無(wú)棱二面角的求解方法

1、. 快樂(lè)學(xué)習(xí)，盡在中小學(xué)教育網(wǎng)無(wú)棱二面角的求解方法徐敏求二面角的基本方法是按二面角大小的定義，作出二面角的平面角，求出平面角的大小即可。但有些題目中沒(méi)有給出兩個(gè)面的交線，難以直接作出二面角的平面角。本文通過(guò)一例，就這種情況給出若干種求解方法，供參考。題目：如圖1，正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是1，M是棱的中點(diǎn)，求截面與底面ABC所成銳角二面角的大小。圖1一. 平移法我們知道，兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面相交，所成的兩個(gè)同向二面角相等。根據(jù)這個(gè)道理，可將二面角的一個(gè)面或兩個(gè)面平移到適當(dāng)?shù)奈恢?，使其相交，?gòu)成一個(gè)易求解的二面角。解法1：如圖2，取的中點(diǎn)D，AB的中點(diǎn)E，則平面DEC中的DE/，則面DEC，面DE

2、C，從而面面DEC。這樣，面與面ABC所成的銳二面角等于面DEC與面ABC所成的銳二面角，即二面角。圖2由題設(shè)條件的正三棱柱，易知，則是二面角的平面角。在等腰中，。所以面與面ABC所成的銳二面角為。二. 補(bǔ)形法將二面角的兩個(gè)面延展，確定出兩個(gè)面的交線，從而構(gòu)成一個(gè)完整的二面角。解法2：延長(zhǎng)與AC，相交于點(diǎn)P，連結(jié)BP，則所求的二面角是（圖3）圖3在中，由，且，可得。再由正，可得AC=BC=PC，則。又。所以是二面角的平面角。由等腰，知。三. 射影法設(shè)二面角的大小為，面內(nèi)有一個(gè)面積為S的封閉圖形，該圖形在面內(nèi)的射影面積為S'，則。利用這個(gè)結(jié)論，只要計(jì)算S和S'的值，就可求出二面角

3、的大小。這種方法可以免去尋找二面角的平面角及其證明過(guò)程，使解法直截了當(dāng)，方便快捷。解法3：由正三棱柱的條件，可知是在底面內(nèi)的射影。取的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，易求得則等腰的面積，等邊的面積。設(shè)所求二面角的大小為，由，得。四. 向量法設(shè)二面角的大小為，分別是平面和平面的法向量，則角與角<>相等或互補(bǔ)。所以。特別地，當(dāng)為銳角時(shí)，。解法4：以B為原點(diǎn)，與AC平行的直線為x軸，與AC垂直且相交的直線為y軸，為z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，知B（0，0，0），M，。從而。圖4設(shè)平面的法向量是，則由，有取特值，可解得。所以。顯然可取平面ABC的一個(gè)法向量為。設(shè)平面與平面所成銳角二面角為，由，得所求二面角的大小為。:第4頁(yè)（共4頁(yè)）正