華中科技大學概率論復習

1、華中科技大學·2015年秋季期末復習真題卷-概率論華中科技大學2015年秋季期末復習·概率論·知識點歸納第一章 1第二章 3第三章 6第四章 9第五章 11第六章 12第七章 13l 真題部分·精選真題卷一·2015年1月試卷 16·精選真題卷二·2014年1月試卷 18·精選真題卷三·2013年1月試卷 20·精選真題卷四·2012年1月試卷 22·精選真題卷五·2011年1月試卷 24l 參考答案部分·精選真題卷一答案·2015年1月試卷 2

2、6·精選真題卷二答案·2014年1月試卷 27·精選真題卷三答案·2013年1月試卷 29·精選真題卷四答案·2012年1月試卷 31·精選真題卷五答案·2011年1月試卷 34知識點歸納 第一章 隨機事件及其概率（1）排列組合公式 從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這

3、件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由m×n 種方法來完成。（3）一些常見排列·重復排列和非重復排列（有序） · 對立事件（至少有一個）·順序問題（4）隨機試驗、隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，而每次試驗的可能結果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生

4、這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。·這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。·基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用表示。·一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。·為必然事件，Ø為不可能事件。·不可能事件（Ø）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關系與運算 關系：·如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）

5、：·如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。·A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。·屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。·A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=Ø，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。·-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算： 結合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(

6、BC) (AB)C=(AC)(BC) （7）概率公理化定義設為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1° 0P(A)1， 2° P() =13° 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1° ，2° 。設任一事件，它是由組成的，則有P(A)= = （9）幾何概型若隨機試驗的結果為無限不可數(shù)并且每個結果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A，。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10

7、）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)·當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)·當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)·當A=時，P()=1- P(B)（12）條件概率·定義：設A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。·條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如：P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式·更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>

8、0，則有。（14）獨立性兩個事件的獨立性·設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。·若事件、相互獨立，且，則有·若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。·必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨立。·Ø與任何事件都互斥。 多個事件的獨立性·設A、B、C是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概率公式設事件滿足1°

9、兩兩互不相容， 。2°，則有。（16）貝葉斯公式·設事件，及滿足1° ，兩兩互不相容，>0，1，2，2° ， 則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。·，（，），通常叫先驗概率。·，（，），通常稱為后驗概率。·貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。 第二章 隨機變量及其分布（1）離散型隨機變量的分布律·設離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分

10、布列的形式給出：。·顯然分布律應滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度·設是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。·密度函數(shù)具有下面2個性質(zhì)：1° 。2° 。（3）離散與連續(xù)型隨機變量的關系·積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)·設為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。·可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落

11、入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。·分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1° ；2° 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3° ， ；4° ，即是右連續(xù)的； 5° 。·對于離散型隨機變量，； 對于連續(xù)型隨機變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設為，則可能取值為。， 其中·則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。·當時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量的分布律為，·則稱隨機變量

12、服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。·泊松分布為二項分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設隨機變量的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)在a,b上為常數(shù)，即axb 其他，·則稱隨機變量在a,b上服從均勻分布，記為XU(a,b)。·分布函數(shù)為  axb 0， x<a，   1， x>b·當ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,

13、0; 其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。·X的分布函數(shù)為 , x<0。   ·記住積分公式：正態(tài)分布設隨機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。·具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關于對稱的；2° 當時，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。·參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。·(-x)1-(x)且(0)。·如果，則。 （6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)分布離散型·已知的分布

14、列為 ，的分布列（互不相等）如下：，·若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。第三章 二維隨機變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型·如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機變量。·設=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxip

15、i1·這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有·則稱為連續(xù)型隨機變量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。·分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） （2）二維隨機變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。&

16、#183;分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。·分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當x2>x1時，有F（x2,y）F(x1,y);當y2>y1時，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型的關系（5）邊緣分布離散型·X的邊緣分布為；·Y的邊緣分布為。連續(xù)型·X的邊緣分布密度為·Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型·在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為

17、83;在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型·在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；·在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（9）二維正態(tài)分布·設隨

18、機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（·由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（·但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y·根據(jù)定義計算：·對于連續(xù)型，fZ(z)·兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。·n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布·設n個隨機變量

19、相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為·我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中·所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。·分布滿足可加性：設則t分布·設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。·F分布·設，且X與Y獨立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).·第四章 隨機變量的數(shù)字特征（1）一維隨機變量的數(shù)

20、字特征離散型連續(xù)型期望：期望就是平均值設X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對收斂）設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)方差：D(X)=EX-E(X)2，標準差：， 矩對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學期望為X的k階中心矩，記為，即=， k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為vk,即k=E(Xk)= k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機

21、變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2, .切比雪夫不等式·設隨機變量X具有數(shù)學期望E（X）=，方差D（X）=2，則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式·切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3

22、） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5） 二維隨機變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與

23、Y的協(xié)方差或相關矩，記為，即與記號相對應，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關系數(shù)·對于隨機變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關系數(shù)，記作（有時可簡記為）。·|1，當|=1時，稱X與Y完全相關：·完全相關·而當時，稱X與Y不相關。·以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab c

24、ov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨立和不相關（i） 若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關。 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律·設隨機變量X1，X2，相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界。D（Xi）<C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)，有·特殊情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學期望E（XI）=，則上式成為伯努利大數(shù)定律·設是

25、n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)，有·伯努利大數(shù)定律說明，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設X1，X2，Xn，是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E（Xn）=，則對于任意的正數(shù)有（2）中心極限定理列維林德伯格定理·設隨機變量X1，X2，相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差：，則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有·此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設隨機變量為具有參數(shù)n, p(0<

26、;p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有（3）二項定理·若當，則·超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理·若當，則其中k=0，1，2，n，。·二項分布的極限分布為泊松分布。 第六章 樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本·我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。·樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個

27、相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。·在泛指任一次抽取的結果時，表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設為總體的一個樣本，稱（）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)·樣本均值·樣本方差·樣本標準差·樣本k階原點矩·樣本k階中心矩 ·，·，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布設為來自

28、正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布設為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨立。 第七章 參數(shù)估計（1）點估計矩估計·設總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)即為參

29、數(shù)（）的矩估計量。·若為的矩估計，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計。極大似然估計· 當總體X為連續(xù)型隨機變量時，設其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.·當總體X為離型隨機變量時，設其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。·若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計值，相應的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。·若為的極大似然估計，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計。（2）估計量的評選標準無偏性·設為未知參數(shù)的估計量。若E （）=，則稱 為的無偏估計量。·E（）=E（X）， E（S2）=D（X）有效

30、性·設和是未知參數(shù)的兩個無偏估計量。若，則稱有效。一致性·設是的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱為的一致估計量（或相合估計量）。·若為的無偏估計，且則為的一致估計。·只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應總體的一致估計量。（3）區(qū)間估計置信區(qū)間和置信度設總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量與，使得區(qū)間以的概率包含這個待估參數(shù)，即那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計設為總體的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間。具體步驟如下：（i

31、）選擇樣本函數(shù)；（ii）由置信度，查表找分位數(shù)；（iii）導出置信區(qū)間。已知方差，估計均值(i) 選擇樣本函數(shù) (ii) 查表找分位數(shù) (iii) 導出置信區(qū)間未知方差，估計均值(i)選擇樣本函數(shù) (ii)查表找分位數(shù) (iii)導出置信區(qū)間方差的區(qū)間估計(i)選擇樣本函數(shù) (ii)查表找分位數(shù) (iii)導出的置信區(qū)間華中科技大學2015年秋季期末復習概率論·精選真題卷一（2015.1.25）1、 填空題（每小題3分，共18分）1. 設隨機事件A與B相互獨立，且P(A)=0.4, P(B)=0.7,則P( )=_。2. 某人進行獨立重復觀測實驗，設每次實驗觀測到某現(xiàn)象的概率是p(0

32、<p<1)，則此人4次實驗恰好觀測到該現(xiàn)象2次的概率是_。3. 設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)是f(x)=Ae-|x|，則常數(shù)A=_。4. 設隨機變量XN(2，1)，則E(eX)=_。5. 設X1,X2,Xn為來自正態(tài)分布總體N(0,1)的簡單隨機樣本，則服從_分布。6. 設有來自總體XN(,2)的容量為9的簡單隨機樣本，樣本均值=5，樣本標準差S=2.215，已知t0.025(8)=2.30，則未知參數(shù)的置信水平為0.95的雙側置信區(qū)間為_。2、 單項選擇題（每小題3分，共15分）（將正確選項前的字母填入題后的括號內(nèi)）1.下列命題正確的是( )(A)概率為1的事件與任意事件獨立;

33、(B)若兩件事情獨立，則兩件事情一定不相容; (C)若兩件事情不相容，則兩件事情一定獨立; (D)若兩件事情獨立，則其和的概率等于概率的和。2.設隨機變量X的分布函數(shù)為 F(x)=P(Xx)= 則DX=( )。(A) 1; (B) 0.6; (C) 1.6; (D) 2。 3. 設隨機變量Y=|X|,其中X的分布列為，則X與Y的相關系數(shù)為（ ）。(A) -0.5; (B) 0; (C) -1; (D) 0.5。4. 設方差DX，DY為非零數(shù)，且E(XY)=E(X) E(Y)，則有（ ）。 (A) X與Y相互獨立; (B) X與Y不相關; (C) D(XY)=DX DY; (D) D(X-Y)=

34、DX-DY。5. 設X1,X2,Xn為來自正態(tài)分布總體N(0,1)的簡單隨機樣本,則統(tǒng)計量T=(n-1)S2+n2服從的分布為（ ）。(A) 2(n); (B) 2(2n-1); (C) 2(n-1); (D) 2(n+1)。3、 （10分）對高校本科、碩士、博士畢業(yè)生就業(yè)意向的調(diào)查表明，這三類畢業(yè)生的比例是6：3：1，而在這三類畢業(yè)生中愿意去西部地區(qū)工作的比例分別是30%，20%和10%。現(xiàn)有一名愿意去西部地區(qū)工作的畢業(yè)生，求他是本科生的概率。4、 （10分）設某染色體能分裂成k個染色體的概率為p(k,)=，（k=0,1,2）而一個分裂的染色體能恢復原狀的概率為q。(1) 以Y記分裂的所有染

35、色體中恢復原狀的染色體的個數(shù)，試證明Y服從參數(shù)q的泊松分布；(2) 求Z=eY的分布。5、 (10分)設隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 其他求給定X=x(0<x<1)時，Y的條件密度函數(shù)。六、(14分)設隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為 其他求(1)U=2X+Y的數(shù)學期望；(2)V=X+Y的概率密度函數(shù)。7、 (9分)某高校有8000間本科生宿舍，七月份每間宿舍在八點到二十二點間使用空調(diào)的概率都是0.7(每間宿舍是否使用空調(diào)的概率是獨立的)。求在該時段有5700以上的宿舍使用空調(diào)的概率是（可用表示）。在不查表的情況下，估計該概率是否小于0.1? 8、 （14分）設總體X的概率

36、密度函數(shù)為（為未知參數(shù)），X1,X2,Xn為取自該總體的簡單隨機樣本。(1) 求參數(shù)的矩估計和極大似然估計；(2) 驗證和的無偏性。華中科技大學2015年秋季期末復習概率論·精選真題卷二（2014.1.25）一、填空題（每小題3分，共30分）1.已知P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A|B)=0.8，則P(AB)= 。2.設某同學有數(shù)學書12本，英語書6本，專業(yè)書30本?，F(xiàn)從中取6本，則恰好每種書各取到兩本的概率為 。（列出式子即可）3.設某業(yè)務員每天接到的電話次數(shù)XP（），已知在n天中共接到3n個電話，則參數(shù)的極大似然估計為 。4.設（X,Y）的聯(lián)合概率密度為fx，y=1,

37、&0<x<1，-x<y<x，0, &其他.則P（X=Y）= ；邊緣密度fxx= 。5.設（X,Y）N（1，-1,2²，3²，0.5），則D（2X-Y）= 。6.設X和S²=1n-1i=1nXi-X2為取自正態(tài)總體XN（0，²）的樣本均值和樣本方差，則E(XS)= 。7.設隨機變量FF（m，n），則F-1 。8.已事件A在n次獨立實驗中發(fā)生了m次，則事件A的概率p的矩估計為 。9.設X1，X2，Xn為取自總體XU（a，3）的樣本，則參數(shù)a的極大似然估計為 。二、單項選擇題（每小題2分，共10分）1.設隨機變量X的分布

38、函數(shù)為Fx=0， x<0，131+sinx, 0x<2，1， x2.則X為（ ）。（A）離散型隨機變量 （B）連續(xù)性隨機變量 （C）混合型隨機變量2.設X為取自指數(shù)分布總體XE（）的樣本均值，則（ ）。（A）P(X=1/)=0 （B）1/X是的無偏估計 （C）P(X=1/)=13.設隨機變量X的方差DX=²>0，則（ ）。（A）PX-EX38/9 （B）PX-EX31/9（C）PX-EX3>1/94.設總體X服從幾何分布G（0.8），X1，X2，Xn為來自X的樣本，X=1ni=1nXi,則D（X）=（ ）。（A）54n （B）516 （C）516n5.設正態(tài)總

39、體的X數(shù)學期望EX=，X為取自X的樣本均值，則X²為²的（ ）。（A）無偏估計 （B）矩估計 （C）上述都不對三、（10分）設袋中有外形相同的紅球a個、白球b個，現(xiàn)每次從中取出一球觀測顏色后放回，再放入c個同色球。分別求第一、二、三次取到紅球的概率。四、 （10分）設隨機變量X的概率密度為fx=0 , &x<12(x-1)e-(x-1)2, &x1（1） 求X的分布函數(shù)F(x);（2）求Y=(X-1)²的概率密度。五、 （10分）設隨機變量X、Y、Z獨立同分布于B(1,p)。（1） 求=(X-2Y+Z)²的分布列；（2）求數(shù)學期望E

40、和方差D。六、 （10分）設導彈彈著點(X，Y)在區(qū)域G=(x,y):x²+y²100上服從均勻分布。（1）試求邊緣密度fXx,fYy；（2）判斷X與Y是否相關，是否獨立，并說明理由；（2） 求彈著點到目標（原點）的平均距離。七、（10分）設英語考試有100道選擇題，每題四個選項中只有一個正確，答對得一分。某學生用蒙的方法（即隨機選一項作為答案）答題，試用精確分布和中心極限定理兩種方法分別求該生能考過60分（含60分）的概率。（列出式子即可）八、（10分）設總體XN(，²)，²為未知參數(shù)，求²的置信度為95%的雙側置信區(qū)間，并求置信區(qū)間長度的期

41、望和方差。 華中科技大學2015年秋季期末復習概率論·精選真題卷三（2013.1.25）一、填空題（每小題3分，共21分）1. 甲乙兩人從5雙不同的手套中不放回地任意取4次，一次取一只，順序是：甲乙甲乙，則乙正好取到兩只配對手套的概率是_。2. 設二維隨機變量(X,Y)N(0,1,1,4,0.5), 則Y的概率密度函數(shù)=_。3. 設均是有限的常數(shù)，則由切比雪夫不等式得_。4. 設某市有200個加油站，調(diào)查表明在任何時刻每個加油站被使用的概率是0.1，則在同一時刻最可能有_個加油站被使用。5. 設總體_。6. 是總體的一個樣本，總體均值的一個無偏估計是，則_。7. 設隨機變量獨立同分布

42、，且_。二、單項選擇題（每小題3分，共15分）（將正確選項前的字母填入題后的括號內(nèi)）1. 設隨機變量的方差分別為，相關系數(shù),則( )(A) 5; (B) 13; (C) 7; (D) -12.設二維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為，則下面結果正確的是( )(A)； (B) (C) (D)。3.設( )(A) (B) (C) (D)。4.設( )(A) 0.6; (B) 0.4； (C) 0.8； (D) 0.2。5.設( )(A) (B) (C) （D） 。三、（10分）設甲，乙，丙三人在同一辦公室工作，辦公室有一部電話，據(jù)統(tǒng)計知，分別打給甲，乙，丙的電話次數(shù)之比為2：2：1.他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬觯?/p>

43、外出的概率分別是0.5，0.25，0.25.設三人的行動相互獨立.（1）求辦公室無人接聽電話的概率；（2）求被呼叫者恰好在辦公室的概率；（3）已知打進的一個電話沒有找到被呼叫人，求這個電話是找乙的概率。4、 （15分）設隨機變量的概率密度為，（1） 試判斷是否不相關，并說明理由；（2） 求的概率密度函數(shù)；（3） 問5、 （10分）設二維隨機變量的概率密度為分布函數(shù)是求（1）;(2).6、 （6分）設隨機變量相互獨立，求的概率分布。七、（11分）設總體均未知，取一個容量為16的樣本，樣本方差為,求：的置信度為0.95的雙側置信區(qū)間。（參考表值： 8、 （12分）（1）設總體（2） 設總體的概率密

44、度為的樣本，求參數(shù)a的極大似然估計。華中科技大學2015年秋季期末復習概率論·精選真題卷四（2012.1.1）1、 填空題（每小題3分，共18分）1.已知則_ 。2.某同學的書包中裝有本書,其中數(shù)學本,英語書現(xiàn)取到本數(shù)學書、本英語書的概率為_。3.設連續(xù)型隨機變量的概率密度為則常數(shù)_。4.設，且相互獨立，則_。5. 設為來自指數(shù)分布總體的樣本，則最小統(tǒng)計量的分布函數(shù)為_。6. 設總體,其中已知，為使的置信度為的置信區(qū)間的長度小，樣本容量應取為_。2、 單項選擇題（每小題3分，共18分）（將正確選項前的字母填入題后的括號內(nèi)）1、 設隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，則的值為 （ ） (A)

45、 ; (B) (C) (D) 。2、 設隨機變量的方差分別為36和25，相關系數(shù)為0.1，則的值為（ ） (A) 9; (B) 55; (C) 58; (D)61。 0 10.4 a b 0.1013. 設二維隨機變量的聯(lián)合分布列為（ ）且事件相互獨立，則（ ）（A） a=0.2,b=0.3; (B)a=0.4,b=0.1; (C)a=0.3,b=0.2; (D)a=0.1,b=0.4。4. 設二維隨機向量則的值為（A） 6; （B） 4; (C) 2; (D) 0。5. 設總體的數(shù)學期望和方差均未知，則的無偏估計為 （ ）（A） (B) (C) (D)6.設為來自正態(tài)總體的樣本，則 ( )(

46、A) (B) (C) (D)三、（12分）某課程一學期有兩次考試，某學生第一次及格的概率為p。若第一次及格，則第二次及格的概率也為p，若第一次不及格，則第二次及格的概率為p/2。（1）求該生兩次考試中至少有一次及格的概率；（2）求他第二次及格的概率；（3）若已知他第二次及格，求他第一次不及格的概率。4、 （10分）設隨機變量服從正態(tài)分布.(1) 求的概率密度；（2）求使最大。5、 （9分）設、為隨機事件，且令求：（1）二維隨機變量的分布列，（2）相關系數(shù)。六、（13分）設的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，（1）求;（2）求的邊緣概率密度函數(shù)； （3）判斷隨機變量與是否相互獨立.七、（10分）某人要測量A、

47、B兩地之間的距離，限于測量工具，將其分成1200段進行測量。設每段測量誤差（單位：千米）相互獨立，且均服從（-0.5，0.5）上的均勻分布。試求總距離測量誤差的絕對值不超過20千米的概率。八、(10分)設總體的概率密度為其中>-1是未知參數(shù), X1,X2,Xn 是來自總體的容量為n的簡單隨機樣本.求: (1) 的矩估計量；(2) 的極大似然估計量.華中科技大學2015年秋季期末復習概率論·精選真題卷五（2011.1.19）參考表值：1、 填空題（每小題3分，共24分）1、 設_。2、 設隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則_。3、 設隨機變量_。4、 設隨機變量_。5、 已知一批零件的長度服從正態(tài)分布從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是_。6、 設隨機變量_。7、 設_。8、 設有二維連續(xù)型隨機變量(U,