數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用

1、數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用一【問題背景】向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然的橋梁，向量能進(jìn)行數(shù)量積運算是向量應(yīng)用廣泛的一個重要原因a 與 b 的數(shù)量積 a b 的幾何意義是：a b 等于 a 的長度 a 與 b 在 a 的方向上的投影 b cos的積，其中為 a ， b 的夾角由于數(shù)量積滿足分配律，因此，對向量進(jìn)行數(shù)量積運算就是不斷地運用“有向線段的和在直線上的投影等于各有向線段的投影的和”這一結(jié)論二、【與平面幾何定理的關(guān)聯(lián)】射影定理： 在 Rt ABC 中， ACBC,CDAB于D，則 AC2ADAB ，BC 2BD BA證明： 由數(shù)量積的幾何意義知 ACABADAB ，C又AC ABAC (ACCB

2、)2AC2 ，AC所以 AC2ADAB ，同理 BC2BD BAAD圓冪定理： 過點 P 的直線與圓 O 相交于 A, B 兩點，則 PA PBPO2R2 ，其中 R為圓 O 的半徑證明： 當(dāng)在圓 O 上時，結(jié)論顯然，否則，連結(jié)BO 并延長交圓 O于點 C ，連結(jié) AC, PC ，則BPPC PB(PO OC) (PO OB)(POOC) (PO OC)OPO2OC 2PO 2R2 另一方面，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，圖 1當(dāng) P 在圓 O 內(nèi)時（如圖2）， PC PBPA PB，B當(dāng) P 在圓 O 外時（如圖3）， PC PBPAPB ，O故PA PBPO 2R2圖 2三、【范例】BACAPC例

3、 1在正ABC 中，D 是邊 BC 上的點，且 AB3, BD1，則 ABAD 的值為.解： 如圖，過 D 作 DDAB于 D ，則 BD1，BD cos60152 AD3，2215D'由數(shù)量積的幾何意義得ABADABADB2變式 在ABC 中， BAC90， AB 6， D 在斜邊 BC上，且 CD2DB ，則 ABAD 的值為.例 2在ABC 中， ADAB, BC3BD ,AD 1,則ACADABCD這是一道有相當(dāng)難度的高考題，但若從向量的幾何意義出發(fā)展開思考，不僅思路自然，而且過程簡單解 1：設(shè)點 C 直線 AD 上的射影為DC 1DCC1 ，則3 1，ADBD3 1，則 AC

4、1B于是 DC13 ，由數(shù)量積的幾何意義得 AC ADAC1 AD3 精選文庫ADC.ACDC1當(dāng)然，考慮 AD 在 AC 上的投影同樣可解另外，若注意 ADAB，先利用ACABBC將ACAD 轉(zhuǎn)化為 BCAD 可得如下簡解：解2：ACAD(ABBC) ADBC AD3 BDAD3AD3 解法 2 充分利用了已知的垂直條件和數(shù)量積的幾何意義，未添加一條輔助線， 當(dāng)為此題最佳解法例 3 如圖，三個邊長為2 的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊 B3C3 上有 100 個不同的點P1，P2P， 記mi AB2 APi， (i1， 2， 100) ，100求 m1m2m100 的值B1B2B3P1

5、00P2P1AC1C2C3-2精選文庫D解：延長 AB2 ,C3 B3交于點 D ，由 AC1B2C1C1C2 知B 1B 2B 3AB2 B2C2 ，從而 AB2B3C3，P iAC1C2C3由數(shù)量積的幾何意義得miAB2 APi AB2 AD2 3 33 18， m1m2 m100181001800 變式 ：如圖，在直角三角形ACB中，AC1CD上有 10 個點，斜邊上的高P1 , P2 , , Pi , P10 ，則 ( AP1AP2AP10 ) AB.CP1PiAP10BD例 4如圖，正六邊形 ABCDE 中， P 是CDE 內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)APABAF( 、R) ，則的取值范

6、圍是EPDFCAB解： 不妨設(shè)正六邊形邊長為1， APABAF ， AP ABAB ABAF AB1，21AP AFAB AFAFAF，2兩式相加得 1 (1 AP)AP ABAPAFAD ，即AP AD，22根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，考查AP 在 AD 上投影的變化，注意到ADEC，點 A與CDE 內(nèi)（包括邊界） 的點的最短長度為點A到 EC的距離3 ，最長長度為點A與點D的距離 2，即 32AP AD2，故 34 2反思： 從上述解題過程可以看到，將“APABAF ”分別點乘 AB 和 AF 再相加，實際上只要直接點乘AD 即可-3精選文庫四、【練習(xí)】1在ABC 中， AB3, AC5，若O為ABC 的外心，則 AOBC的值.解： 如圖，過點 ODAB于D，OEAC于 E，則AAO BC AO (ACAB)AO ACAO ABAEACADABE1 (AC2AB2)1 (5232) 8DO22BC2如圖，在平行四邊形 ABCD 中，已知 AB 2, AD1,DAB60，點M為AB的中點，點 P 在 BC 與 CD 上運動（包括端點） ，則 AP DM 的取值范圍為AMBDPC解：AP DM( DPDA) DMDP DM1，2考查 DP 在 DM 上的投影的變化，當(dāng)P 在 D 處時，投影最小為0；當(dāng) P在B處時，投影最大為3 ，2DP DM 0,3 ，故 APDM 的取值范圍為 1,