雙曲線大題綜合

1、雙曲線大題綜合2 21.已知雙曲線c：g 石=1（">0”>0）的左、右焦點分別為仟，朽,離心率為3,直線 y = 2與C的兩個交點間的距離為點.（I）求匕/?;（II）設(shè)過竹的直線/與C的左、右兩支分別相交于A,B兩點，且|4川= |Bf 證明:陰卜阿I成等比數(shù)列.2 2解：（I）由題設(shè)知£二即匚工二9,故b2=8a2 匕a2由題謖知，2所以C的方程為8x2-y2=8a2將嚴(yán)2代入上式，并求得滬土a?'逅，解得a'=l所以a=l.、b=2返（H）由（I ）知h（-3，0），F(xiàn)2（3, 0），（:的方程為8x2-y2=8 由題意，可謖1的方程為尸

2、k （工-3），k V2返代入并化簡得（k2-S） x-6k2x-9k2+S=0 i殳A (：i ? yi ) 、B ( X2 冗)5貝 1召 <一1，X2>1 巧+戈2=弩、X*2= '于是 書_8薩_8AFi =、（工 1+3）2+）訂 2 =、（一3）2+8羽 2_滬_ （ 3m十 1，BFi 彳（工2十3卩寸2 2 = （%2一3）2十8口2_8=弘2“， j AFi = BFi 得一（3巧1） =3x2+L，即X十乂2=一扌 故光 =|,無打=”從而xlx2=-= 由于 1AF2 二、伍i_32寸 1 2=、仗_3）2+冬2_薩3*1，sf2 =J(x2-3)22

3、 2 = J(x2-3)2+8jc2 2-S=3x2-故 AB = AF2I -| BF2 =2-3 (xi七2)=i, IAF2 BF2 =3 (xi+x.2)-9xiX2"l=16因而我氏 = AB|2,所以AF2 AB x 3F2成等比敎列2 如圖，已知曲線c1：-r = 1,曲線q：iyi=ixi+if是平面上一點，若存在過點p的直線2與cpc2都有公共點，則稱P為GC2型點"（1）在正確證明G的左焦點是“GC2型點時，要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；設(shè)直線y =也與C2有公共點，求證I k 1> 1，進(jìn)而證明原點不是GC2

4、型點勺（2）證明；因為宜線y=k>:C2有公共點，所以方程組卩"有實教解，因itE kx = X T，m|Ar|= >1.Im十i區(qū)若原點是"Ci-C2型點外，則存在過原點的直線與C“C2祁有公共點考慮過原點與C2有公共點的直線滬0或尸庶（|k|>l）顯然直線滬0與G無公共點如果直線為y=k>； （ k >1） 則由方程組（乂2，得以=<0,矛盾.-vz=l1_2芒2所以直ty=kx （ k： >1 ） Cj也無公共點.因此原點不是"Ci-C2型點卯因為1與&由公共點，所以方程組<y = kxb有實數(shù)解,（3

5、）證明：記圓S兀2十歹2 = £,取圓0內(nèi)的一點Q，設(shè)有經(jīng)過Q的直線1與C2都有公共點，顯然1 不與工軸垂直、故可設(shè)1 : y=kx-b若；k <1.由于圓0夾在兩組平行線y=x ± 1與尸-注1之間，因此圓0也夾在直線y=kx±ly=-kx±l 之間，從而過Q且以k為斜率的直線1與G無公共點，矛盾，所以k >1.得(1-21?) x2-4kbx-2b2-2=0 因為k1，所以1-21?知，因 1 比二(4kb) 2-4 ( l-2k2) (-2b2-2) =8 (b2-l-2k2) >0, 即b2>2k2-l .b因為區(qū)10的圓

6、心(0，0)到直線1的距離d= 所以二=護(hù)<£,從而仝丄泌曲卩1，得k2<!，與k >1矛盾. 1+P22因此，圓十尹2 = g內(nèi)的點不是“Cl-c2型點"、B是雙曲線x2-y=l上的兩點，點N（l,2）是線段AB的中點（1）求宜線AB的方程：（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓為什么故直線注的方程為y=x-l .（7分】（3 ）假設(shè)A四點共區(qū),且團(tuán)心對PV ABjIDP的弦，所以圍心P在貞B(tài)垂直平分線CD上，又CD為區(qū)1P的弦且垂肓平分AB，區(qū)1心P為CD中點M -（ &分）下面只需證CD的中點X

7、満足MA i = MB MC l = |MI）艮卩可由 2 V2 ，得：A « -L，0，B < 3 > 4（9 分X_r二 12由< 1 >得直絨CD方程：y=-x-3 *（10分，得：C-3 + 2卜，6-2逅，D （-3-2辰 6+2匹）（L1 分）I 2CD的中點H （-3,6 CL2分- MA =（4十36 = 2帀，|近=（30_4 = 2帀, =羽0-20=2顧，1 = 2020= 210（13 分 MA = M5' = MC = MD，即A*D四點在以點H（-3, 6）為圓心，2帀藥半徑的區(qū)上.（14分）n 2(201】秋余姚市松纟及匪

8、中)己知斜率為啲直線1與雙曲纟扛：咯咅=l(a>0, D>0)相交于沐：)兩 /護(hù)為且BD的中點為M (1> 3)< 1)求C的離心率:(II)設(shè)C的右頂點為釘右焦點為F，DF BF =17,證明：過茲Bs D三點的圓芍注由相切.故尸啟+識=2一C的離心率e=£=2a(II )由©知，C的萬程為：3x2-y2=3a2. A (a，0，F(xiàn) (2a，0)，XI十兀2 = 2, X1X2 =歆不C-a 豈>2阿二1-2a)2+y 12 = kN 1, FD =J(x2-2)2+y22 = 2x2-BF FD = ( a-2ii) (2x2a) =-4

9、xi>：2+2a (xtX2)-a"=5ax+4a-8.9第得齊1,或dz=-4故 |BD| 二口 R1-X2I2IBF FD|=17,故5界十4"8=17(舍去)9=只|(攵1+無2)"-4xix2=6,連按YA，則由A <1，0) . M <1，3)MA|=3,從而MA=MB=MDj且HA丄m軸.因此以H為圓心，MR.為半徑的圓經(jīng)過A、B、D三點，且在點人處與:匚軸相切, 所以過A，3> D三點的團(tuán)與艾軸相切.(2010-LU)如圖，已狎衲圈匚-4=1(a>b>0)的會心率為號，以i亥 橢圜上的點和旃圜的左、右焦點F-巳為頂

10、點的三角形的周長為厶1), 一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該狀曲線上異于頂點的 任一鈦 直線PI和PF占桶園的交點分別為A、BfQC. D<I)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程j(II)設(shè)宜線PF仆PF2的斜率弁別為k2,證明krk2=i5 <H)此小題僅理科骸是否存在常數(shù)入，使得A3 7cD：MA3 CD恒成立？若存在，求人的值；若不存在，請說明理由.【解答】解：(I)由題意知，橢圓離心率為£=拳，a 2得。=返宀 又2a-2c=4(j2-l),所以可解得。=2返，c=2,所以b2=a2-c2=4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為丘疋=1；84所以橢圓的焦點坐標(biāo)為(±2

11、, 0)，因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二=144(II )設(shè)點P (x0> yo)，貝牡仔上一，k2二丄一， X0+2X0-2 yo VO VO2上1 k2= r=，xo+2xo-2 xq2_4又點P(血，70 >在改曲線上，竺:竺=1，即列匸亠4，44x0'-4(III)假設(shè)存在常數(shù)入，使得得IAB + CD!=X：AB CD|恒成立，則由(II)知k宀2=1，設(shè)直線AB的方程為y=k (x+2)，則直線CD的方程為(x-2)， ky = k("2)由方程組 22_ 消y得:2_ 184(2k2-l ) x2+8k2x+8k2-8=0,設(shè)A ( Xi 9 和)9