習(xí)題解答將線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式

1、湖南省衡陽(yáng)縣2018-2019學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題)(解析版)一、選擇題(本大題共10小題，共30.0分)1 .已知集合 A=x|x<1 , B=x|3x<1，貝U()A. A A B=x|x<0B. AU B=RC. AU B=x|x>1 D. A n B= ?【答案】A【解析】解：,集合A=x|x<1,B=x|3x<1=x|x<0,AA B=x|x<0，故 A 正確，D 錯(cuò)誤；AU B=x|x<1，故B和C都錯(cuò)誤.故選：A.先分別求出集合 A和B,再求出AA B和AUB,由此能求出結(jié)果.本題考查交集和并集求法及應(yīng)用，是基

2、礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集、并集定 義的合理運(yùn)用.2 .下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()A. f(x)=x2 , g(x)=xB. f(x)=x , g(x)=x2xC. f(x)=x2 -4, g(x)=x -2?x+2D. f(x)=x , g(x)=3x3【答案】D【解析】解：A.f(x)=x2=|x|, g(x)=x ,所以兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不一致，所以 A不是同一函數(shù).B.f(x)的定義域?yàn)镽,而g(x)的定義域?yàn)?-8,0) u (0,+ 8),所以定義域不同，所以 B 不是同一函數(shù).C.由x2-4R0,解得xR2或xW-2,由x+2R0x-2R0,解得x>2,兩個(gè)函

3、數(shù)的定義 域不一致，所以 C不是同一函數(shù).D.f(x)的定義域?yàn)镽,而g(x)的定義域?yàn)镽,且g(x)=3x3=x ,所以定義域和對(duì)應(yīng)法則 相同，所以D是同一函數(shù).故選：D.分別判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否一致，否則不是同一函數(shù).本題主要考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)就是判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否一致，否則不是同一函數(shù).3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+ 8)上單調(diào)遞增的函數(shù)為()A. y=1xB. y=lnxC. y=x3D. y=x2【答案】C【解析】解：由于 y=1x在區(qū)間(0,+ °°)上單調(diào)遞減，故排除 a；由于y=lnx不是奇函

4、數(shù)，故排除B；由于y=x3既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+ 8)上單調(diào)遞增，故它滿足條件；由于y=x2是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故排除 D,故選：C.由題意利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得出結(jié)論.本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.如圖是圓臺(tái)如圖不是棱柱【解析】解：對(duì)于學(xué)習(xí) A,不是由棱錐截來(lái)的，所以 A不是棱臺(tái)，故 A錯(cuò)誤;對(duì)于學(xué)習(xí)B,上、下兩個(gè)面不平行，所以不是圓臺(tái)；對(duì)于學(xué)習(xí)C,是棱錐.對(duì)于學(xué)習(xí)D,前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共 邊平行，所以D是棱柱.故選：C.利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析判斷.本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意熟練掌握幾何體的基本

5、概念和 性質(zhì).)C. (-2,1)5. 函數(shù)y=loga(x+2)+1 的圖象過(guò)定點(diǎn)(A. (1,2)B. (2,1)【答案】D【解析】解：由函數(shù)圖象的平移公式，我們可得：將函數(shù)y=logax(a>0,a w1)的圖象向左平移 2個(gè)單位，再向上平移 1個(gè)單位，即可得到函數(shù) y=loga(x+2)+1(a>0,a w1)的圖象.又函數(shù)y=logax(a>0,a w1)的圖象恒過(guò)(1,0)點(diǎn),由平移向量公式，易得函數(shù)y=loga(x+2)+1(a>0,a*)的圖象恒過(guò)(-1,1)點(diǎn)，故選：D.由對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),再根據(jù)函數(shù)平移變換的公式，結(jié)合平移向量公式即可得到

6、到正確結(jié)論.W1)的本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，記住結(jié)論：函數(shù) y=loga(x+m)+n(a>0,a 圖象恒過(guò)(1 -m,n)點(diǎn)6. 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),且與直線x+2y -3=0垂直的直線方程是()A. 2x-y+2=0 B. 2x+y+2=0 C. 2x-y-2=0 D. x-2y+1=0【答案】A【解析】解：二直線 x+2y -3=0的斜率為-12,與之垂直的直線斜率為2,，所求直線方程為 y-0=2(x+1),化為一般式可得 2x-y+2=0故選：A.由垂直關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.7. 在四面體

7、P-ABC的四個(gè)面中，是直角三角形的面至多有()個(gè).A. 0個(gè)B.1個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】D【解析】解：如圖,PA，底面ABC, ABC是/ ABC為直角的直角三角形，則四面體P-ABC的四個(gè)面中，是直角三角形的面最多，有4個(gè).故選：D.由題意畫(huà)出圖形得答案.本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵，是中檔題.8. 直線x-3y+1=0的傾斜角為()A.兀 3B.兀 6C. 2 % 3D. 5 % 6【答案】B【解析】解：直線 x-3y+1=0的斜率為k=33 ,設(shè)傾斜角為a ,可得tan a =33 ,由 0W a<7t,且 e 手 r 2,可得a = Tt 6 ,故選：B.

8、求出直線的斜率，由直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，計(jì)算即可得到所求值.本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.【解析】解：: x2+1 >1 ,又 y=lnx 在(0,+ °0)單調(diào)遞增，y=ln(x2+1) > ln1=0 ,，函數(shù)的圖象應(yīng)在 x軸的上方，又f(0)=ln(0+1)=ln1=0，圖象過(guò)原點(diǎn), 綜上只有A符合.故選：A.x2+1 > 1 ,又 y=lnx 在(0,+°°)單調(diào)遞增，y=ln(x2+1) >ln1=0 ,函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方，在令x取特殊值，選出答案.對(duì)于函數(shù)的選擇題，從特殊值、函數(shù)的性質(zhì)入手

9、，往往事半功倍，本題屬于低檔題.10 .已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且滿足 f(x+2)= -f(x),當(dāng)xC(0,1時(shí), f(x)=2x -1,則方程 f(x)=log7|x -2| 解的個(gè)數(shù)是()A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】解：函數(shù) f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0 ,由 f(x+2)= - f(x),可得 f(x+4)=f(x),f(x)的周期 T=4 .從圖象不難看出，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)7個(gè)，故選：B.根據(jù)函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(0)=0 ,且滿足f(x+2)= -f(x),求解f(x)的周期 T=4 ,當(dāng) xC(0,1時(shí)，f(x)=2x -1,作出圖象，

10、f(x)=log7|x -2|解的個(gè)數(shù)，即為 2x-1=log7|x -2|圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).數(shù)形結(jié)合可得答案.本題考查了指數(shù)和對(duì)數(shù)的圖象畫(huà)法和交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題(本大題共5小題，共20.0分)11 .已知哥函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,2),則這個(gè)函數(shù)解析式為 .【答案】y=x12(x >0)【解析】解：設(shè)f(x)=x a ,哥函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,2), . 2 a =2 a =12 .這個(gè)函數(shù)解析式為 y=x12(x > 0).故答案為：y=x12(x > 0).根據(jù)哥函數(shù)的概念設(shè)f(x)=x a ,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得a值，從而求得函數(shù)解析

11、式.本題主要考查了待定系數(shù)法求募函數(shù)解析式、指數(shù)方程的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.12.已知正方體 ABCD-A1B1C1D1中，直線 AB1與DD1所成的角是 【答案】45°【解析】解：= BB1/DD1 ,丁./ BB1A是直線 AB1與DD1所成的角， ABXBB1 , AB=BB1 , ./ AB1B=45 ° , 直線AB1與DD1所成的角是45° .故答案為：45° .由 BB1/DD1 ,得/ BB1A 是直線 AB1 與 DD1所成的角，由此能求出直線 AB1與DD1所成 的角.本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中 線線、線面、面面間的位

12、置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.13 .已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn) A(1,3) , B(3,1) , C(-1,0),則 ABC的面積為 . 【答案】5【解析】解：由 A(1,3) , B(3,1),設(shè)AB的直線方程為y=kx+b ,則 1=3k+b3=k+b,解得：k= -1, b=4 .AB的直線方程為x+y -4=0 .C(-1,0)到直線 AB 的距離 h=| -1-4|2=52 .AB 的距離 d=(3 -1)2+(3 -1)2=22 .則 ABC 的面積 S=12 X 52 X22=5 .故答案為：5.根據(jù)A(1,3) , B(3,1),求出AB的直線方程，和 AB的

13、距離，利用點(diǎn)到直線的距離就是AB為底的高，即可得 ABC的面積.本題此解法用了點(diǎn)與直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式.屬于基礎(chǔ)題.14 .已知一個(gè)正方形的所有項(xiàng)點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24,則這個(gè)球的表面積為,【答案】12兀【解析】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a,球的半徑為R,則正方體的表面積為 6a2=24 ,得a=2 ,所以，2R=3a=23 ,則 R=3 ,因此，這個(gè)球的表面積為 4 % R2=12兀.故答案為：12 7t.先由正方體的表面積計(jì)算出正方體的棱長(zhǎng)a,然后利用2R=3a求出球體的半徑 R,最后利用球體的表面積公式可得出答案.本題考查球體的表面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵在于弄清

14、楚正方體的外接球的半徑為棱長(zhǎng)之間的關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于中等題.15 .已知函數(shù)f(x)=2x -1,若xC 2,6,則該 函數(shù)的最大值為.【答案】2【解析】解：畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖示：函數(shù)f(x)在2,6遞減，函數(shù)f(x)最大值=f(2)=2 ,故答案為：2.先求出函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題(本大題共 6小題，共50.0分)16 .計(jì)算下列各式的值(1)(827) -13-(兀-1)0+214(2)log327+lg25 -lg4 .【答案】解：(1)原式=(23)3 X (-13

15、)-1+(32)2=32 -1+32=2 .(2)原式=log3332+lg25 X 4=32 -1=12 .【解析】(1)利用指數(shù)運(yùn)算法則即可得出；(2)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.17 .已知直線l1 : x+2y+1=0 , l2 : -2x+y+2=0 ,它們相交于點(diǎn) A.(1)判斷直線l1和l2是否垂直？請(qǐng)給出理由；(2)求過(guò)點(diǎn)A且與直線l3: 3x+y+4=0 平行的直線方程.【答案】解：(1)直線l1的斜率k1= -12,直線l2的斜率k2=2 , k1k2= -12 X2= -1l1 ± l2(2)由方程組-2x+y+2=0x

16、+2y+1=0 解得點(diǎn)A坐標(biāo)為(35,-45),直線l3的斜率為-3,所求直線方程為：y-(-45)= -3(x-35)化為一般式得：3x+y -1=0.【解析】(1)先求出兩直線的斜率，發(fā)現(xiàn)斜率之積等于-1,故可得兩直線垂直.(2)先求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率等于直線l3的斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程,并化為一般式.本題考查判斷兩直線垂直的方法，當(dāng)兩直線平行時(shí)，它們的斜率間的關(guān)系；用點(diǎn)斜式 求直線方程.18.已知函數(shù) f(x)=x2 -2|x| -3.(1)作出函數(shù)f(x)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在-2,4上的最大值與最小值.【答案】解：(1)f

17、(x)=x2 -2|x| -3=x2+2x -3,x<0x2 -2x-3,x>0.圖象如圖：由圖象知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(-8,-1, (0,1 .單調(diào)增區(qū)間是(-1,0 , (1,+ 8);(2)結(jié)合圖象可知最小值為f=f( -1)= -4,最大值為f(4)=5 .【解析】(1)寫(xiě)出分段函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象作圖，由圖象得函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間；(2)直接由圖象彳#到函數(shù) f(x)在-2,4上的最大值與最小值.本題考查了分段函數(shù)的圖象，考查了由圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)單調(diào)性求函 數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題.19 .直線l過(guò)點(diǎn)(-1,0),圓C的圓心為C(2,0).(I )若圓C的半

18、徑為2,直線l截圓C所得的弦長(zhǎng)也為2,求直線l的方程；(n)若直線1的斜率為1,且直線1與圓C相切；若圓C的方程.【答案】解：(I )設(shè)直線1的方程為y=k(x+1),則圓C的半徑為2,直線1截圓C所得的弦長(zhǎng)為2,圓心到直線1的距離為3,即|3k|k2+1=3 ,解得k=±22, 即直線1的方程為y 土 22(x+1);(n )直線1的斜率為1, ，直線1的方程為y=x+1 ,直線1與圓C相切，.=31 + 1=322,，圓C的方程為(x-2)2+y2=92 .【解析】(I )設(shè)直線1的方程為y=k(x+1),根據(jù)圓C的半徑為2,直線1截圓C所得 的弦長(zhǎng)為2,利用點(diǎn)到直線的距離公式，

19、建立方程，即可求直線1的方程；(n )根據(jù)直線1與圓C相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得圓 C的半徑r,從而可得 圓C的方程.本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查圓的性質(zhì)，屬于中檔 題.20 .四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，PAL面 ABCD垂足為點(diǎn)A,PA=AB=4，點(diǎn) M 是 PD的中點(diǎn)(1)求證：PB平面 ACM(2)求證：BDL平面 PAC:(3)求四面體 A-MBC的體積.【答案】證明：(1)連接AC, BD ,記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接MO. 點(diǎn)O, M分別是BD, PD的中點(diǎn)， MO/PB .又 PB?面 ACM , MO?面 ACM , P

20、B/ 面 ACM (3 分)(2)PA，面 ABCD, PAXBD, 底面ABCD是正方形， ACXBD,又 PA n AC=A , BD,面 PAC- (6 分)(3) -. VA-MBC=VM -ABC=13 ?SA ABC?h,且 h=12PA , VA-MBC=13 ?(12 ?AB?AD) ?(12 ?PA)=23 (9 分)【解析】(1)連接AC, BD,記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接MO.證明MO/PB ,然后證 明 PB/ 面 ACM.(2)證明 PAX BD, ACXBD,然后證明 BD上面 PAC. 通過(guò) VA-MBC=VM -ABC=13 ?$ ABC?h ,然后求解即可.

21、本題考查直線與平面垂直以及直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的他就的求 法，考查計(jì)算能力.21.已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且 f(1)=1，若a, b -1,1, a+bw0時(shí)， 有 f(a)+f(b)a+b>0 成立.(1)判斷f(x)在-1,1上的單調(diào)性(2)解不等式 f(log2(x+2) <f(12)(3)若f(x) wm2-2am+11對(duì)所有的a C -1,1恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【答案】解：(1)f(x)在-1,1上單調(diào)遞增(1分)任取 x1 , x2C -1,1,且 x1<x2 ,則-x2C -1,1. f(x)為奇函數(shù)，f(x1) - f(x2)=f(x1)+f(- x2)=f(x1)+f( -x2)x1+( -x2) ?(x1 -x2).由已知得 f(x1)+f( -x2)x1+( - x2)>0 ,又 x1-x2<0 , f(x1)-f(x2