二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型

1、二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型 二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型 一、二次根式的定義 形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式. 其中" ' 叫做二次根號(hào), a 叫做被開方數(shù). （1 1 ）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù). . 據(jù)此可以確定字母的取值范圍; ; （2 2 ）判斷一個(gè)式子是否為二次根式, , 應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷: : 是否含有二次根號(hào) " ' ; 被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù). . 若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合, , 則是二次根式; ; 若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn), , 則不是二次根式. . （3 3 ）形如 a m （ a 0） ） 的式子也是二次根式, ,

2、其中 m 叫做二次根式的系數(shù), , 它表示的是: : a m a m × = （ a 0） ）; ; （4 4 ）根據(jù)二次根式有意義的條件, , 若二次根式 b a- 與 a b - 都有意義, , 則有 b a= . . 二、二次根式的性質(zhì) 二次根式 具有以下性質(zhì): （ （1 ）雙重非負(fù)性: a 0, a 0;（ （ 主要用于字母的求值） ） （ （2 ）回歸性: ( ) a a =2（ a 0 ）;（ （ 主要用于二次根式的計(jì)算） ） （ （3 ）轉(zhuǎn)化性:îíì£ -³= =) 0 () 0 (2a aa aa a .（ （ 主要

3、用于二次根式的化簡） ） 重要結(jié)論: : （1 1 ）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0, 則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于 0. 若 02= + + c b a , , 則 0 , 0 , 0 = = = c b a . . 應(yīng)用與書寫規(guī)范 : 02= + + c b a , , a 0 0, ,2b 0 0, , c 0 0 0 , 0 , 0 = = = c b a . . 該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值. . （2 2 ） ( )( )( )îíì£ -³ -= - = -b a a bb a b ab a b a2; ; 主要用于二次根式的化簡. . （3

4、3 ）( )( ) ïîïíì< × -> ×=0022a b aa b ab a , , 其中 b 0 0; ; 該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡: : 可以考慮把二次根號(hào)外面的系數(shù)根據(jù)符號(hào)以平方的形式移到根號(hào)內(nèi), , 以達(dá)到化簡的目的. . （4 4 ） ( ) b a b a × =22, , 其中 b 0 0. . 該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算. . 例 例 1. 式子11- x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則 則 x 的取值范圍是_. 分析: : 本題考查二次根式有意義的條件, , 即被開方數(shù)為

5、非負(fù)數(shù), , 注意分母不能為 0. 解 解: 由二次根式有意義的條件可知: 0 1> - x , 1 > x . 例 例 2. 若 若 y x, 為實(shí)數(shù),且 且211 1 + - + - = x x y , 化簡:11-yy. 分析: : 本題考查二次根式有意義的條件, , 且有重要結(jié)論: : 若二次根式 b a- 與 a b - 都有意義, , 則有 b a= . . 解 解: 1 - x 0, x - 1 0 x 1, x 1 1 = x 121210 0 < = + + = y 11111- =-=-yyyy. 題 習(xí)題 1. 如果 5 3 + a 有意義, 則實(shí)數(shù) a

6、 的取值范圍是_. 題 習(xí)題 2. 若 若 2 3 3 + - + - = x x y ,則 則 =yx _. 題 習(xí)題 3. 要使代數(shù)式 x 2 1- 有意義,則 則 x 的最大值是_. 題 習(xí)題 4. 若函數(shù)xxy2 1-= , 則自變量 x 的取值范圍是_. 題 習(xí)題 5. 已知 1 2 8 12 3 - - + - = a a b ,則 則 =ba _. 例 例 3. 若 若 0 4 4 12= + - + - b b a ,則 則 ab 的值等于 【 】 】 （ （a） ） 2 - （b ）0 （c ）1 （d ）2 分析: : 本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論: : 若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的

7、和為 0, 則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0. 解 解: 0 4 4 12= + - + - b b a ( ) 0 2 12= - + - b a 1 - a 0, ( )22 - b 0 0 2 , 0 1 = - = - b a 2 , 1 = = b a 2 2 1 = ´ = ab . 選擇【 d 】. 例 例 4. 無論 x 取任何實(shí)數(shù), 代數(shù)式 m x x + -62都有意義,則 則 m 的取值范圍是_. 分析: : 無論 x 取任何實(shí)數(shù), , 代數(shù)式 m x x + -62都有意義, , 即被開方數(shù) m x x + -62 0 恒成立, , 所以有如下兩種解法: : 解法一:

8、由題意可知: m x x + -62 0 ( ) 9 3 622- + - = + - m x m x x 0 ( )23 - x m - 9 ( )23 - x 0 m - 9 0, m 9. 解法二:設(shè) 設(shè) m x x y + - = 62 無論 x 取任何實(shí)數(shù), 代數(shù)式 m x x + -62都有意義 m x x y + - = 62 0 恒成立 即拋物線 m x x y + - = 62與 x 軸最多有一個(gè)交點(diǎn) ( ) m m 4 36 4 62- = - - = d 0 解之得: m 9. 例 例 5. 已知 c b a , , 是abc 的三邊長, 并且滿足 c c b a 20

9、100 8 62= + + - + - , 試判斷abc 的形狀. 分析: : 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合用于求字母的值. . 解 解: c c b a 20 100 8 62= + + - + - 0 100 20 8 62= + - + - + - c c b a ( ) 0 10 8 62= - + - + - c b a 6 - a 0, 8 - b 0, ( )210 - c 0 0 10 , 0 8 , 0 6 = - = - = - c b a 10 , 8 , 6 = = = c b a 100 10 , 100 8 62 2 2 2 2 2= = = + = + c b a

10、2 2 2c b a = + abc 為直角三角形. 題 習(xí)題 6. 已知實(shí)數(shù) y x, 滿足 0 8 4 = - + - y x , 則以 y x, 的值為兩邊長的等腰三角形的周長為 為 【 】 】 （ （a ）20 或 或 16 （b ）20 （ （c ）16 （d ）以上答案均不對 題 習(xí)題 7. 當(dāng) 當(dāng) = x _ 時(shí), 1 1 9 + + x 取得最小值, 這個(gè)最小值為_. 題 習(xí)題 8. 已知24 42 2- + -=xx xy ,則 則yx 的值為_. 題 習(xí)題 9. 已知非零實(shí)數(shù) b a, 滿足 ( ) ( ) a b a b a a = + + - + - + + - 4 1

11、 5 3 16 82 2,求 求1 - ba 的值. 提示: : 由 ( ) ( ) 1 52+ - b a 0, ,且 且 0 12> + b 可得: : 5 - a 0 , a 5. 例 例 6. 計(jì)算: （ （1） ） ( )26 ; （2） ） ( )23 2 + x ; （3） ）2323÷÷øöççèæ- . 分析: : 本題考查二次根式的性質(zhì): : ( ) a a =2（ a 0 ）. 該性質(zhì)主要用于二次根式的計(jì)算. . 解 解: （1） ） ( ) 6 62= ; （ （2） ） ( ) 3

12、2 3 22+ = + x x ; （ （3） ） ( ) 6329323323222= ´ =÷÷øöççèæ´ - =÷÷øöççèæ- . 注意: : ( ) b a b a × =22, , 其中 b 0 0. . 該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算. . 例 例 7. 化簡: （ （1） ）225 ; （2） ）2710÷øöçèæ -; （3

13、） ） 9 62+ - x x ( ) 3 < x . 分析: : 本題考查二次根式的性質(zhì): :îíì£ -³= =) 0 () 0 (2a aa aa a . . 該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡. . 解 解: （1） ） 25 25 25 2 = = ; （ （2） ）7107107102= - =÷øöçèæ -; （ （3） ） ( ) 3 3 9 622- = - = + - x x x x 3 < x 原式 x - =3 . 注意: : 結(jié)論: : ( )( )(

14、 )îíì£ -³ -= - = -b a a bb a b ab a b a2. . 該結(jié)論主要用于二次根式和絕對值的化簡. . 例 例 8. 當(dāng) 當(dāng) 3 - x 有意義時(shí), 化簡: ( ) ( )2 21 2 5 x x x - + - + + . 解 解: 二次根式 3 - x 有意義 3 - x 0 x 3 ( ) ( )2 21 2 5 x x x - + - + + 2 31 2 51 2 5+ =- + - + + =- + - + + =xx x xx x x 例 例 9. 化簡: ( ) ( )222 3 - + - x x

15、. 分析: : ( ) 2 22- = - x x , , 繼續(xù)化簡需要 x 的取值范圍, , 而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件: : 3 - x 的被開方數(shù) 3 - x 為非負(fù)數(shù). . 解 解: 由二次根式有意義的條件可知: 3 - x 0 x 3 ( ) ( )222 3 - + - x x 5 22 32 3- =- + - =- + - =xx xx x 例 例 10. 已知 1 0 < <a , 化簡 = - + - + + 2121aaaa _. 解 解: 1 0 < <a aa1< 2121- + - + +aaaa aaa aaaa aa

16、aaaaaaaa21 11 11 11 12 2=+ - + =÷øöçèæ- - + =- - + =÷øöçèæ- - ÷øöçèæ+ = 例 例 11. 已知直線 ( ) 2 3 - + - = n x m y （ n m, 是常數(shù)）, 如圖（1 ）, 化簡 1 4 42- - + - - - m n n n m . 解 解: 由函數(shù) ( ) 2 3 - + - = n x m y 的圖象可知: xy圖（1）o

17、 0 2 , 0 3 < - > - n m 2 , 3 < > n m 1 4 42- - + - - - m n n n m ( )( ) ( )11 21 21 21 22- =+ - + - - =- - - - - =- - - - - =- - - - - =m n n mm n n mm n n mm n n m 例 例 12. 已知 c b a , , 在數(shù)軸上的位置如圖（2 ）所示, 化簡: ( ) ( )22 2b a c c a a - - + + - . 解 解: 由數(shù)軸可知: b a c < < < 0 0 < +c a

18、 ( ) ( )22 2b a c c a a - - + + - b ab c a c a ab a c c a a- =- - + + + - =- - + + - - = 題 習(xí)題 10. 要使 ( ) ( )222 2 - = - x x , x 的取值范圍是_. 題 習(xí)題 11. 若 若 02= + a a ,則 則 a 的取值范圍是_. 題 習(xí)題 12. 計(jì)算: =÷÷øöççèæ243_. 題 習(xí)題 13. 計(jì)算: =÷øöçèæ -2221

19、_. 題 習(xí)題 14. 若 若 ( ) 3 32- = - x x 成立,則 則 x 的取值范圍是_. 題 習(xí)題 15. 下列等式正確的是 【 】 】 （ （a） ） ( ) 3 32= （b） ） ( ) 3 32- = - （ （c） ） 3 3 3 = （d） ） ( ) 3 32- = - 題 習(xí)題 16. 下列各式成立的是 【 】 】 ba c圖（2）0 （ （a） ）21212- =÷øöçèæ - （b） ） ( ) p p - = - 3 32 （ （c） ）21212=÷÷øö

20、ççèæ （d） ） 7 4 32 2= + 題 習(xí)題 17. 計(jì)算: ( ) = -27 2 _. 題 習(xí)題 18. 化簡: ( ) = + -22x x _. 題 習(xí)題 19. 若 若 = - + = + + + + - baa b b a a22 2 21, 0 1 2 1 3 則 _. 題 習(xí)題 20. 已知 0 1 < < - a , 化簡 41412 2+÷øöçèæ- + -÷øöçèæ+aaaa 得 得_.

21、題 習(xí)題 21. 實(shí)數(shù) c b a , , 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖（3 ）所示, 化簡代數(shù)式: 2 2 22 1 2 b ab a c b a a + - - - + + - 的結(jié)果為 【 】 】 （ （a） ） 1 2 - -c b （b） ） 1 - （ （c） ） 1 2 - -c a （d） ） 1 + -c b 題 習(xí)題 22. 化簡: ( )223 2 1 4 4 - - + - x x x . 例 例 13. 把 把a(bǔ)a1- 中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi), 結(jié)果是 【 】 】 （ （a） ） a - （b） ） a - （c） ） a （d） ） a - - 分析: : 本題實(shí)為二次根

22、式的化簡: : 某些二次根式在化簡時(shí), , 把根號(hào)外的系數(shù)移到根號(hào)內(nèi), , 可以達(dá)到化簡的目的, , 但要注意根號(hào)外面系數(shù)的符號(hào). . 有如下的結(jié)論: : ( )( ) ïîïíì< × -> ×=0022a b aa b ab a , , 其中 b 0 0. . abc圖（3）1 0 解 解: 由二次根式有意義的條件可知: 01> -a 0 < a aaaaa - - =÷øöçèæ -× - = -1 12. 選擇【 d 】.

23、題 習(xí)題 23. 化簡 ( )212-aa 得 得_. 三、二次根式的乘法 一般地, 有: ab b a = × （ a 0, b 0 ） （1 1 ）以上便是二次根式的乘法公式, , 注意公式成立的條件: : a 0, b 0 0. . 即參與乘法運(yùn)算的每個(gè)二次根式的被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù); ; （2 2 ）二次根式的乘法公式用于二次根式的計(jì)算; ; （3 3 ）兩個(gè)帶系數(shù)的二次根式的乘法為: : ab mn b n a m = × （ a 0, b 0） ）; ; （4 4 ）二次根式的乘法公式可逆用, , 即有: : b a ab × = （ a 0, b 0

24、） 公式的逆用主要用于二次根式的化簡. . 注意公式逆用的條件不變. . 例 例 14. 若 若 ( ) 6 6 - = - × x x x x 成立, 則 【 】 】 （ （a） ） x 6 （b ）0 x 6 （ （c） ） x 0 （d） ） x 為任意實(shí)數(shù) 分析: : 本題考查二次根式乘法公式成立的條件: : ab b a = × （ a 0, b 0） ） 解 解: 由題意可得:îíì³ -³0 60xx 解之得: x 6. 選擇【 a 】. 例 例 15. 若 若 1 1 12- × + = - x x

25、 x 成立,則 則 x 的取值范圍是_. 分析: : 本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件: : b a ab × = （ a 0, b 0 ） 解 解: 由題意可得:îíì³ -³ +0 10 1xx 解之得: x 1. 例 例 16. 計(jì)算: a a812 × （ a 0 ）. 解 解: a a a a a a a21214181281222=÷øöçèæ= = × = × （ a 0 ）. 題 習(xí)題 24. 計(jì)算: = ´ 27

26、31_. 題 習(xí)題 25. 已知 ( ) 21 233- ´÷÷øöççèæ -= m , 則有 【 】 】 （ （a） ） 6 5 < <m （b） ） 5 4 < <m （ （c） ） 4 5 - < < - m （d） ） 5 6 - < < - m 題 習(xí)題 26. 化簡 12 的結(jié)果是_. 四、二次根式的除法 一般地, 有: baba= （ a 0, 0 > b ） ） （1 1 ）以上便是二次根式的除法公式, , 要特別注意公式成立的條件;

27、 ; （2 2 ）二次根式的除法公式用于二次根式的計(jì)算; ; （3 3 ）二次根式的除法公式可寫為: : b a b a ¸ = ¸ （ （ a 0, 0 > b ）; ; （4 4 ）二次根式的除法公式可逆用, , 即有: : baba= （ a 0, 0 > b ） 公式的逆用主要用于二次根式的化簡, , 注意公式逆用的條件不變. . 五、最簡二次根式 符合以下條件的二次根式為最簡二次根式: （ （1 ）被開方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式; （ （2 ）被開方數(shù)中不含有分母或小數(shù). 注意: : 二次根式的計(jì)算結(jié)果要化為最簡二次根式. . 六、分母有理化

28、把分母中的根號(hào)去掉的過程, 叫做分母有理化. 如對21進(jìn)行分母有理化, 過程為:222 2221=´= ;對 對3 21+進(jìn)行分母有理化, 過程為 為:( )( )72 32 3 2 32 33 21 -=- +-=+. 由舉例可以看出, , 分母有理化是借助于分?jǐn)?shù)或分式的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)的. . 例 例 17. 計(jì)算: （ （1） ）654; （2） ）322 3238 ¸ ; （3） ） ( )2 27 28 y xy - ¸ . 解 解: （1） ） 3 9654654= = = ; （ （2） ） 2433816938832338382338383238322 3

29、238 = ´ = = ´ ´ = ¸ ´ = ¸ = ¸ ; （ （3） ） ( ) x x y xy y xy 2 4 7 28 7 282 2 2 2- = - = ¸ - = - ¸ . 例 例 18. 化簡: （ （1） ）65; （2） ） 4 . 0 ; （3） ） a a a 9 62 3+ - （ 3 > a ） ）. 解 解: （1） ）6306 66 56565=´´= = ; （ （2） ）51052524 . 0 = = = ; （ （3 ） 3 >

30、; a ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a a a 3 3 9 6 9 622 2 3- = - = + - = + - 注意: : 隨著學(xué)習(xí)的深入, , 在熟練時(shí)某些計(jì)算或化簡的環(huán)節(jié)可以省略, , 以簡化計(jì)算. . 例 例 19. 式子2121-+=-+xxxx成立的條件是_. 分析: : 本題求解的是 x 的取值范圍, , 考查了二次根式除法公式逆用成立的條件: :baba= （ a 0, 0 > b ） ）. 解 解: 由題意可得:îíì> -³ +0 20 1xx 解之得: 2 > x . 例 例 20. 計(jì)

31、算: （ （1） ）7523 ´ ; （2） ）51 20 -; （3） ）28 32 -. 解 解: （1） ）5225275237523 = = ´ = ´ ; （ （2） ）5525152051 20- = - =-; （ （3 ）解法 1: 2 2 4 4 162823228 32= - = - = - =-. 法 解法 2:( )224 8216 642 22 8 3228 32=-=-=´´ -=-. 二次根式的乘除混合運(yùn)算 例 例 21. 計(jì)算: （ （1） ）÷÷øöçç

32、;èæ -¸ ´212 23222330 ; （2） ） 18 27 12 ´ ¸ . 解 解: （1 ）原式÷÷øöççèæ -¸ ´ =252382330 2 32 4432 16435238302123- =´ ´ - =´ ´ - =´ ´ ´÷øöçèæ -´ = （ （2 ）原式 2 2

33、 8324182712= = = ´ = . 題 習(xí)題 27. 下列計(jì)算正確的是 【 】 】 （ （a） ） 3 2 12 = （b） ） （ （c） ） （d） ） x x =2 題 習(xí)題 28. 計(jì)算: = ¸ ´213827 _. 題 習(xí)題 29. 計(jì)算: = ¸32 6 43xx _. 題 習(xí)題 30. 直線 1 3 - = x y 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_. 題 習(xí)題 31. 如果 0 , 0 < + > b a ab , 那么下面各式: baba= ; 1 = ×abba; bbaab - = ¸ . 其中正確

34、的是_ （填序號(hào)）. 題 習(xí)題 32. 若 若 0 < ab , 則化簡2ab 的結(jié)果是_. 題 習(xí)題 33. 計(jì)算: （ （1） ）÷÷øöççèæ -´ ¸722 5 28 3212 ; （2） ）÷÷øöççèæ¸ ´214323618 1841. 例 例 22. 先化簡, 再求值:14 41132+ +¸÷øöçèæ

35、;+ -+ xx xxx, 其中 2 2 - = x . 解 解:14 41132+ +¸÷øöçèæ+ -+ xx xxx ( )( )( )( )( )( )222112 22111 11322+- =+×+- +- =+×úûùêëé+- +-+=xxxxxx xxxxx xx 2323=x x x - = -3 當(dāng) 2 2 - = x 時(shí) 時(shí) 原式 1 2 224 22 2 22 2 2- =- =+ - - = . 題 習(xí)題 34. 先

36、化簡, 再求值:111 21122-+¸+ -+- aaa aaa, 其中 1 2 + = a . 題 習(xí)題 35. 先化簡, 再求值:2 22 2 221y xy xy xxxy x+ -¸ ÷øöçèæ- -, 其中 6 , 2 = = y x . 題 習(xí)題 36. 下列根式中是最簡二次根式的是 【 】 】 （ （a） ）32 （b） ） 3 （c） ） 9 （d） ） 12 例 例 23. 觀察下列各式: ( )( )( )( )( )( ).; 3 44 3 4 34 34 31; 2 33 2 3 23 23 21; 1 22 1 2 12 12 11l l l- =- +-=+- =- +-=+- =- +-=+ （ （1 ）請利用上面的規(guī)律直接寫出100 991+的結(jié)果; （ （2 ）請用含 n （ n 為正整數(shù)