高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-12-1級數(shù)的收斂性分解

1、 級數(shù)是數(shù)學(xué)分析三大組成部分之一，是逼近理論的基礎(chǔ)，是研究函數(shù)、進行近似計算的一種有用的工具. 級數(shù)理論的主要內(nèi)容是研究級數(shù)的收斂性以及級數(shù)的應(yīng)用.1 級數(shù)的收斂性數(shù)學(xué)分析 第 十二章數(shù)項級數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性有限個實數(shù)有限個實數(shù) u1, ,u2,un 相加后還是一個實數(shù)，相加后還是一個實數(shù)，“無限個實數(shù)相加無限個實數(shù)相加”會有什么結(jié)果呢？會有什么結(jié)果呢？到到莊子莊子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,萬世不竭萬世不竭”的例中的例中, ,231111,2222n由于前由于前 n 項相加的和是項相加的和是 112n ，個數(shù)

2、相加個數(shù)相加”的結(jié)果應(yīng)該是的結(jié)果應(yīng)該是1. .相加相加”的表達式的表達式 那么那么如在第二章提如在第二章提可以推測這可以推測這“無限無限又如下面由又如下面由“無限個數(shù)無限個數(shù) 后退 前進 目錄 退出將每天截下那一部分的長度將每天截下那一部分的長度“加加”起來是起來是: : 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性中，中，(11)(11)(11)000,結(jié)果肯定是結(jié)果肯定是0，1( 1)1( 1)11000,則結(jié)果是則結(jié)果是1. .問題問題:“無限個數(shù)相加無限個數(shù)相加”是否存在是否存在“和和”;“和和”等于什么等于什么? ? 簡單地與有限個數(shù)相加作簡單的類比簡單地與

3、有限個數(shù)相加作簡單的類比, ,需要建立新需要建立新 的理論的理論. . 1( 1)1( 1)如果將其寫作如果將其寫作而寫作而寫作兩個結(jié)果的不同向我們提出了兩個基本兩個結(jié)果的不同向我們提出了兩個基本 如果存在如果存在,由此可見由此可見,“無限個數(shù)相加無限個數(shù)相加”不能不能數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定義1稱為常數(shù)項級數(shù)或數(shù)項級數(shù)稱為常數(shù)項級數(shù)或數(shù)項級數(shù)( (常簡稱級數(shù)常簡稱級數(shù)),),稱為數(shù)項級數(shù)稱為數(shù)項級數(shù)(1)的通項或一般項的通項或一般項. . 1nnu.nu常記為常記為，在不致誤解時可簡記為，在不致誤解時可簡記為數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)(1)的前的前n項之

4、和記為項之和記為 121,(2)nnknksuuuu稱為數(shù)項級數(shù)稱為數(shù)項級數(shù)(1)的第的第 n 個部分和個部分和, ,也簡稱部分和也簡稱部分和. .給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列un, 將其各項依次用將其各項依次用“+”+”號號連接連接起來的表達式起來的表達式12(1)nuuu數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)(1)也也其中其中 un 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定義2 limnnss(即即 ), 則稱數(shù)項級數(shù)則稱數(shù)項級數(shù)(1)收斂收斂, 項級數(shù)項級數(shù)(1)的和的和, ,記作記作 例例1 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (也稱幾何級數(shù)也稱幾何級數(shù)) )2(3)naaqaqaq的收

5、斂性的收斂性(a0).若若 是發(fā)散數(shù)列是發(fā)散數(shù)列, ,則稱數(shù)項級數(shù)則稱數(shù)項級數(shù)(1)發(fā)散發(fā)散. .ns若數(shù)項級數(shù)若數(shù)項級數(shù)(1)的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列ns收斂于收斂于 ss 稱為數(shù)稱為數(shù),21nuuus1.nnsu或或數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性解解 q1時時, , 級數(shù)級數(shù)(3)的第的第 n 個部分和為個部分和為 此時級此時級 數(shù)數(shù)(3)收斂收斂,其和為其和為.1-aq(iii)1,.nqsna當當時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1,q當當時時 20,ks1nnaqaqas.11qqanqqasqnnnn11limlim1) i (時，時，當當.1qa,lim

6、1)ii(nnsq時，時，當當.3 ）發(fā)散）發(fā)散此時級數(shù)（此時級數(shù)（21,0, 1, 2,ksa k .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散2(3)naaqaqaq1,(3);q時時 級級數(shù)數(shù)收收斂斂1,q時時綜合起來得到綜合起來得到: 級級 數(shù)數(shù)(3)發(fā)散發(fā)散. . 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例例2 討論數(shù)項級數(shù)討論數(shù)項級數(shù)111(4)1 22 3(1)n n的收斂性的收斂性. .解解 級數(shù)級數(shù)(4)的第的第n個部分和為個部分和為 1111223(1)nsn n1111112231nn11.1n數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性1l

7、imlim 11,1nnnsn由于由于 因此級數(shù)因此級數(shù) (4) 收斂收斂, ,且其和為且其和為 1. 注注 由于級數(shù)由于級數(shù)(1)的收斂或發(fā)散的收斂或發(fā)散(簡稱斂散性簡稱斂散性), ,是由它是由它 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列ns來確定來確定, 數(shù)列數(shù)列ns的另一種表現(xiàn)形式的另一種表現(xiàn)形式. na, 如果把它看作某一數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列如果把它看作某一數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列, 則則這個數(shù)項級數(shù)就是這個數(shù)項級數(shù)就是 因而也可把級數(shù)因而也可把級數(shù)(1)作為作為反之反之, 任給一個數(shù)列任給一個數(shù)列數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定理12.1（級數(shù)收斂的柯西準則）12

8、13211()()().(5)nnnnuaaaaaaana這時數(shù)列這時數(shù)列與級數(shù)與級數(shù) (5) 具有相同的斂散性具有相同的斂散性, 收斂時收斂時, ,其極限值就是級數(shù)其極限值就是級數(shù)(5)的和的和. . na基于級數(shù)與數(shù)列的這種關(guān)系基于級數(shù)與數(shù)列的這種關(guān)系, ,可得下面有關(guān)級數(shù)的定理可得下面有關(guān)級數(shù)的定理. . 12.(6)mmmpuuu 且當且當級數(shù)級數(shù)(1)收斂的充要收斂的充要條件是條件是:任給正數(shù)任給正數(shù), n總總存存在在正正整整數(shù)數(shù)，以及對任意以及對任意使得當使得當nm p的的正正整整數(shù)數(shù)都都有有數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性推論（級數(shù)收斂的必要

9、條件）任何正整數(shù)任何正整數(shù)n, ,總存在正整數(shù)總存在正整數(shù) m0(n) 和和 p0，使得，使得0000120.(7)mmmpuuu 由定理由定理12.1立即可得如下推論立即可得如下推論. .若級數(shù)若級數(shù)(1)收斂收斂, ,則則 lim0.nnu注注 推論是級數(shù)收斂的一個必要條件推論是級數(shù)收斂的一個必要條件: :一般項不趨于一般項不趨于 零零, , 級數(shù)一定發(fā)散級數(shù)一定發(fā)散, , 收斂收斂. .寫出級數(shù)寫出級數(shù)(1)發(fā)散的充要條件是發(fā)散的充要條件是:0, 存存在在某某正正數(shù)數(shù)對對 根據(jù)定理根據(jù)定理12.1以及數(shù)列發(fā)散的充要條件，可以立刻以及數(shù)列發(fā)散的充要條件，可以立刻 但一般項趨于零但一般項趨于

10、零, 則級數(shù)未必則級數(shù)未必因此推論用來判斷級數(shù)發(fā)散是很有效因此推論用來判斷級數(shù)發(fā)散是很有效. . 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性 1( 1)1( 1)例例3 討論調(diào)和級數(shù)討論調(diào)和級數(shù)111123n的斂散性的斂散性. . 解解 這里一般項這里一般項 ,10nun因此不能利用推論判斷它因此不能利用推論判斷它 是發(fā)散級數(shù)是發(fā)散級數(shù). . 因為一般項因為一般項un=( )n-1 不趨于零，所以發(fā)散不趨于零，所以發(fā)散. . 1 如級數(shù)如級數(shù)下面利用柯西準則證明它是發(fā)散的下面利用柯西準則證明它是發(fā)散的. .數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級

11、數(shù)的收斂性為此令為此令 p = m, , 則有則有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2 故取故取對任何正整數(shù)對任何正整數(shù) n 只要只要 m n 和和 p = m 就有就有(7)式成立式成立，因此調(diào)和級數(shù)因此調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. . 11nn 數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例例4 判斷級數(shù)判斷級數(shù) 111nnnnnnn 的斂散性的斂散性. 解解 因為因為 所以由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散所以由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散. . nnnnnnnnnnnnnnn111lim1limnnnnnn112211lim10數(shù)學(xué)分析

12、 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例例5 運用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù)運用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù) 21n收斂收斂. .證證 由于由于 12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp 111(1)(1)(2)(1)()m mmmmpmp1111111121mmmmmpmp11mmp1.m數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定理12.2當當mn及任意正及任意正 整數(shù)整數(shù) p, ,由上式可得由上式可得 121,mmmpuuum 21n依級數(shù)收斂的柯西準則,知級數(shù)依級數(shù)收斂的柯西準則,知級數(shù)收斂收斂. ,nnuv若若級級數(shù)數(shù)與

13、與都都收收斂斂則對任意常則對任意常 數(shù)數(shù)c, , d，()nncudv級級數(shù)數(shù)亦收斂，且亦收斂，且().nnnncudvcudv因此因此, 0 對任意對任意,1 n可取可取數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定理12.3注注 去掉、增加或改變級數(shù)的有限項雖不改變該級去掉、增加或改變級數(shù)的有限項雖不改變該級數(shù)的斂散性，但在收斂時，其和一般還是要變的數(shù)的斂散性，但在收斂時，其和一般還是要變的. . 由定理由定理12.3知知, , 1,nnu若級數(shù)收斂若級數(shù)收斂 其和為其和為s, ,12(8)lnnuu第第 n 個余項個余項( (簡稱余項簡稱余項),), 時所產(chǎn)生的

14、誤差時所產(chǎn)生的誤差. . 去掉、增加或改變級數(shù)的有限項并不改變?nèi)サ?、增加或改變級?shù)的有限項并不改變級數(shù)的級數(shù)的則級數(shù)則級數(shù)也收斂，也收斂，.nnssr且其和且其和的的式稱為級數(shù)式稱為級數(shù)nu)8(它表示以部分和它表示以部分和 sn代替代替s斂散性斂散性.數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性定理12.4在收斂級數(shù)的項中任意加括號在收斂級數(shù)的項中任意加括號, , 既不改變既不改變級數(shù)的級數(shù)的收斂性收斂性, ,也不改變它的和也不改變它的和. . ,.nus為為收收斂斂級級數(shù)數(shù) 其其和和為為nu下下面面證證明明加加證證 設(shè)設(shè)括號后的級數(shù)括號后的級數(shù)111()kknnk

15、uu收斂收斂, 11,kkknnvuu 則則11111().kknnnknkkuuuv且其和也是且其和也是.s,111nuuv為此，記為此，記,2112nnuuv,數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性注注 從級數(shù)加括號后的收斂從級數(shù)加括號后的收斂, ,不能推斷它在未加括號不能推斷它在未加括號 于是于是, 若若 為收斂級數(shù)為收斂級數(shù)nu的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列, ns時也收斂時也收斂. . 例如例如 (11)(11)(11)0000,收斂收斂, , 但級數(shù)但級數(shù) 1 11 1 卻是發(fā)散的卻是發(fā)散的. .則級數(shù)則級數(shù).kknnvss的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列是是的的

16、一一個個子子列列由于由于lim.nnnsss收收斂斂, ,且且kns故故由由子子列列性性質(zhì)質(zhì)，也也收收斂斂，,limssknk且且.svk收斂，且它的和也等于收斂，且它的和也等于即級數(shù)即級數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性例例6 判別下列級數(shù)判別下列級數(shù)的斂散性：的斂散性： 111111212131314141解解 考慮加括號的級數(shù)考慮加括號的級數(shù)111121213131114141其一般項其一般項112,111nunnn數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性由定理由定理12.212.2及例及例3 3知，級數(shù)知，級數(shù)發(fā)散，從

17、而原級數(shù)發(fā)散發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散. .22112nnnnu112nn數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性*例例7 證明級數(shù)證明級數(shù)1213nnn收斂，并求其和收斂，并求其和.1213nnkkkslimnns證證 令令 ，若能求出，若能求出, 就能得到所就能得到所 要的結(jié)論要的結(jié)論. . 11112121333nnnnkkkkkkss111112121333nkkkkk1111112121333nnkkkkkk由于由于 1213nn數(shù)學(xué)分析 第十二章 數(shù)項級數(shù)高等教育出版社1 級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性11111221333nknkn 12111121213333nknkn 12121,