實(shí)數(shù)，相加后還是一個(gè)實(shí)數(shù)，“無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加無(wú)限個(gè)實(shí)數(shù)相加”會(huì)有什么結(jié)果呢？會(huì)有什么結(jié)果呢？到到莊子莊子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,萬(wàn)世不竭萬(wàn)世不竭”的例中的例中, ,231111,2222n由于前由于前 n 項(xiàng)相加的和是項(xiàng)相加的和是 112n ，個(gè)數(shù)

2、相加個(gè)數(shù)相加”的結(jié)果應(yīng)該是的結(jié)果應(yīng)該是1. .相加相加”的表達(dá)式的表達(dá)式 那么那么如在第二章提如在第二章提可以推測(cè)這可以推測(cè)這“無(wú)限無(wú)限又如下面由又如下面由“無(wú)限個(gè)數(shù)無(wú)限個(gè)數(shù) 后退 前進(jìn) 目錄 退出將每天截下那一部分的長(zhǎng)度將每天截下那一部分的長(zhǎng)度“加加”起來(lái)是起來(lái)是: : 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性中，中，(11)(11)(11)000,結(jié)果肯定是結(jié)果肯定是0，1( 1)1( 1)11000,則結(jié)果是則結(jié)果是1. .問(wèn)題問(wèn)題:“無(wú)限個(gè)數(shù)相加無(wú)限個(gè)數(shù)相加”是否存在是否存在“和和”;“和和”等于什么等于什么? ? 簡(jiǎn)單地與有限個(gè)數(shù)相加作簡(jiǎn)單的類比簡(jiǎn)單地與

3、有限個(gè)數(shù)相加作簡(jiǎn)單的類比, ,需要建立新需要建立新 的理論的理論. . 1( 1)1( 1)如果將其寫(xiě)作如果將其寫(xiě)作而寫(xiě)作而寫(xiě)作兩個(gè)結(jié)果的不同向我們提出了兩個(gè)基本兩個(gè)結(jié)果的不同向我們提出了兩個(gè)基本 如果存在如果存在,由此可見(jiàn)由此可見(jiàn),“無(wú)限個(gè)數(shù)相加無(wú)限個(gè)數(shù)相加”不能不能數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性定義1稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)( (常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)),),稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)的通項(xiàng)或一般項(xiàng). . 1nnu.nu常記為常記為，在不致誤解時(shí)可簡(jiǎn)記為，在不致誤解時(shí)可簡(jiǎn)記為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的前的前n項(xiàng)之

4、和記為項(xiàng)之和記為 121,(2)nnknksuuuu稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的第的第 n 個(gè)部分和個(gè)部分和, ,也簡(jiǎn)稱部分和也簡(jiǎn)稱部分和. .給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列un, 將其各項(xiàng)依次用將其各項(xiàng)依次用“+”+”號(hào)號(hào)連接連接起來(lái)的表達(dá)式起來(lái)的表達(dá)式12(1)nuuu數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)也也其中其中 un 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性定義2 limnnss(即即 ), 則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)收斂收斂, 項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的和的和, ,記作記作 例例1 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)( (也稱幾何級(jí)數(shù)也稱幾何級(jí)數(shù)) )2(3)naaqaqaq的收

5、斂性的收斂性(a0).若若 是發(fā)散數(shù)列是發(fā)散數(shù)列, ,則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)發(fā)散發(fā)散. .ns若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列ns收斂于收斂于 ss 稱為數(shù)稱為數(shù),21nuuus1.nnsu或或數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性解解 q1時(shí)時(shí), , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(3)的第的第 n 個(gè)部分和為個(gè)部分和為 此時(shí)級(jí)此時(shí)級(jí) 數(shù)數(shù)(3)收斂收斂,其和為其和為.1-aq(iii)1,.nqsna當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1,q當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 20,ks1nnaqaqas.11qqanqqasqnnnn11limlim1) i (時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).1qa,lim

6、1)ii(nnsq時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).3 ）發(fā)散）發(fā)散此時(shí)級(jí)數(shù)（此時(shí)級(jí)數(shù)（21,0, 1, 2,ksa k .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散2(3)naaqaqaq1,(3);q時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂1,q時(shí)時(shí)綜合起來(lái)得到綜合起來(lái)得到: 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)(3)發(fā)散發(fā)散. . 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性例例2 討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)111(4)1 22 3(1)n n的收斂性的收斂性. .解解 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(4)的第的第n個(gè)部分和為個(gè)部分和為 1111223(1)nsn n1111112231nn11.1n數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性1l

7、imlim 11,1nnnsn由于由于 因此級(jí)數(shù)因此級(jí)數(shù) (4) 收斂收斂, ,且其和為且其和為 1. 注注 由于級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)(1)的收斂或發(fā)散的收斂或發(fā)散(簡(jiǎn)稱斂散性簡(jiǎn)稱斂散性), ,是由它是由它 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列ns來(lái)確定來(lái)確定, 數(shù)列數(shù)列ns的另一種表現(xiàn)形式的另一種表現(xiàn)形式. na, 如果把它看作某一數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列如果把它看作某一數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列, 則則這個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是這個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是 因而也可把級(jí)數(shù)因而也可把級(jí)數(shù)(1)作為作為反之反之, 任給一個(gè)數(shù)列任給一個(gè)數(shù)列數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性定理12.1（級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則）12

8、13211()()().(5)nnnnuaaaaaaana這時(shí)數(shù)列這時(shí)數(shù)列與級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù) (5) 具有相同的斂散性具有相同的斂散性, 收斂時(shí)收斂時(shí), ,其極限值就是級(jí)數(shù)其極限值就是級(jí)數(shù)(5)的和的和. . na基于級(jí)數(shù)與數(shù)列的這種關(guān)系基于級(jí)數(shù)與數(shù)列的這種關(guān)系, ,可得下面有關(guān)級(jí)數(shù)的定理可得下面有關(guān)級(jí)數(shù)的定理. . 12.(6)mmmpuuu 且當(dāng)且當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1)收斂的充要收斂的充要條件是條件是:任給正數(shù)任給正數(shù), n總總存存在在正正整整數(shù)數(shù)，以及對(duì)任意以及對(duì)任意使得當(dāng)使得當(dāng)nm p的的正正整整數(shù)數(shù)都都有有數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性推論（級(jí)數(shù)收斂的必要

9、條件）任何正整數(shù)任何正整數(shù)n, ,總存在正整數(shù)總存在正整數(shù) m0(n) 和和 p0，使得，使得0000120.(7)mmmpuuu 由定理由定理12.1立即可得如下推論立即可得如下推論. .若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(1)收斂收斂, ,則則 lim0.nnu注注 推論是級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)必要條件推論是級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)必要條件: :一般項(xiàng)不趨于一般項(xiàng)不趨于 零零, , 級(jí)數(shù)一定發(fā)散級(jí)數(shù)一定發(fā)散, , 收斂收斂. .寫(xiě)出級(jí)數(shù)寫(xiě)出級(jí)數(shù)(1)發(fā)散的充要條件是發(fā)散的充要條件是:0, 存存在在某某正正數(shù)數(shù)對(duì)對(duì) 根據(jù)定理根據(jù)定理12.1以及數(shù)列發(fā)散的充要條件，可以立刻以及數(shù)列發(fā)散的充要條件，可以立刻 但一般項(xiàng)趨于零但一般項(xiàng)趨于

10、零, 則級(jí)數(shù)未必則級(jí)數(shù)未必因此推論用來(lái)判斷級(jí)數(shù)發(fā)散是很有效因此推論用來(lái)判斷級(jí)數(shù)發(fā)散是很有效. . 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性 1( 1)1( 1)例例3 討論調(diào)和級(jí)數(shù)討論調(diào)和級(jí)數(shù)111123n的斂散性的斂散性. . 解解 這里一般項(xiàng)這里一般項(xiàng) ,10nun因此不能利用推論判斷它因此不能利用推論判斷它 是發(fā)散級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù). . 因?yàn)橐话沩?xiàng)因?yàn)橐话沩?xiàng)un=( )n-1 不趨于零，所以發(fā)散不趨于零，所以發(fā)散. . 1 如級(jí)數(shù)如級(jí)數(shù)下面利用柯西準(zhǔn)則證明它是發(fā)散的下面利用柯西準(zhǔn)則證明它是發(fā)散的. .數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)

11、數(shù)的收斂性為此令為此令 p = m, , 則有則有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2 故取故取對(duì)任何正整數(shù)對(duì)任何正整數(shù) n 只要只要 m n 和和 p = m 就有就有(7)式成立式成立，因此調(diào)和級(jí)數(shù)因此調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散. . 11nn 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性例例4 判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) 111nnnnnnn 的斂散性的斂散性. 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散所以由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知原級(jí)數(shù)發(fā)散. . nnnnnnnnnnnnnnn111lim1limnnnnnn112211lim10數(shù)學(xué)分析

12、 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性例例5 運(yùn)用級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù)運(yùn)用級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù) 21n收斂收斂. .證證 由于由于 12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp 111(1)(1)(2)(1)()m mmmmpmp1111111121mmmmmpmp11mmp1.m數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性定理12.2當(dāng)當(dāng)mn及任意正及任意正 整數(shù)整數(shù) p, ,由上式可得由上式可得 121,mmmpuuum 21n依級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則,知級(jí)數(shù)依級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則,知級(jí)數(shù)收斂收斂. ,nnuv若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與

13、與都都收收斂斂則對(duì)任意常則對(duì)任意常 數(shù)數(shù)c, , d，()nncudv級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)亦收斂，且亦收斂，且().nnnncudvcudv因此因此, 0 對(duì)任意對(duì)任意,1 n可取可取數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性定理12.3注注 去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)雖不改變?cè)摷?jí)去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)雖不改變?cè)摷?jí)數(shù)的斂散性，但在收斂時(shí)，其和一般還是要變的數(shù)的斂散性，但在收斂時(shí)，其和一般還是要變的. . 由定理由定理12.3知知, , 1,nnu若級(jí)數(shù)收斂若級(jí)數(shù)收斂 其和為其和為s, ,12(8)lnnuu第第 n 個(gè)余項(xiàng)個(gè)余項(xiàng)( (簡(jiǎn)稱余項(xiàng)簡(jiǎn)稱余項(xiàng)),), 時(shí)所產(chǎn)生的

14、誤差時(shí)所產(chǎn)生的誤差. . 去掉、增加或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不改變?nèi)サ?、增加或改變?jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不改變級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂，也收斂，.nnssr且其和且其和的的式稱為級(jí)數(shù)式稱為級(jí)數(shù)nu)8(它表示以部分和它表示以部分和 sn代替代替s斂散性斂散性.數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性定理12.4在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào), , 既不改變既不改變級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的收斂性收斂性, ,也不改變它的和也不改變它的和. . ,.nus為為收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 其其和和為為nu下下面面證證明明加加證證 設(shè)設(shè)括號(hào)后的級(jí)數(shù)括號(hào)后的級(jí)數(shù)111()kknnk

15、uu收斂收斂, 11,kkknnvuu 則則11111().kknnnknkkuuuv且其和也是且其和也是.s,111nuuv為此，記為此，記,2112nnuuv,數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性注注 從級(jí)數(shù)加括號(hào)后的收斂從級(jí)數(shù)加括號(hào)后的收斂, ,不能推斷它在未加括號(hào)不能推斷它在未加括號(hào) 于是于是, 若若 為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)nu的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列, ns時(shí)也收斂時(shí)也收斂. . 例如例如 (11)(11)(11)0000,收斂收斂, , 但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù) 1 11 1 卻是發(fā)散的卻是發(fā)散的. .則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù).kknnvss的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列是是的的

16、一一個(gè)個(gè)子子列列由于由于lim.nnnsss收收斂斂, ,且且kns故故由由子子列列性性質(zhì)質(zhì)，也也收收斂斂，,limssknk且且.svk收斂，且它的和也等于收斂，且它的和也等于即級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性例例6 判別下列級(jí)數(shù)判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：的斂散性： 111111212131314141解解 考慮加括號(hào)的級(jí)數(shù)考慮加括號(hào)的級(jí)數(shù)111121213131114141其一般項(xiàng)其一般項(xiàng)112,111nunnn數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性由定理由定理12.212.2及例及例3 3知，級(jí)數(shù)知，級(jí)數(shù)發(fā)散，從

17、而原級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)發(fā)散. .22112nnnnu112nn數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性*例例7 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)1213nnn收斂，并求其和收斂，并求其和.1213nnkkkslimnns證證 令令 ，若能求出，若能求出, 就能得到所就能得到所 要的結(jié)論要的結(jié)論. . 11112121333nnnnkkkkkkss111112121333nkkkkk1111112121333nnkkkkkk由于由于 1213nn數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)高等教育出版社1 級(jí)數(shù)的收斂性級(jí)數(shù)的收斂性11111221333nknkn 12111121213333nknkn 12121,