普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

1、2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)卷）第卷一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)集合M， x | x23x20，則MN( )0,1,2 NA 1B 2C 0,1D 1,22設(shè)復(fù)數(shù) z1 , z2 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z12i ，則 z1z2 （）A 5B 5C 4 iD 4 i3設(shè)向量 a, b 滿足 | ab |10 ， | ab |6 ，則 a b()A 1B 2C 3D 54鈍角三角形 ABC 的面積是1，AB1， BC2，則 AC( )2A 5B 5C2D 15某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，

2、一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是075 ，連續(xù)兩天優(yōu)良的概率是 06，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A 08B 075C 06D 0456如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示 1cm）, 圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為 6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）A 17B 5C 10D 12792737執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x, t均為 2，則輸出的S（）開始輸入x ，tM1，S 3k1是否是kt否MM x輸出 SkSMS結(jié)束kk1A4B5C6D78設(shè)曲線 yax ln( x 1) 在點(diǎn)

3、(0,0) 處的切線方程為y2x ，則 a（）A0B1C2D3xy 70,9設(shè) x, y 滿足約束條件x3 y10, 則 z 2xy 的最大值為（）3x y50.A 10B8C3D 210設(shè) F 為拋物線 C : y23x 的焦點(diǎn)，過 F 且傾斜角為30 的直線交 C 于 A,B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB 的面積為（）A3 3B93C 63D 94832411直三棱柱ABC A1B1C1BCA 90M , NA1B1, AC中，分別是1 1 的中點(diǎn)，BC CACC1 ，則 BM 與AN 所成的角的余弦值為（）A 1B 2C30D210510212設(shè)函數(shù) f ( x)3 sinx 若存在

4、 f ( x) 的極值點(diǎn) x0滿足 x2 f ( x )2m2，則 m 的取值m00范圍是（）A,66,B,44,C,22,D,14,第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第 13 題 第 21 題為必考題 ，每個(gè)試題考生必須做答第22 題 第 24 題為選考題 ，考生根據(jù)要求做答二填空題13 ( x a)10 的展開式中， x7的系數(shù)為15，則 a_( 用數(shù)字填寫答案 )14函數(shù) f (x)sin( x 2 )2sincos( x) 的最大值為 _15已知偶函數(shù)f ( x) 在 0,) 單調(diào)遞減， f (2)0 若 f ( x1) 0 ，則 x 的取值范圍是_ 16設(shè)點(diǎn) M (x0 ,1)，若在圓

5、 O : x2y21上存在點(diǎn) N ，使得OMN 45，則 x0 的取值范圍是 _三 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分12 分）已知數(shù)列 a 滿足a1a3a1n1，n 1n（）證明 an1 是等比數(shù)列，并求 an 的通項(xiàng)公式；2（）證明：1113a1a2an218（本小題滿分 12 分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面 ABCD為矩形， PA平面 ABCD， E為 PD的中點(diǎn)（）證明：PB平面 AEC ；（）設(shè)二面角 DAEC 為 60°， AP1 ， AD3 ，求三棱錐 E ACD 的體積19 （本小題滿分12 分）某地區(qū)2007 年至 2013 年農(nóng)村

6、居民家庭純收入y （單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份年份代號(hào)人均純收入y20072008200920102011201220131234567293 33 64 44 85259（）求y 關(guān)于的線性回歸方程；（）利用（）中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：nti tyiy?bi 1，?nybtti2ati 120（本小題滿分 12 分）設(shè) F1 , F2 分別是橢圓 x2y21（ ab 0 ）的左右焦點(diǎn)，a2b2上一點(diǎn)且 MF2 與 x 軸垂直，

7、直線MF1 與 C的另一個(gè)交點(diǎn)為N（）若直線MN的斜率為 3，求 C 的離心率；4（）若直線MN在 y 軸上的截距為2，且 |MN |5| F1 N |，求 a,b 21（本小題滿分12 分）已知函數(shù)f ( x)exe x2x 。（）討論f (x) 的單調(diào)性；（）設(shè) g( x)f (2 x)4bf ( x) ，當(dāng) x 0時(shí)， g x0 , 求b 的最大值；（）已知1.4142 21.4143，估計(jì) ln 2的近似值（精確到0.001 ）。22（本小題滿分10）選修 4 1：幾何證明選講如圖，P 是O外一點(diǎn)， PA 是切線， A 為切點(diǎn)， 割線 PBC與O相交于點(diǎn) B，C，PCD 為 PC的中點(diǎn)

8、， AD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn) E證明：（） BEEC；（） AD DE2PB2 。M是 C2PA ，23 （本小題滿分10）選修 4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C 的極坐標(biāo)方程為2cos，0,2（）求 C 的參數(shù)方程；（）設(shè)點(diǎn)D 在 C 上， C在 D 處的切線與直線l : y3x2 垂直，根據(jù)（）中你得到的參數(shù)方程，確定D 的坐標(biāo)24（本小題滿分10）選修 4-5 ：不等式選講設(shè)函數(shù)f ( x)| x1| xa |（ a0）。a（）證明：f ( x)2 ；（）若f (3)5，求a 的取值范圍參考答案一、選擇題1 D解析 1：直接

9、檢驗(yàn)法把M0,1,2x23x 2 0，經(jīng)檢驗(yàn) x 1,2 滿足。中的數(shù)，代入不等式解析 2：把 0， 1， 2 代人 x23x 20 驗(yàn)證，只有1， 2 滿足不等式，故選 D.考點(diǎn)：考查集合與一元二次不等式的知識(shí)，簡(jiǎn)單題.2 A.解析：z12i與 z2關(guān)于虛軸對(duì)稱，z22i z1z2(2i)( 2i)5 ，故選 A.解析2：考察復(fù)平面坐標(biāo)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，z1 2 i 對(duì)應(yīng)點(diǎn) (2,1) 關(guān)于虛軸（ y 軸）對(duì)稱點(diǎn)為 (2,1) ，因此 z22 i, z1 z2i 245考點(diǎn)：考查復(fù)數(shù)的基本知識(shí)，簡(jiǎn)單題.3 A.解析：| ab |10,| ab |6a22abb210, a22ab b264a

10、b4a b1，故選 A.222解 析 2 ： 考 察 向 量 的 運(yùn) 算 ， 是 課 本 上 的 原 型 ， a ba 2a b b 10 （ 1 ） 同 理 有2226 （ 2）， (1)-(2)= 4a b4 即 a b1a ba2a b b考點(diǎn)：考查平面向量的數(shù)量積，中等題.4 B.解析 1： ABC面積為1， AB1,BC22 1 1 2 sin B1sin B2B45 ,135222當(dāng) B=45°時(shí)，AC2AB2BC 22 AB BC cos4512 2 1221 AC12此時(shí)， AC=AB=1,故 A=90°，這與 ABC為鈍角三角形矛盾.當(dāng) B=135

11、6;時(shí)，AC 2AB2BC 22ABBC cos135122 1225AC5 ，故選 B.22：因?yàn)?S ABC1121sin B12，所以B，或 B3解析ac sin B，所以 sin B。222244當(dāng) B時(shí)，經(jīng)計(jì)算ABC 為等腰直角三角形，不符合題意，舍去。43，使用余弦定理，得 b2a2c22ac cosB5 。所以B4解 析3：考察三角形面積公式與余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用， S1 ABBCsin ABC1 則 有22s i n ABC2，因此當(dāng)ABC時(shí) AC2AB2BC 22 AB BC cosABC1，AC=1 注意此時(shí)243為等腰直角三角形不合題意舍去，當(dāng)ABC時(shí)4AC 2AB2BC

12、22AB BC cosABC5 ， AC5 （大邊對(duì)大角）滿足條件考點(diǎn)：考查正余弦定理的應(yīng)用，中等題.5 A.解析 1：設(shè)第 i 天空氣優(yōu)良記著事件Ai ，則 P(A i )0.75,P(A iA i 1)0.6(i1,2,) ,第 1 天空氣優(yōu)良，第2 天空氣也優(yōu)良這個(gè)事件的概率為P( A1 A2) 0.60.8，故選 A.P( A2 | A1)P(A1)0.75解析 2：考察獨(dú)立事件的概率乘法，設(shè)某一天空氣優(yōu)良為事件A, 后一天空氣優(yōu)良概B ，則根據(jù)概率乘法有連續(xù)兩天空氣優(yōu)良 P( AB )P( A) P( B) ，得 P( B) 0.8考點(diǎn)：考查條件概率的概率，簡(jiǎn)單題.6 C.解析 1：

13、毛胚的體積V32 654制成品的體積 V1322224 34切削掉的體積與毛胚體積之比為：1 V113410，故選 C.V5427解析 2：因?yàn)榧庸で暗牧慵霃綖?，高為6，所以體積 v19 654。因?yàn)榧庸ず蟮牧慵蟀氩糠譃樾A柱，半徑2，高為 4，右半部分為大圓柱，半徑為3，高為 2，所以體積 v244 9234。所以，削掉部分的體積與原體積之比等于54341054。27解析 3：三視圖，注意三視圖位置為（正，側(cè)，俯）由圖可以看出相當(dāng)于一個(gè)平躺的圓柱（底面圓的半徑為 3，高為6）外側(cè)消掉一部分（剩余部分小圓柱底面半徑為2，高為 4，大圓柱底面半徑為3，高為 2）V原54 ，剩余部分體積為

14、V剩161834V削2010則原毛坯的體積為，因此5427V毛考點(diǎn)：考查三視圖于空間幾何體的體積，中等題.7 D.解析 1：第 1 次循環(huán)， M1 22， S235， k2 ；1第2次循環(huán)， M222 ， S257 ， k3。2退出循環(huán)， S 7。解析 2：簡(jiǎn)單的程序框圖，但由于變量涉及到5 個(gè)，容易出錯(cuò)，同時(shí)一定要注意每一步執(zhí)行的順序根據(jù)流程圖模擬運(yùn)算有第一次結(jié)果M2, S5, k2 ，第二次結(jié)果 M2, S7, k3，此時(shí) kt 不成立退出循環(huán)，輸出 S 7考點(diǎn)：考查算法的基本知識(shí)，簡(jiǎn)單題.8 D.解析 1：考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y 'a1, y '(0)a1 2

15、, a3x1解析 2：因?yàn)榍€ yaxln( x1)在點(diǎn) (0,0)處的切線方程為 y2 x ，又因?yàn)?y1a1x所以 y |x 0a12，解得 a3 ，故選 D.10考點(diǎn)：考查導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，中等題.9 B解析1：考察線性規(guī)劃問題，通過對(duì)應(yīng)方程兩兩聯(lián)立得交點(diǎn)分別為(5, 2)，(3, 4)，（ 1,2）經(jīng)檢驗(yàn)都在可行域內(nèi)，因此x5, y2, zmax8解析 2：畫出可行域，如右圖：可行域?yàn)锳BC ，計(jì)算得：A(3, 4) ， B(5, 2) ， C (2,1) 。因?yàn)椋簔( A)2342，z( B)2528，z(C )2213，所以 z 2xy 的最大值為 8xy70解析 3：作出 x ，

16、y 滿足約束條件 x3y10 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分： 做出目標(biāo)函數(shù)3xy50l0 ：yl 2Ax 3y 1 0C1BO2xl0l1xy703xy50y2x ， y2xz ，當(dāng) y2xz 的截距最小時(shí)， z 有最大值。當(dāng) y2xz經(jīng)過 C 點(diǎn)時(shí)， z 有最大值。由 x3 y 10得： C (5, 2)xy70此時(shí)： z有最大值2 5 28，故選 B解析 4：作圖即可 .考點(diǎn)：考查二元一次不等式組的應(yīng)用，中等題.10 D解析 1： y23x拋物線 C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：F ( 3,0 )43)所以直線 AB的方程為： ytan 30 (x4y3 (x3)故34y23x從而 16x2168x 90

17、x1x22132弦長(zhǎng) |AB|=x1x2122又 O點(diǎn)到直線 AB : 4x43y30 的距離 d=3342(43) 28 SOAB11239,故選 D.284解析 2：過點(diǎn) F ( 3 ,0) 且傾斜角為30 的直線 AB 的方程為 y3 (x3) 。434由 y3 (x3) ，得 x3 y3，將 x3 y3代入 y23x ，消去 x ，整理得 y233 y90 。34444由弦長(zhǎng)公式得， | AB |11( y1y2 )24 y1 y212 。k 2直線 AB 的一般式方程為43x12 y3 30 ，原點(diǎn) O 到直線 AB 的距離 d| 33 |3 。481448S ABC13129。28

18、4解析3 ：考察拋物線的定義及三角形面積，由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F (3 ,0) ，因此AB直線方程為4y3(x3),即4 x4 3y 30 ，與拋物線方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得：聯(lián)立方程得：4y2123y90 ，34因 此21139yAyB( yA)yB同 時(shí)SOABO F yAyB6或 者 有4 yA yB 64224x221 x90, xA xB21又根據(jù)拋物線的定義有ABxAxB p21312 ，同時(shí)根據(jù)原點(diǎn)216222到直線距離有高為h33 ，因此 S OAB1 AB h9( 4423)2 824解析 4： F ( 3 ,0) ，設(shè) A(x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，直線 AB

19、的方程為 y3 (x3 ) ，代入拋物線434方程得： x221x90 ， x1x221 ， x1x29216216由弦長(zhǎng)公式得 | AB |(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 12|30 03 |3由點(diǎn)到直線的距離公式得： O 到直線 AB 的距離 d343 ) 28( 1)23SOAB 11239284考點(diǎn)：綜合考查拋物線的知識(shí)，弦長(zhǎng)計(jì)算與分析直線和圓錐曲線位置關(guān)系的能力，難度為困難題.11 C.解析 1：設(shè) AC=2，BCCACC12A(2,0,0), N (1,0,2), B(0,2,0), M (1,1,2)BM(1, 1,2), AN( 1,2,0)cosAN BM333

20、0AN, BM6 53010|AN| | BM |解析 2： C故選 C.分別以 C1B1 , C1 A1 ,C1C 為 x, y, z 軸，建立直角坐標(biāo)系。不妨設(shè) BCCACC12，則 A(0,2,2) ， B(2,0,2) ， M (1,1,0) ， N (0,1,0) ，所以 BM( 1,1, 2) ，AN(0, 1, 2)。cosBM,ANBM AN0 1430 。|BM | |AN|6510解析 3：考察異面直線夾角問題，取 BC 中點(diǎn) D ，連結(jié) MN,ND ，由于 MN / / 1 BC / /B1C1 因此有 ND / /BM ，2則 ND 與 NA 所成夾角即為異面直線 BN

21、 與 AN 夾角，設(shè)BC2，則BM ND6,AN5, AD5 ，因此 cosANDND 2NA2AD 2302ND NA10解析 4：如圖所示，取 BC 的中點(diǎn) P ，連結(jié) NP 、 APCPBAC1NB1MA1M，N分別是A1B1， AC11 的中點(diǎn)，四邊形 NMBP 為平行四邊形， BMPN所求角的余弦值等于ANP 的余弦值不妨令 BC CA CC12，則 AN AP5|AN|2| NP|2|AP|2( 5)2( 6)2( 5)230N P M B 6 ， cos ANP256102 |AN| |NP|考點(diǎn)：考查空間夾角問題.中等題 .12 C.解析 1：f ( x)3 sinxf( x)

22、3cos xmmm令f()0cosx0xk(kZ)xmm2 x(2k1)m ，即 f (x) 的極值點(diǎn) x0(2 k1) m ( k Z)22存在 f ( x) 的極值點(diǎn) x0 ，滿足 x02f (x0 ) 2m2(2k1) m 23 sin 2x0m22m又 sin 2x0sin 2 (m(2 k1) m )sin 2 2ksin 2 ( k)1m222存在 kZ ，使得 (2 k1) m 23m22存在 kZ ,使得 31(2k1) 2m24 31(2 k1)2max113| m |2，故選 C.m2444解析2：考察三角函數(shù)的性質(zhì)及特稱命題與全稱命題（正難則反）轉(zhuǎn)化，以及關(guān)于不等式恒成立

23、問題f (x)3sin(x) 的極值點(diǎn)即為三角型函數(shù)的最高或者最低點(diǎn)處的橫坐標(biāo)，由三角形性質(zhì)可知2mT2m ，因此 x0mkm(kZ ) ,假設(shè)不存在這樣的x0，即對(duì)任意的 x0 都有 x02 f (x0 )2m2 ，m2則 (mkm)23m2m2( k2k33 0恒 成 立 ， 即 k2332， 整 理 得 ： f (m)km2 ，344f (k ) kk最小值為(k1或 0）2m 2因此原特稱命題成立的條件是m 223，44解析 3： f '( x)3cos x ，令 f '( x)3cosx0 得： xm( 1k) kZmmmm2 x0m( 1k) kZ ，又 x02 f

24、 ( x0 )2m2 ， m2 ( 1k )2 3 sin(k ) 2m2222即：3m21( 1k)2 ， 1( 1k )20 ，故： k022 3m21( 1)2 ，即： m24 ，故： m2 或 m22考點(diǎn)：考查導(dǎo)數(shù)與極值，三角函數(shù)，不等式的知識(shí)，為困難題.二、填空題13 12解析：( x a)10 展開式的通項(xiàng)為 Tr 1C10r x10r ar (r0,1, ,10) ( x a)10 展開式中 x7 的系數(shù)為 C103 a315a12考點(diǎn)：考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，簡(jiǎn)單題.14 1解析 1：f (x) sin( x 2 )2sin cos(x)sin( x)coscos(x)sin

25、2sin cos(x )sin( x)cossincos(x)sin xf (x)sin x 的最大值為 1.解 析2 ： 考 察 兩 角 和 差 的 正弦 公 式 ， 注 意 角 的 拆分 f ( x) sin( x) 2sin cos(x ) ， 又f ( x)sin( x)sin(x) coscos(x)，si因此 f ( x) sin( x)coscos(x)sinsin x 即最大值為 1考點(diǎn)：本題考查和差角公式，為中等題.15 ( 1,3)解析 1：考察偶函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相反，數(shù)形結(jié)合易得2x12, 1x3解析 2：作出函數(shù)f ( x) 的示意圖，如圖所示因?yàn)?f ( x 1) 02 x 1 21 x 3解析 3：特殊化，數(shù)形結(jié)合因?yàn)榕己瘮?shù) f x在 0,單調(diào)遞減，f 2 0 ，所以不妨畫出圖像如下：函數(shù) f ( x1) 的圖像為：由圖可知，不等式f (x1)0 的解集為 ( 1,3) ?？键c(diǎn)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性. 簡(jiǎn)單題.16 1,1解析1：數(shù)形結(jié)合，當(dāng)M (1,1)時(shí)，恰好存在圓上（0,1）（ 1,0）兩個(gè)點(diǎn)使得，OMN45結(jié)合圖像，當(dāng)M 繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，與圓上任意一點(diǎn)形成的夾角都小于45 度，再結(jié)合對(duì)稱性可得x0 范圍在 1,11k1| x0解析 2：直線 OM