橢圓的定義與標準方程教學設(shè)計

1、2.1.1橢圓的定義與標準方程一、教材分析圓錐曲線是高中數(shù)學中十分重要的內(nèi)容，它的許多幾何性質(zhì)在日常 生活、生產(chǎn)和科學技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)是圓錐曲線與方程 的第一節(jié)課，主要學習橢圓的定義和標準方程。它是本章也是整個解析 幾何部分的重要基礎(chǔ)知識。第一，在教材結(jié)構(gòu)上，本節(jié)內(nèi)容起到一個承上啟下的重要作用。 前 面學生用坐標法研究了直線和圓，而對橢圓概念與方程的研究是坐標法 的深入，也適用于對雙曲線和拋物線的學習，更是解決圓錐曲線問題的 一種有效方法。第二，對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應(yīng)起來，體現(xiàn)了 函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個高中 階段的數(shù)學學習。第三

2、，對橢圓定義與方程的探究過程，使學生經(jīng)歷了觀察、猜測、 實驗、推理、交流、反思等理性思維過程，培養(yǎng)了學生的思維方式，力卩 強了運算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為 后續(xù)知識的學習奠定了基礎(chǔ)。二、學生情況分析1. 在學習本節(jié)內(nèi)容以前，學生已經(jīng)學習了直線和圓的方程，初步了 解了用坐標法求曲線的方程及其基本步驟， 經(jīng)歷了動手實驗、觀察分析、 歸納概括、建立模型的基本過程，這為進一步學習橢圓及其標準方程奠 定了基礎(chǔ)。2. 在本節(jié)課的學習過程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導(dǎo)化簡 對學生是一個考驗，可能會有一部分學生探究學習受阻，教師要適時加 以點撥指導(dǎo)。三、教學目標1.知識目標

3、熟記橢圓的定義，知道什么是焦點和焦距，并能根據(jù)橢圓的定義推 導(dǎo)橢圓的標準方程。 明確a、b、c之間的關(guān)系，并能指出焦點坐標。2. 能力目標培養(yǎng)觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力3. 情感目標通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗， 體會數(shù)學 的理性和嚴謹.四、教學重點和難點重點：感受橢圓形成的基本過程，知道橢圓的標準方程及其推導(dǎo)方法難點：橢圓的標準方程的推導(dǎo)。五、教法與學法1 教法為了使學生更主動地參加到課堂教學中，體現(xiàn)以學生為主體的探 究性學習和因材施教的原則，故采用自主探究法。按照“創(chuàng)設(shè)情境一一 自主探究一一建立模型一一拓展應(yīng)用”的模式來組織教學。2學法在教學過程中，要充分調(diào)動學

4、生的積極性和主動性， 為學生提供自 主學習的時間和空間。讓他們經(jīng)歷橢圓圖形的形成過程、定義的歸納概 括過程、方程的推導(dǎo)化簡過程，主動地獲取知識。六、教學過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習引入演示圓錐曲線的形成過程，回顧圓的定義及標準方程。借助多媒體生 動、直觀的演示， 使學生明確學習橢 圓的重要性和必要 性。同時，激發(fā)他 們探求實際問題的 興趣，使他們主動、 積極地參與到教學 中來，為后面的學 習做好準備。（二）動手實驗，歸納概念問：自然界處處存在著橢圓，我們?nèi)绾斡米约旱碾p手畫出橢圓呢？ 引導(dǎo)：先回憶如何畫圓（學生利用手中的細線畫圓，教師再用幾何畫板畫圓）畫圓容易那如果要畫橢圓該怎么畫呢？讓學生回憶

5、起要畫一個圓只要一定點和一定長就可以。現(xiàn)在若把一 點變成兩點，到定點的距離等于定長變成到兩定點的距離之和等于定長。 再把筆緊貼細線畫圖，得到的圖形是什么呢？（學生利用手中細線配合同桌共同完成，得到橢圓。我將在黑板上 用同一方法作圖，并利用flash演示）提出問題：“在畫圖的過程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有 變？”讓學生根據(jù)自己的實驗，觀察回答：“兩定點間的距離沒變，繩子 的長度沒變，點在運動?！痹賳枺骸澳銈兡芨鶕?jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括 出橢圓的定義嗎？”（多媒體給出圓的定義）以活動為載體， 讓學生在“做”中 學數(shù)學，通過畫橢 圓，經(jīng)歷知識的形 成過程，積累感性 經(jīng)驗。先讓

6、學生獨立思考一分鐘，然后同桌交流，再進行全班交流，逐步 完善，概括出橢圓的定義。橢圓的定義：平面上到兩個定點F1, F2的距離之和為固定值（大于 |F仆2|）的點的軌跡叫作橢圓.引導(dǎo)學生對定義中的關(guān)鍵詞進行分析理解 注意:橢圓定義中容易遺漏的三處地方：（1）必須在平面內(nèi)；（2）兩個定點-兩點間距離確定；（3）繩長-軌跡上任意點到兩定點距離和確定問：“為何固定值要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如 何呢？”（學生動手驗證并發(fā)表自己意見，我再用課件演示）總結(jié)：當大于時橢圓當?shù)扔跁r線段當小于時不存在（三）啟發(fā)引導(dǎo)，推導(dǎo)方程問：怎么推導(dǎo)橢圓的標準方程呢?先回顧圓方程推導(dǎo)的步驟，給出求動點軌跡方程的一

7、般步驟：1、建立適當?shù)淖鴺讼担糜行驅(qū)崝?shù)對（x,y ）表示曲線上任意一點M 的坐標；2、寫出適合條件P（ M ；3、用坐標表示條件P（M），列出方程；4、化方程為最簡形式。?探討建立平面直角坐標系的方案啟發(fā)學生類比求圓的方程的建系方法，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?。探討幾種建系方案。最后采用以下兩種方案|方案一：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為丫軸；方案二：以兩定點的連線為丫軸，其垂直平分線為X軸。（原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單）（一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.）體現(xiàn)“對稱美”“簡潔美”的特點?寫出動點P滿足的條件 設(shè)P （x, y）是橢圓上任意一點， 橢圓的

8、焦距|FiF2|=2c（c>0）， 則Fi、F2的坐標分別是（c,0）、（c,0）.P與Fi和F2的距離的和為固定值2a（2a>2c）啟發(fā)學生根據(jù)橢圓的定義，寫出動點P滿足的條件，即：| PFi | PF2 F2a由于 |PFi= （x c）2 y2,|PF2|（x-c）2 y2得到 （x c）2 y2.（x-c）2 y2 = 2a問：下面怎樣化簡？帶根式的方程 的化簡，學生會感 到困難，這也是教 學的一個難點。教 學時，要注意說明 這類方程的化簡方 法。般來說： 方程中只有一個二次根式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其 它各項移到另一邊，平方一次； 方程中有兩個二次根式時，需將它

9、們分散，放在方程的兩邊，使 其中一邊只有一個根式，平方兩次。待大多數(shù)學生都有了結(jié)果：a a -c之后，指出：這個方程還不夠簡潔對稱，讓學生觀察圖形：問：“你們能從圖中找出表示 a、c、”一的線段嗎？”通過觀察，學生容易得出結(jié)論，并理解了換元的合理性。這樣不僅 使方程具有了對稱性，而且使字母 b也有了明確的幾何意義。從而將方 程簡化為：在師生互動的 過程中，讓學生體 會數(shù)學的嚴謹，使 他們的觀察能力、 運算能力、推理能 力得到訓練，滲透 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思 想。并感受橢圓方 程、圖形的對稱美, 獲得成功的喜悅！b 才 右 ?。?a>b>0）我們稱它為橢圓的標準方程。問：剛才我們得到了焦

10、點在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點在y軸 上的橢圓的標準方程呢？啟發(fā)：“除了用剛才的方法推導(dǎo)一遍處，還有別的方法嗎？”學生經(jīng)過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標軸就可以了，從而得到了 焦點在丫軸上的橢圓的標準方程：（a>b>0）?總結(jié)橢圓的標準方程的特點（1）橢圓標準方程的形式：.左邊是兩個分式的平方和,/ .、亠 i=r /T- + -r- = 1右邊是1尹+喬二（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足2 J +2a =b +c 。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù) a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一 個軸上。?再通過表格的形式，讓學生對兩種方程進行對比分析，強化對橢圓方程的理解。標準方程不 同 占 八、圖形焦點坐標相 同 占 八、定 義a、b、c的關(guān)系焦點位置的判斷（四）、例題教學口答:1.522 2x y3.-19622_4 Z +_i貝U a= <7 , b = 2'74a、b、c、并求出橢圓的焦點坐標。2 2（2）4 54x2 3y2 =12（五）、課堂小結(jié)：一種方法：求橢圓標準方程的方法22X-亠22類方程：a b2 2I? A1 a通過填表，進行 對比總結(jié)，不僅使 學生加深了對橢圓 定義和標準方程的 理解，有助于教學 目標的實現(xiàn)有層次的練習