三角恒等變換1

1、三角恒等變換就融追枝求源醺翱，猴翱（教師獨具）第四課三角恒等變換鞏固層知識整合D提升層題型探究(1)已知 sin = ,則 cos = ()【例1】A. B.一C.D.(2)4cos 500Tan 400 等蟲 )A.B.C.D. 2-1(3)已知 tan( a B)由nB= ，且 a, p (0 5兀)2 4 B 的值.(1)C (2)C (1)cos=cos= 1-2sin2=1-2X2(2)4cos 50° Tan 40°=-(3)解tan a = tan( a - p ) + p=> 0.而 a W (0,兀),. tan 50<3<%, , &l

2、t; p < 7t , .兀 v a p OiJiTu tan( a B ) =0 一兀 Va B< 一 ? ，- 2 a - 3 = a + ( a - 3 ) 0)(.兀)tan(2 a B ) = tan a + ( a p )三角函數(shù)的求值有三種類型：1給角求值：一般所給的角都是非特殊角，要觀察所給角與特 殊角之間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊 角的三角函數(shù)問題.2給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的 三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變角”，如：a = a + B 2,a + p + a 等.把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注 意角范圍的討

3、論3給值求角：實質(zhì)上是“給值求值”，一般規(guī)律是先求出待求角的 某一種三角函數(shù)值，然后確定所求角的范圍，最后求出角.選擇三角函數(shù)時盡量選擇給定區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)名稱，以便于角的 確定，例如，若所求角的范圍是I ,選擇求所求角的正弦或 余弦值均可；若所求角的范圍是 0,兀，選擇求所求角的余弦 值；若所求角的范圍為L二匚；，選擇求所求角的正弦值.1.已知一< x<0, sin x + cos x =.(1)求 sin 2x 和 cos x sin x 的值；(2)求的值.解(1)由 sin x + cos x =,平方得 1+sin 2x = ,所以 sin 2x=?因為一< x&l

4、t; 0 5所以 cos x >sin x ?所以 cos x sin x =.Q)=sin 2x ,=x =,例2三角函數(shù)式化簡化簡：(o< e <兀)； .思路點撥：(1)使用倍角公式化簡.(2)切化弦.解原式=因為o< e <兀，所以o<<,所以cos >0,所以原式=cos 0 .(2)原式=. 三角函數(shù)式的化簡要遵循“二看”原則1 一看“角”，一般化異角為同角，通過看角之間的差別與聯(lián)系， 把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；2二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，一般化異名為同名 從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”.3三看“結構

5、特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方 向，如“遇到分式要通分”等2 .化簡：.解原式=求證：tan2x + =.=2.【例3】 證明左邊=+=右邊.原式得證.1不附加條件的恒等式證明.,通過三角恒等變換，消除三角等式 兩端的差異.證明的一般思路是由繁到簡，如果兩邊都較繁，則 采用左右互推的思路，找一個橋梁過渡.2條件恒等式的證明.這類問題的解題思路是使用條件，或仔細探求所給條件與要證 明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，常用方法是代入法和消元法 .3,已知 sin(2 a + B 5sin B ,求證：2tan(認 + B3)an h.證明由條件得 sin( a + B ) + a = 5sin

6、( a + 3 ) a ,兩邊分別展開得sin( a + B )cos+ cos( a + B )sin =5sin( a + B )cos 5cos( a + B 網(wǎng)n整理得：4sin( a + B )cos= 6cos( a + B )sin兩邊同除以2C0S( a + B )C0S得:2tan( a + B 3tan 民.三角恒等變換的綜合一知識拓展提升思維能力應用【例 4】已知向量 a = (cos x, sin x), b = (3, ), xW0,兀.若a/ b,叔的值；(2)記f(x) = a b,求(x)的最大值和最小值以及對應的 x的值.思路點撥：(1)利用向量共線的坐標表示

7、求值；(2)利用向量數(shù)量積的坐標表示列出三角函數(shù)關系式再求最值.解(1)因為 a II b,所以 3sin x = cos x, 若(cos x = 0, 則 sin x=0, 與 sin2x + cos2x = 1 矛盾，故 cos x w 0,所以tan x =一,因為xW0,兀,所以x=.(2)f(x) = 3cos x sin x =2sin.因為xW 0 ,兀,所計W ,所以一w sin w 1,所以一2Wf(x) W3,當x=,即x = 0時，f(x)取得最大值3;當x=,即x =時，f(x)取得最小值一2.利用三角恒等變換研究性質(zhì)問題的策略，先通過三角恒等變換, 將三角函數(shù)的表達

8、式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)， 討論其圖象和性質(zhì).1求三角函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間、圖象變換、周期性、對稱性等問題，一般先要通過三角恒等變換將函數(shù)表達式變形為y=Asin 3 x+()*或y = Acos w x+()4k等形式，讓角和三角函數(shù) 名稱盡量少，然后再根據(jù)正、余弦函數(shù)基本性質(zhì)和相關原理進 行求解.2要注意三角恒等變換中由于消項、約分、合并等原因，函數(shù) 定義域往往會發(fā)生一些變化，所以一定要在變換前確定好原三 角函數(shù)的定義域，并在這個定義域內(nèi)分析問題.3有時會以向量為背景出題，綜合考查向量、三角恒等變換、 三角函數(shù)知識.4.已知函數(shù) f(x) = 2sin x , cox +2co

9、s2x 1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)的最大值及f(x)取最大值時x的集合.解(1)函數(shù) f(x) = 2sin x cox + 2cos2x 1 = sin 2x + cos 2x = sin,令 2k；t w 2x + w 2k；t+, kWZ,解得一< x<k% +? kWZ,可 得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，kGZ.由 f(x) = sin,可得當 2x+= 2k；t+, kWZ,取=卜兀+, kWZ 時，函數(shù)f(x)取得最大值為，此時，x取值的集合為.三角恒等變換醺教枷獺翱(教師獨具)第四課三角包等變換鞏固層知識整句提升層題型探別三角函數(shù)式求值【例

10、11(1)已知 sin = ,貝U cos = ()A. 一B . 一C. D.(2)4cos 50°Han40°等五)A. B.C. D.2-1冗）2我B的值.(3)已知 tan(a B)4anB=,且 a, 0C (0,(1)C (2)C(1)cos=cos=1 2sin2=12X2 =.(2)4cos 500 Han 40°=.解tan a = tan( a B ) + 0 => 0.而a e (0 ,兀)，敖e . tan 0 = ,0<0<九,< p < tt , it < a 30.W tan( a 0 )=03 2

11、a - 0 = a+ (a 0 ) 0)( 一 九， tan(2 a 0 ) = tan a + ( a 0 )=1, 2 a - 0 .-三角函數(shù)的求值有三種類型：1給角求值：一般所給的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角之間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數(shù)問題2給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在于“變 角"，如：a = a + B B, 2a = a +御甘電斯邳角用含已知角的式子表示，求解時要注意 角范圍的討論3給值求角：實質(zhì)上是“給值求值”，一般規(guī)律是先求出待求角的某一種三角函數(shù)值，然后確定 所求角的范圍，最

12、后求出角,選擇三角函數(shù)時盡量選擇給定區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)名稱，以便于角的確定，例如，若所求角的范圍是9,選擇求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范圍是0,冗，選擇求所求角的余弦值；若所求角的范圍為選擇求所求角的正弦值.1.已知一< x<0, sin x + cos x =.(1)求 sin 2x 和 cos x sin x 的值;求的化 解(1)由 sin x+cos x =,平方得 1+sin 2x =,所以 sin 2x = 一,因為一< x<0,所以 cos x >sin x ,所以 cos x sin x =.;=sin 2x ,=一 x = .【例2】化簡

13、：(1)(0 < 9 < .思路點撥：(1)使用倍角公式化簡.(2)切化弦.解(1)原式=因為0< 8 <兀，所以0<< ,所以cos >0,所以原式=cos 0 .(2)原式=,三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則1 一看“角”，一般化異角為同角，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正 確使用公式；2二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，一般化異名為同名從而確定使用的公式，常見的 有“切化弦”.3三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式要通分”等.2.化簡：.解原式= = 2.【例3】求證：tan2x +

14、 =.證明左邊=+一:右邊.原式得證.三角恒等式的證明問題的類型及策略1不附加條件的恒等式證明.,通過三角包等變換，消除三角等式兩端的差異.證明的一般思路是 由繁到簡，如果兩邊都較繁，則采用左右互推的思路，找一個橋梁過渡.2條件恒等式的證明.這類問題的解題思路是使用條件，或仔細探求所給條件與要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，常用方法是代入法和消元法.3 .已知 sin(2 a + B 5通 B ,求證：2tan( a + 03%n a .證明由條件得 sin( a + B ) + a = 5sin( a + B ) a ,兩邊分別展開得sin( a + B )cqs+ cos( a + B )sin

15、=5sin( a + B )cos 5cos( a + 0 )sin整理得：4sin( a + B )cos= 6cos( a + 0 )sin兩邊同除以2cos( a + B )cos得：2tan( a + B 3tan a .工 知識拓展 提升一維能力三角恒等變換的綜合應用【例 4】已知向量 a= (cos x , sin x) , b = (3, ), x 0 ,兀.(1)若a / b,求x的值；(2)記f(x) = a b,求(x)的最大值和最小值以及對應的x的化思路點撥：(1)利用向量共線的坐標表示求值；利用向量數(shù)量積的坐標表示列出三角函數(shù)關系式再求最值.解(1)因為 a/b,所以

16、3sin x = cos x , 若(cos x=0,貝U sin x=0, 與 sin2x+ cos2x = 1 矛盾， 所以tan x =一,因為x 0 ,兀, 所以x=.f(x) = 3cos x sin x =2sin.因為xC 0 ,冗,所如 ,所以一& sin 0 1,所以一2&f(x) <3,當x =,即x = 0時，f(x)取得最大值3;當x =,即x=時，f(x)取得最小值一2.利用三角包等變換研究性質(zhì)問題的策略，先通過三角包等變換，將三角函數(shù)的表達式變形化 簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì) .1求三角函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間、圖象變換、周期性、對稱性等問題，一般先要通過三角恒等 變換將函數(shù)表達式變形為y = Asin乂+(|)*或丫= Acosx +小4k等形式，讓角和三角函數(shù)名 稱盡量少，然后再根據(jù)正、余弦函數(shù)基本性質(zhì)和相關原理進行求解.2要注意三角包等變換中由于消項、約分、合并等原因，函數(shù)定義域往往會發(fā)生一些變化，所 以一定要在變換前確定好原三角函數(shù)的定義域，并在這個定義域內(nèi)分析問題.3有時會以向量為背景出題，綜合考查向量、三角恒等變換、三角函數(shù)知識.4 .已知函數(shù) f(x) = 2sin x -