三角網(wǎng)條件平差計(jì)算

1、§3-4三角網(wǎng)條件平差計(jì)算2學(xué)時(shí)三角網(wǎng)測(cè)量的目的，是通過(guò)觀測(cè)三角形的各角度或邊長(zhǎng)，計(jì)算三角網(wǎng)中各未 知點(diǎn)的坐標(biāo)、邊的長(zhǎng)度及方位角等。三角網(wǎng)按條件平差計(jì)算時(shí)，首要的問(wèn)題是列 出條件方程。因此了解三角網(wǎng)的構(gòu)成，總結(jié)其條件方程的種類及各種條件方程的 組成規(guī)律是十分重要的。三角網(wǎng)的種類比較多，網(wǎng)的布設(shè)形式也比較復(fù)雜。根據(jù)觀測(cè)內(nèi)容的不同，有 測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角同測(cè)網(wǎng)等；根據(jù)網(wǎng)中起始數(shù)據(jù)的多少，有自由三角網(wǎng)和非 自由三角網(wǎng)。自由三角網(wǎng)是指僅具有必要起算數(shù)據(jù)的三角網(wǎng)，網(wǎng)中沒(méi)有多余的已知數(shù)據(jù)。如果測(cè)角三角網(wǎng)中，只有兩個(gè)已知點(diǎn)（或者已知一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)、一 條已知邊的長(zhǎng)度和一個(gè)已知的方位角），根據(jù)數(shù)

2、學(xué)理論，以這兩個(gè)已知點(diǎn)為起算 數(shù)據(jù)，再結(jié)合必要的角度測(cè)量值，就能夠解算出網(wǎng)中所有未知點(diǎn)的坐標(biāo)。 如果三 角網(wǎng)中除了必要的起算數(shù)據(jù)外還有其它的已知數(shù)據(jù)，或者說(shuō)已知數(shù)據(jù)有冗余，就會(huì)增加對(duì)網(wǎng)形的約束，從而增強(qiáng)其可靠性，這種三角網(wǎng)稱之為非自由三角網(wǎng)。 無(wú) 論多么復(fù)雜的三角網(wǎng)，都是由單三角形、大地四邊形和中點(diǎn)多邊形組合而成的。在本節(jié)，我們先討論三角網(wǎng)條件平差中條件方程個(gè)數(shù)的確定問(wèn)題，然后主要討論測(cè)角三角網(wǎng)的條件方程的形式問(wèn)題。一、網(wǎng)中條件方程的個(gè)數(shù)三角網(wǎng)平差的目的，是要確定三角點(diǎn)在平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)最或然值。 如圖 3-9所示，根據(jù)前面學(xué)到的測(cè)量基礎(chǔ)知識(shí)，我們知道，必須事先知道三角網(wǎng)中的 四個(gè)數(shù)據(jù)，如兩

3、個(gè)三角點(diǎn)的4個(gè)坐標(biāo)值，或者一個(gè)三角點(diǎn)的2個(gè)坐標(biāo)值、一條邊 的長(zhǎng)度和一個(gè)方位角，這4個(gè)已知數(shù)據(jù)我們稱之為三角網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)。 有了 必要起算數(shù)據(jù)，就可以確定三角網(wǎng)在平面坐標(biāo)系中的位置、網(wǎng)的大小及其方位， 就可以計(jì)算三角網(wǎng)中未知點(diǎn)的坐標(biāo)。要對(duì)三角網(wǎng)進(jìn)行平差計(jì)算，還必須先知道網(wǎng)中的總觀測(cè)數(shù) n、判定必要觀測(cè) 數(shù)t,從而確定了多余觀測(cè)數(shù)：r = n - t由條件平差原理知，多余觀測(cè)數(shù)與條件方程數(shù)是相等的，有了多余觀測(cè)數(shù)， 也就確定出了條件方程的個(gè)數(shù)。因此，問(wèn)題的關(guān)鍵是判定必要觀測(cè)數(shù)to1.網(wǎng)中有2個(gè)或2個(gè)以上已知點(diǎn)的情況三角網(wǎng)中有2個(gè)或2個(gè)以上已知三角點(diǎn)，就一定具備了 4個(gè)必要起算數(shù)據(jù)。 無(wú)論是測(cè)角

4、網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)還是邊角同測(cè)網(wǎng)，如果有2個(gè)已知點(diǎn)相鄰，要確定一個(gè)未 知點(diǎn)的坐標(biāo)，需要觀測(cè)兩個(gè)觀測(cè)值(2個(gè)角，或者1條邊和1個(gè)角，或者2條邊)。 也就是說(shuō)，確定1個(gè)未知點(diǎn)要有2個(gè)必要觀測(cè)值；那么如果網(wǎng)中有 p個(gè)未知點(diǎn)， 必要觀測(cè)數(shù)應(yīng)等于未知點(diǎn)個(gè)數(shù)的兩倍。t = 2 p(3-4-1)(1)測(cè)角網(wǎng)圖3-9所示，三角網(wǎng)中有2個(gè)已知點(diǎn)，待定點(diǎn)個(gè)數(shù)為p = 6。如果三角網(wǎng)中 觀測(cè)量全部是角度時(shí)。總觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n = 23必要觀測(cè)數(shù)：t = 2 p =12則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)：r = n - t = 11(2)測(cè)邊網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中觀測(cè)量全部是邊的長(zhǎng)度時(shí)：總觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n = 14必要觀

5、測(cè)數(shù)：t = 2 p =12則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)：r=n - t = 2(3)邊角同測(cè)網(wǎng)在圖3-9中，如果三角網(wǎng)中的所有的角度值和所有的邊長(zhǎng)值都進(jìn)行觀測(cè)時(shí)：總觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n = 37必要觀測(cè)數(shù)：t = 2 p =12則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)：r = n - t = 252.網(wǎng)中已知點(diǎn)少于2個(gè)的情況有些情況下，三角網(wǎng)中已知點(diǎn)可能少于 2個(gè)，只有1個(gè)已知點(diǎn)、1個(gè)已知邊 和1個(gè)已知方位角，或者沒(méi)有已知點(diǎn)和已知方位角只有 1個(gè)已知邊。但是，不管 怎樣說(shuō)，1條已知邊是必須已知的，或者需要進(jìn)行觀測(cè)的。如果沒(méi)有已知點(diǎn)，可 以假定網(wǎng)中的1個(gè)未知點(diǎn)；如果沒(méi)有已知方位角，可以取網(wǎng)中的1

6、個(gè)方向的方位 角為某一假定值。這樣也就間接地等價(jià)于網(wǎng)中有2個(gè)相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)是已知的。(1)測(cè)角網(wǎng)三角網(wǎng)中共有p個(gè)三角點(diǎn)、1個(gè)已知方位角(也可以沒(méi)有)、1個(gè)已知點(diǎn)(也 可以沒(méi)有已知點(diǎn))和1個(gè)已知邊長(zhǎng)S (或者也是觀測(cè)得到的)，并觀測(cè)了所有的 角度。如果已知點(diǎn)和已知方位角都沒(méi)有，就要進(jìn)行必要的假設(shè)。則在進(jìn)行條件平 差時(shí)，必要觀測(cè)數(shù)為：t = 2 ( p - 2)(3-4-2)如圖3-10所示，三角網(wǎng)中觀測(cè)了所有角度值(如果沒(méi)有已知邊時(shí)，也觀測(cè)1 條邊長(zhǎng)作為起算數(shù)據(jù))。網(wǎng)中三角點(diǎn)個(gè)數(shù)：p = 6角度觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n = 12必要觀測(cè)數(shù)：t = 2 ( p - 2) = 8則多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程

7、個(gè)數(shù)：r=n - t = 4(2)測(cè)邊網(wǎng)或邊角同測(cè)網(wǎng)若三角網(wǎng)中，共有p個(gè)三角點(diǎn)和1個(gè)已知點(diǎn)(或者也是假定的)，并對(duì)所有的邊長(zhǎng)，或者角度和邊長(zhǎng)進(jìn)行了觀測(cè)，觀測(cè)值總個(gè)數(shù)為n0在進(jìn)行條件平差時(shí)，由于要加上必須的起算邊長(zhǎng)，則必要觀測(cè)(邊或者邊和角)的個(gè)數(shù)為t = 2 ( p 2)+1(3-4-3)如圖3-10所示，網(wǎng)中三角點(diǎn)個(gè)數(shù)：p = 6如果是測(cè)邊網(wǎng)，則總觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n = 9必要觀測(cè)數(shù)：t = 2 ( p - 2) +1=9多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差條件方程個(gè)數(shù)：r=n - t = 0如果是邊角同測(cè)網(wǎng)，則總觀測(cè)值個(gè)數(shù)：n = 21必要觀測(cè)數(shù)：t = 2 ( p - 2) +1=9多余觀測(cè)數(shù)，即條件平差

8、條件方程個(gè)數(shù)：r = n - t = 12以上我們僅對(duì)幾種三角網(wǎng)，討論了條件平差時(shí)必要觀測(cè)數(shù)及多余觀測(cè)數(shù)和條 件平差方程數(shù)的確定方法，還有很多情況沒(méi)有涉及到。在實(shí)際平差計(jì)算中，應(yīng)針 對(duì)不同情況進(jìn)行具體分析。二、條件方程的形式三角網(wǎng)中的條件方程主要有以下幾種形式：1 .圖形條件方程圖形條件，又叫三角形內(nèi)角和條件，或三角形閉合差條件。在三角網(wǎng)中，一 般對(duì)三角形的每個(gè)內(nèi)角都進(jìn)行了觀測(cè)。根據(jù)平面幾何知識(shí)，三角形的三個(gè)內(nèi)角的平差值的和應(yīng)為180?,如圖3-12中的三角形ABP,其內(nèi)角平差值的和應(yīng)滿足下 述關(guān)系：L?1 L?2 L?3 1800(3-4-4)此即為三角形內(nèi)角和條件方程。由于三角形是組成三角

9、網(wǎng)的最基本的幾何圖 形，因此，通常稱三角形內(nèi)角和條件為 圖形條件。因此圖形條件也是三角網(wǎng)的最 基本、最常見(jiàn)的條件方程形式。與(3-4-4)式相對(duì)應(yīng)的改正數(shù)條件方程為v1 v2 v3 w 0(3-4-5)w (L1 L2 L3 180 )(3-4-6)2 .水平條件方程水平條件，又稱圓周條件，這種條件方程一般見(jiàn)于中點(diǎn)多邊形中。如圖3-12所示，在中點(diǎn)P上設(shè)觀測(cè)站時(shí)，周圍的五個(gè)角度都要觀測(cè)。這五個(gè)觀測(cè)值的平 差值之和應(yīng)等于360?,即公1?61?91?12虱 3600(3-4-7)相應(yīng)的改正數(shù)條件方程為v3v6v9v12v15 w 0(3-4-8)w (L3 L6 L9 L12 L15 360 )

10、(3-4-9)3 .極條件方程極條件是一種邊長(zhǎng)條件，一般見(jiàn)于中點(diǎn)多邊形和大地四邊形中。先看中點(diǎn)多邊形的情況。如圖3-12所示，中心P點(diǎn)為頂點(diǎn)，有五條邊，從其中任一條邊開(kāi) 始依次推算其它各邊的長(zhǎng)度，最后又回到起始邊，則起始邊長(zhǎng)度的平差值應(yīng)與推 算值的長(zhǎng)度相等。在圖3-12所示的三角網(wǎng)中，我們應(yīng)用正弦定理，以BP邊為起算邊，依次推算AP、EP、DP、CP,最后回到起算邊BP、，得到下式整理得(3-4-10)sin Lisin gsin gsin £0sinM3 singsingsin gsin?sin?(3-4-10)式即為平差值的極條件方程。為得到其改正數(shù)條件方程形式，可 用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)

11、上式左邊展開(kāi)并取至一次項(xiàng)：化簡(jiǎn)，即得極條件的改正數(shù)條件方程：ctgLiVi ctgL2V2 ctgL4V4 ctgL5V5 ctgL7V7 ctgLsVs(3-4-11)ctgLioVio ctgLnVn ctgL13V13 ctgL14V14 w 0sinL2 sin L5 sinL8sin L11sinL14w 12 58U竺(3-4-12)sinL1 sin L4 sinL7sin L10sinL13在大地四邊形中的極條件方程與中點(diǎn)多邊形稍有不同。如圖3-11所示，可以取D點(diǎn)為極點(diǎn)，以BD為起始邊，依次推算AD、CD再回到BD邊。仿照中 點(diǎn)多邊形的極條件方程，由正弦定理，得大地四邊形的極

12、條件平差值方程 整理得sinL2 sinL4sin(L7L8)1 0(3-4-13)sin I?1sin(l?3£)sinl?7相應(yīng)的改正數(shù)條件方程ctgLiVi ctgL2 V2 ctg(L3 L4W3 (ctgL4 ctg(L3 L4)v4(3-4-14)(ctg(L7 L8) ctgL7)v7 ctg (L7 LsM w 0(3-4-15)sinL1sin(L3L4) sin L7w 1 sin L2 sin L4 sin(L7 Ls)4 .方位角條件方程前面討論的三種條件方程在三角網(wǎng)中比較常見(jiàn)。 如果三角網(wǎng)中的起始數(shù)據(jù)有 了變化，起算數(shù)據(jù)不相鄰，或者已知數(shù)據(jù)有冗余，還會(huì)增加一

13、些限制條件，產(chǎn)生 其它類型的條件方程，如方位角條件方程、邊長(zhǎng)條件方程、坐標(biāo)條件方程等。這 些類型的條件方程常見(jiàn)于非自由三角網(wǎng)中。如圖3-13所示，為一個(gè)非自由三角網(wǎng)，有 4個(gè)已知點(diǎn)、2個(gè)未知點(diǎn)和12個(gè) 角度觀測(cè)值。必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t = 2%=4,多余觀測(cè)數(shù)r = n -t = 12 - 4 = 8,即共 有8個(gè)條件方程，其中圖形條件方程有 4個(gè)，沒(méi)有極條件，也沒(méi)有水平角條件， 那么另4個(gè)是什么類型的呢由于三角網(wǎng)中有 4個(gè)已知點(diǎn)，每個(gè)已知點(diǎn)有2個(gè)坐標(biāo) 值，共計(jì)8個(gè)已知數(shù)據(jù)，超過(guò)了 4個(gè)必要起算數(shù)據(jù)，從而產(chǎn)生4個(gè)冗余的已知數(shù) 據(jù)。這4個(gè)多余的已知數(shù)據(jù)必然會(huì)導(dǎo)致4個(gè)矛盾，進(jìn)而產(chǎn)生4個(gè)條件方程。方位角條

14、件，嚴(yán)格地說(shuō)是方位角附合條件，是指從一個(gè)已知方位角出發(fā)，推 算至另一個(gè)已知方位角后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。如從4個(gè)已知點(diǎn)可以反算出AB和EF兩邊的邊長(zhǎng)值和方位角值，這些值也 可看作是已知值，作為起算數(shù)據(jù)用。設(shè)AB邊的方位角Tab , EF邊的已知方位角為Tef。如果從AB向EF推算， 推算路線如圖中所示，設(shè)EF方位角的推算值的最或然值為TEf ,近似值為Tef。 則方位角附合條件方程為TEf Tef 0(3-4-16)其中代入(3-4-16)后，整理得其相應(yīng)的改正數(shù)條件方程v3 v6 v9 v12 wT 0(3-4-17)其中Wt( L3 L6 L9 L12 Tab Tef 3 180

15、)(3-4-18)5 .邊長(zhǎng)條件方程邊長(zhǎng)條件，嚴(yán)格地說(shuō)是邊長(zhǎng)附合條件，是指從一個(gè)已知邊長(zhǎng)出發(fā)，推算至另一個(gè) 已知邊長(zhǎng)后，所得推算值應(yīng)與原已知值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè)AB邊的已知長(zhǎng)度為Sab, EF邊的已知長(zhǎng)度為Sef 0如 果沿圖中所示的推算路線，從AB向EF推算，得EF邊長(zhǎng)推算值的最或然值為§ef, 近似值為Sef 0則邊長(zhǎng)附合條件方程為(3-4-20)取至一次項(xiàng)，整理后得其改正ctgLiVictgL2V2 ctgL4V4ctgL5V5ctgL7V7ctgL10V10 ctgLnVnwS0ctgL8 V88 8 (3-4-21)WsSEF sin L2 sin L5 sin

16、L8 sin L11SAB sin L1 sin L4 sin L7 sin L10(3-4-22)其中 將上式代入（3-4-19）式，并將邊長(zhǎng)條件整理為Sab sin L1 sin 2 sin l?7 sin g0SEF sin l?2 sin & sin & sin E仿照極條件式，將上式左邊用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi), 數(shù)條件方程：?EYe6 .坐標(biāo)條件方程坐標(biāo)條件方程，是指從一個(gè)已知點(diǎn)出發(fā)，推算至另一個(gè)已知點(diǎn)后，所得推算值應(yīng)與該點(diǎn)的已知坐標(biāo)值相等。圖3-13三角網(wǎng)中，設(shè)B點(diǎn)的已知坐標(biāo)為（砧，b） , E點(diǎn)的已知坐標(biāo)為（Xe ,Ye） o如果沿圖中所示的路線，從 B-C-E進(jìn)行推算，

17、得E點(diǎn)坐標(biāo)推算值的最或然值為（？E,y?E）,近似值為（XE ,yE）o則坐標(biāo)條件方程為XE(3-4-23)(3-4-24)XB?BC?CE XB SBC COSTBcSCE COSTAE(3-4-25)其中Sbc- sin l2SAB -sin L?2(3-4-26)Sce- sin L1 sin L?4 sin l?7 sin 以 sin L?2 sin l?5 sin 圖 sin E1(3-4-27)TBc Tab 也 180(3-4-28)TCeTabL6 l?9 E02 180(3-4-29)將上述(3-4-26) (3-4-29)式代入(3-4-25)式，然后用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),取至一

18、次項(xiàng)，整理后得：(XEXb )(ctgLiVi ctgL2V2) (XeXc)(ctgL4 V4 ctgL 5V5)(Xe(yEctgL11Vl1)(3-4-30)(yEyC )( v10)(Xe Xe )1000206.265(Xe Xe)(3-4-31)Xc)(ctgL7V7 ctgL8V8) (Xe Xc )(ctgL12V12yB)( V3) (yE yc)( V6) (yE yc)( V9)Wx0為不使閉合差項(xiàng)Wx過(guò)大，影響平差結(jié)果的精度，在計(jì)算坐標(biāo)條件方程時(shí)，可以考慮x、y以公里(km)為單位，而wx中的坐標(biāo)差項(xiàng)以米(m)為單位。即yc)(ctgL4V4 ctgL5 V5)同理可寫(xiě)

19、出橫坐標(biāo)改正數(shù)條件方程(Ye(XE(Ye yB)(ctgLM ctgL2V2) (Ye(3-4-32)(3-4-33)Yc)(ctgL7V7 ctgL8V8) (Ye Yc )(ctgL12V侵 ctgLnVn)XB)(V3)(XEXC)(V6)(XEXC)( V9)(XEXC )( V10)Wy 0其中Wy206.265( Ye Ye)坐標(biāo)附合條件方程，尤其是改正數(shù)條件方程，形式上雖然比較復(fù)雜，但也非常具有規(guī)律性。這一點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖 3-13認(rèn)真地分析，看能否總結(jié)出其概括形式。以上八種條件方程及其改正數(shù)條件方程的類型和形式，基本上涵蓋了測(cè)角型 三角網(wǎng)條件方程的基本形式。需要說(shuō)明的是，三角

20、網(wǎng)布設(shè)形式極其多樣，條件方 程的形式也較為繁雜，但關(guān)鍵是要掌握其基本形式，并能融會(huì)貫通靈活運(yùn)用。三、例題如圖3-14是一個(gè)三角網(wǎng)，A、B、E、F是已知點(diǎn)，C、D是待定點(diǎn)，等精度 觀測(cè)了所有內(nèi)角值，已知數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)如表 3-4所示。試列出用條件平差法時(shí) 的改正數(shù)條件方程。表3-4已知坐標(biāo)(m)已知方位角已知邊長(zhǎng)(m)BTab = 32?20 ' 14.9 sab= 2501.118ETef =Sef = 2582.529355?53' 42.6 角度觀測(cè)值例=46?21 ' 56.1q=74?59 ' 41.4份=58?38' 17.2 , =62?21 '42.4 仿=67?39 '43.6 仿=49?58 '38.9 例=58?03 ' 46.6衿 53?15 ' 16.1份=68?40 ' 54.3，1務(wù)=91?43 ' 54.0 力二47?21 ' 49.9主=40?54 ' 08.1 解：這是一個(gè)非自由測(cè)角三角網(wǎng)。觀測(cè)值總數(shù) n = 12必要觀測(cè)數(shù) t = 4多余觀測(cè)