趙樹嫄微積分第四版第三章-導(dǎo)數(shù)與微分講課講稿

1、趙樹嫄微積分第四版第三章趙樹嫄微積分第四版第三章-導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與微分?jǐn)?shù)與微分自自由由落落體體221)(tgts , ,求求速速度度函函數(shù)數(shù) )(tv. . 解解所以所以tstvt 0lim)()21(lim0tgtgt .tg 例例1 1221tgttg 2221)(21gtttgs tgtgts 21( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線

2、問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置( (二二) ) 切線問題切線問題切線切線割線的極限位置割線的極限位置 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線 tank00)()(lim0 xxxfxfxx 00

3、)()(lim0 xxxfxfxx 割線割線 MN 的斜率為的斜率為切線切線 MT 的斜率為的斜率為求求拋拋物物線線2xy 在在1 x處處的的切切線線方方程程. . 解解, )1(21 xy.012 yx即即例例2 21xy因此切線方程為因此切線方程為221)1( xy,22xx ,2xxy 切線斜率為切線斜率為xykx 0lim)2(lim0 xx ,2 第二節(jié)第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念( (一一) ) 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義,)()(00內(nèi)內(nèi)有有定定義義的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xUxxfy 定義定義xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000如如果果對對于于自自變變

4、量量 x 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x的的增增量量x )(00 xUxx 和和相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值的的增增量量)()(00 xfxxfy , xy 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)有極限，時(shí)有極限， 比值比值 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可導(dǎo)導(dǎo)， 稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 并并記記作作)(0 xf , 即即 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000記記xxx 0, ,則則0 x等等價(jià)價(jià)于于0 xx , , 形式形式1形式形式2)(0 xf ，0ddxxxy 也可記為也可記為，0 xxy 等等。0d)

5、(dxxxxf 這樣，曲線的切線的斜率可以說成是曲線這樣，曲線的切線的斜率可以說成是曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)對該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化率，上點(diǎn)的縱坐標(biāo)對該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變化率，在實(shí)際應(yīng)用中， 常把導(dǎo)數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中， 常把導(dǎo)數(shù)0ddxxxy 稱為變量稱為變量 y 對變量對變量 x 在在0 x點(diǎn)的點(diǎn)的變化率變化率, 變化的快慢。變化的快慢。它表示函數(shù)值的變化相對于自變量的它表示函數(shù)值的變化相對于自變量的變化率有廣泛的實(shí)際意義，例如，加速度就是速度對于變化率有廣泛的實(shí)際意義，例如，加速度就是速度對于時(shí)間的變化率，角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對于時(shí)間的變化時(shí)間的變化率，角速度就是旋轉(zhuǎn)的角度對于時(shí)間的變化率，線密度就是物質(zhì)線段

6、的質(zhì)量對線段長度的變化率，率，線密度就是物質(zhì)線段的質(zhì)量對線段長度的變化率，功率就是所作的功對于時(shí)間的變化率，等等功率就是所作的功對于時(shí)間的變化率，等等. . 速度可以說成速度可以說成是行走的路程對于時(shí)間的變化率。是行走的路程對于時(shí)間的變化率。導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù))(xfy 在在開開區(qū)區(qū)間間 I 中中的的每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都可可導(dǎo)導(dǎo)，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間 I 上上可可導(dǎo)導(dǎo). 這這時(shí)時(shí), 對對每每一一個(gè)個(gè)Ix , xxfxxfxfx )()(lim)(0)( )(Ixxf 可以看成是定義在可以看成是定義在 I上的一個(gè)新的函數(shù)，上的一個(gè)新的函數(shù)， 稱稱它它為為原原來來的的函函數(shù)數(shù)

7、)(xf的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)(或或簡簡稱稱導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)), 也也可可以以說說成成 y 對對 x的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，并并記記作作y 或或 xydd. 用定義求導(dǎo)數(shù)的基本步驟：用定義求導(dǎo)數(shù)的基本步驟：;)()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例3 3解解求線性函數(shù)求線性函數(shù) bxay 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 )()(bxabxxay ,xa ,axy .lim0axyyx 例例4 4解解21)1(xx 求求函函數(shù)數(shù)xy1 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 xxxy11 )(xxxx )(1xxxxy xyyx 0lim)(1lim0 xxxx 21

8、x 例例5 5解解xx21)( 求求函函數(shù)數(shù)xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 ,xxxy xxxxxy )(xxxxx ,1xxx xyyx 0limxxxx 1lim0.21x 例例6 6解解233)(xx 求函數(shù)求函數(shù) 3xy 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 33)(xxxy ,)()(33322xxxxx xxxxxxxy 322)()(33,)(3322xxxx xyyx 0lim)(33lim220 xxxxx .32x 類類似似可可證證 1)( nnxnx （n 為為正正整整數(shù)數(shù)） ， 以后證明，以后證明，1)( xx( (為任意非零實(shí)數(shù)為任意非零實(shí)數(shù)) )。 ,0, 00,1sin)( xxxxxf011

9、/1/xy所所以以)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)； 極限不存在極限不存在,但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx所所以以)(xf在在0 x處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)。 )(lim0 xfx例例7 7 用定義討論函數(shù)用定義討論函數(shù)在在0 x處處的的連續(xù)連續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性。 解解xxx1sinlim0 0 , )0(f ( (二二) ) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy T0 xM切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 在幾何上， 函數(shù)在幾何上， 函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處的

10、導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(0 xf 表示曲線表示曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn))(,(00 xfxM處的切線的斜處的切線的斜率，即率，即 tan)(0 xf，其中，其中 為為切線的傾角。切線的傾角。 求曲線求曲線xy1 在點(diǎn)在點(diǎn))1, 1(處的切線方程和法線方程。處的切線方程和法線方程。 例例8 8解解切線斜率切線斜率 1)1( yk， ,12xy 所以切線方程為所以切線方程為, )1(1 xy即即 02 yx； 法線方程為法線方程為 )1(111 xy， 即即0 yx。 求求雙雙曲曲線線xy1 的的平平行行于于直直線線L：054 yx的的切切線線的的方方程程. 練習(xí)：練習(xí)：解解201xk ,41 所求切線方程

11、為所求切線方程為)2(4121 xy044 yx即即設(shè)設(shè)切切點(diǎn)點(diǎn)為為)1,(00 xx， ,2 0 x所所求求切切點(diǎn)點(diǎn)為為)21, 2(和和)21, 2( ， 或或)2(4121 xy或或.044 yxL的斜率的斜率( (三三) ) 左、右導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)2 2、右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)：1 1、左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)：;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo) 左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.

12、例例9 9.0|)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解)0( f0)0()(lim0 xfxfx, 1 . 1 ),0()0( ff.0| 點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxyxxx|lim0 xxx 0lim)0( f0)0()(lim0 xfxfxxxx|lim0 xxx 0lim設(shè)設(shè) 0 , 0 , 00 , )(32xxxxxxf, 求求)0(f . 所所以以 0)0( f. . 例例1010解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx20lim ,0 0)0()(lim)0(0 xfxffxxxx30lim ,0 xyo( (四四) ) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)

13、與連續(xù)的關(guān)系定理定理 函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)處必連續(xù)函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)處必連續(xù). .證證.)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以函函數(shù)數(shù)xxf由由于于)(xfy 在在0 xx 處處可可導(dǎo)導(dǎo), , 所所以以 yx 0lim xyx 0lim 存存在在且且為為)(0 xf , , xxyx 0lim xxyxx 00limlim 0)(0 xf,0 , )()(00 xfxxfy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf,1)0(,0)0( ff注意注意：該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立：連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo)。xy xyo|)(xxf .0處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 xxy2xy xy O1、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy

14、在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，但但)()(00 xfxf ，則則稱稱0 x為為函函數(shù)數(shù))(xf的的尖尖點(diǎn)點(diǎn)。函函數(shù)數(shù)在在尖尖點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)。 .0處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在 x(或稱導(dǎo)數(shù)無窮大或稱導(dǎo)數(shù)無窮大)注意：注意：此時(shí)存在鉛直切線。此時(shí)存在鉛直切線。例如，例如，3xy 在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,但但 ,)()(limlim0000 xxfxxfxyxx0)0()(lim0 xfxfxxxx30lim , 2、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，但但 稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處有有無無窮窮導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)(不不可可導(dǎo)導(dǎo))。 ,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,011/

15、1/xy所所以以)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù). . 極限不存在極限不存在,但但,1sinlim0 xx xxxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx3、設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，但但0 x處處的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都不不存存在在(指指擺擺動(dòng)動(dòng)不不定定)，則則0 x處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)。 所所以以)(xf在在0 x處處不不可可導(dǎo)導(dǎo). . , )0(01sinlim)(lim00fxxxfxx 設(shè)設(shè) 1 , 1 , )(23xbxaxxxf, , 求求適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡腶, ,b, ,使使 )(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo). . 1lim)(lim311 xxfxx, 因

16、因?yàn)闉?(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，從從而而連連續(xù)續(xù)，所所以以 因因?yàn)闉?(xf在在1 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,所所以以a23 ， 21,23 ba. . babxaxfxx )(lim)(lim211, 例例1111解解，3)1(lim21 xxx11lim)1(31 xxfx11lim)1(21 xbxafx1lim21 xaxax，a2 ,1 ba,1 ab )1(lim1 xax第三節(jié)第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則( (一一) ) 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)) ( )(CCxf hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0 .0)(

17、 C即即hh0lim0 則則( (二二) ) 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為正整數(shù)為正整數(shù)設(shè)設(shè)) ( nxyn hxhxynnh )(lim0lim12210 nnnnhhhxCxn,1 nxn.)( 1 nnxnx即即以后證明：以后證明：)0( )(1 xx)( x特別特別，12121 x,21x )1( x11)1( x.12x xx21)( 21)1(xx hxhhxChxCxnnnnnnnh 222110lim則則( (三三) ) 代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))(xuu , ,)(xvv 可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則vu 也也可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且有有 證證vuvu )(注注：公式：公式可推廣到有限多

18、個(gè)函數(shù)的可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和代數(shù)和。 . )()(xvxu )( vuxxvxuxxvxxux )()()()(lim0 xxvxxvxxuxxuxx )()(lim)()(lim00例例1 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： xxxxysin452323 .cos45492xxxy ( (四四) ) 乘積的導(dǎo)數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))(xuu , ,)(xvv 可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則vu也也可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且有有 證證vuvuuv )(因因?yàn)闉?(xv可可導(dǎo)導(dǎo), ,必必連連續(xù)續(xù), , 故故)()(lim0 xvxxvx , ,于于是是 )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()

19、(xxvxuxxvxxu )()()()(xvxuxxvxu ,)()(vxuxxvu xvxuxxvxuxyxxxx 0000lim)()(limlimlim. )()()()(xvxuxvxu vuvuuv )(1、ucuc )(； 推論推論wuvwvuvwuuvw )(證證wuvwuvuvw )()()(wuvwvuvu )(.wuvwvuvwu 2、可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的乘積，如可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的乘積，如 一般地，有一般地，有nnnnuuuuuuuuuuuu 21212121)(例例2 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： )23)(21( . 123xxxy )23(223x

20、xy)49)(21(2xxx .432423xxx 2. )50()2)(1()( xxxxf, , 求求)2(f . . )50()4)(3)(1()(xxxxxf! 48 或用定義：或用定義：2| )50()4)(3)(1()2( xxxxxf2)50()3)(2)(1(lim)2(2 xxxxxfx)50()4)(3)(1(lim2 xxxxx! 48 ( (五五) ) 商的導(dǎo)數(shù)商的導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))(xuu , ,)(xvv 可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且0 v，則則vu也也可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且有有 證證2)(vvuvuvu )()()()(xvxuxxvxxuy )()()()()()(xvxxvxxvx

21、uxvxxu )()()()()()()()()()(xvxxvxvxuxxvxuxvxuxvxxu ,)()()()(xvxxvvxuuxv 因因?yàn)闉?(xv可可導(dǎo)導(dǎo), ,必必連連續(xù)續(xù), , 故故)()(lim0 xvxxvx , ,于于是是 .)()()()()(2xvxvxuxvxu )()()()(xvxxvvxuuxvy 所以所以)()()()(xvxxvxvxuxuxvxy )(lim)(lim)(lim)(lim0000 xxvxvxvxuxuxvxyyxxxx 2)(vvuvuvu 2)1(vvv 特特別別地地，如如果果1)( xu，則則有有 例例3 3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下

22、列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1122 xxy22)1( xy)1(22 xx)1(22 xx.)1(422 xx或解或解12122 xxy,1212 x2)1(vvv 22)1(22 xxy.)1(422 xx( (六六) ) 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),ln xy 設(shè)設(shè)hxhxyhln)ln(lim0 axxaln1)(log xx1)(ln hxhh)1ln(lim0 .1x 即即)0()1ln( xxxhxhh/lim0 Natural log is natural.,lnlnlogaxxa 由對數(shù)換底公式由對數(shù)換底公式對對一一般般的的對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù))1, 0( log aaxya， ( (七七

23、) ) 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( xxe)e ( 即即特別地特別地,) 0(ln1 xaxax，設(shè)設(shè))1, 0()( aaaxfxhahahxlnlim0 ( (八八) ) 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),sin xy 設(shè)設(shè)hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 hhxhh)2cos(2sin2lim0 .cos x xxcos)(sin 即即類似有類似有xxsin)(cos )2cos(lim2sin2lim00hxhhhh 例例4 4.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)(tan xyxxxxx

24、2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2cos1 xx2sec)(tan xx2csc)(cot 類似可得類似可得即即)cossin( xx，x2sec 例例5 5.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)(sec xyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin xxxcotcsc)(csc 類似可得類似可得即即xxxtansec)(sec )cos1( x2)1(vvv )(sin x,cos x )(cos x,sin x )(tan x,sec2x )(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx )(csc x.cotcs

25、cxx 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式例例6 6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： xxxxylncossin2 xxxxxxxxy1coslnsincos2sin22 .cos)12(sin)ln1(xxxxxx 例例7 7.cos1sin5的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解例例8 8.sectan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxxy 解解2)cos1( 5xy 2)cos1(1cos5xx .cos15x xxytan21 xx2sec .tansecxx )cos1(cosxx )sin(sinxx 訓(xùn)練訓(xùn)練：求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù),ee )1(ee xyx.ee1e xyx,lncot )2(xxxx

26、yn .lncsccot21112 nnxxnxxxxxy2)ln1(1)ln1()ln1(1xxxxxy .)ln1(22xx ,ln1ln1 )3(xxy 或解：或解：1ln12 xy( (九九) ) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)， 函數(shù)處可導(dǎo)， 函數(shù))(ufy 在在對應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn))(xu 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為 xuuyxydddddd 或或 )()(ddxgufxy . 推廣推廣),(),(),(xhvvguufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))

27、(xhgfy . )()()(ddddddddxhvgufxvvuuyxy 證略證略例例9 9.sinln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy xuuyxydddddd xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解92)1(10dd xxyx2 .)1(2092 xx例例1111解解求求函函數(shù)數(shù)21xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 xxy21212 .12xx 例例1212解解例例1313解解求求函函數(shù)數(shù))1ln(2xxy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 211xxy ）（211xx .e1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy xy1sine x

28、1cos )1(2x 2221)1(1xxxxx .112x .1cose11sin2xxx 2211 )1ln(xxx 例例1414求求函函數(shù)數(shù)nxxyncossin 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . 解解.)1cos(sin1xnxnn sinsincoscossin1nxxnxxxnn xnyn 1sin xcos nxcos xnsin )sin(nx n sinsincoscos)cos( 例例1515求求冪冪函函數(shù)數(shù) xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 解解)( x)e (ln x xx )e (lnxx .1 x1)( xx訓(xùn)練訓(xùn)練：求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù),)sin23( )1(5xy )cos2()sin23(5

29、4xxy .)sin23(cos104xx ,1tan )2(xy )1(1sec22xxy ,)13csc( )3(3 xy33)13cot()13csc( xxy.)13cot()13csc()13(9332 xxx,2 )4(lnxxy xxyln2 2ln .ln1ln2xx 2)13(3 x3 .1sec122xx ( (十十) ) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數(shù)數(shù)且且內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)

30、、可可導(dǎo)導(dǎo)在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)證略證略( (十一十一) ) 反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例1616.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 ,1( xI)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x 211)(arccosxx 211)(arcsinxx )(sin1 y類似有類似有oxy1 12 2 例例1717.arctan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,tan yx )(arctan xy2sec1 y2tan11 .112x 211)(arct

31、anxx 211)cotarc(xx )(tan1 y類似有類似有xx22tan1sec xy2 2 )(arcsin x)(arctan x,112x )(arccos x,112x ,112x )cotarc( x.112x 反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式例例18 18 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： axaxaxyarcsin22222 )0( a2221xay 22222222212121xaaxaxxa .22xa 22222xaxx aaxa1)(11222 22222121xaxa ( (十二十二) ) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如如果果二二元元方方程程0),( y

32、xF確確定定了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù))(xyy ，稱稱之之為為隱隱函函數(shù)數(shù)。 問題問題：隱函數(shù)隱函數(shù)能否不經(jīng)顯化而直接求導(dǎo)能否不經(jīng)顯化而直接求導(dǎo) ?求求由由方方程程222ayx 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . 方方程程兩兩邊邊關(guān)關(guān)于于 x求求導(dǎo)導(dǎo)( (將將 y視視為為 x的的函函數(shù)數(shù)) ), ,得得 解解得得 yxy . . 顯顯化化后后, ,22xay , , 另另一一分分支支: : 22xay , , 例例1919解解x2比較：比較：22xaxy ；yx 22xaxy .yx y2 y ，0 求求由由方方程程pxy22 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy 的的導(dǎo)

33、導(dǎo)數(shù)數(shù). . 解解例例2020pyy22 解得解得.ypy 方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 求求由由方方程程yxyln 所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . 解解例例2121yyxyy 1ln解得解得.lnxyyyy 方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 求求由由方方程程ee xyy所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy 在在0 x處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . 例例2222解解當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,1 y, , ye，解解得得xyyy e .e1| 0 xy注注：先代入數(shù)值，再解方程，較簡便。：先代入數(shù)值，再解方程，較簡便。y y yx ，0 01e y

34、.e1| 0 xy方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 方方程程 422 yxyx 確確定定 y 是是 x 的的函函數(shù)數(shù)，求求其其曲曲線線上上在在點(diǎn)點(diǎn))2, 2( 處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方程程。 解解例例2323022 yyyxyx所求切線方程為所求切線方程為方程兩邊關(guān)于方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 將將2, 2 yx代代入入， ,04224 yy解得解得1 y， , )2(12 xy即即04 yx； 法法線線方方程程為為 )2(12 xy，即即0 yx。 解解 先變形為先變形為,)ln(21arctan22yxxy ,2221)/(112222yxyyxxyy

35、xxy ,yyxyyx . yxyxy 再再兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo)，22lnarctanyxxy 確定確定 y 是是 x 的函數(shù)，求的函數(shù)，求y 。 例例2424( (十三十三) ) 取對數(shù)求導(dǎo)法取對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù)方法方法：先在方程兩邊先在方程兩邊取對數(shù)取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)。適用范圍適用范圍：.)()( 的的情情形形函函數(shù)數(shù)較較復(fù)復(fù)雜雜的的函函數(shù)數(shù)以以及及冪冪指指用用乘乘、除除、根根式式表表達(dá)達(dá)比比xvxu.,e)4(1)1(23xxxyxxxy 例例2525解解142) 1( 3111e)4(1) 1(23 xxxxxxy

36、x等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln142)1(3111 xxxyy.e)4(1)1(23的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xxxxy 注意：需把注意：需把 y 換回成原來表達(dá)式換回成原來表達(dá)式。上式上式兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得嚴(yán)嚴(yán)格格講講, ,取取對對數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)取取絕絕對對值值, ,如如|ln2ln2xx , ,但但 說明：說明：,0 x) |(ln x,0 x)(1 xx,1x )ln( x所以所以.1) |(lnxx ;1)(lnxx ) |(ln x故省略絕對值。故省略絕對值。練習(xí)：練習(xí)：解解)41312111()4)(3()2)

37、(1(21 xxxxxxxxy等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy)41312111(21 xxxxyy.)4)(3()2)(1(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxxy上式上式兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得例例2626解解.),0(yxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得,lnlnxxy ,1ln xyy)1(ln xyy. )1(ln xxx或解或解)( xx)e(ln xx)e(ln xx)ln(eln xxxx)1(lneln xxx. )1(ln xxx對數(shù)恒等式對數(shù)恒等式)(lne)(xfxf 上式上式兩邊關(guān)于

38、兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得例例2727解解.dd,xyyxxy求求設(shè)設(shè) 等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 方程方程兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得思考：思考：解解?,sin yxxyx則則設(shè)設(shè),xxu 設(shè)設(shè), )1(ln xxux.cos)1(ln xxxyx 所所以以用對數(shù)求導(dǎo)法得用對數(shù)求導(dǎo)法得- - 局部對數(shù)求導(dǎo)法局部對數(shù)求導(dǎo)法?)sinln(xxx 例例2828求求冪冪函函數(shù)數(shù) xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 解解)( x)e (ln x xx )e (lnxx .1 x1)( xx( (十四十四) ) 由參

39、數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得xttyxydddddd txtydd1dd ，)()(tt 即即若參數(shù)方程為若參數(shù)方程為 )()(tytx 確定了確定了 y 是是 x 的函數(shù)， 則稱此函的函數(shù)， 則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(tx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù))(1xt ， 于于是是)(1xy , 再再設(shè)設(shè))(),(tytx 都都可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)( t ， .ddttxyxy 例例2929解解設(shè)設(shè) ttytxarctan)1ln(2，求求.ddxy t

40、ytyxydddddd 2212111ttt .2t 例例3030解解txtyxydddddd ，ttcos1sin taatacossin 1dd2 txy.2)cos1()sin(處處的的切切線線方方程程在在求求擺擺線線 ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為，)12( axay. )22( axy即即xyotaMPSNQ( (十五十五) ) 導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式)( C,0 )( x,1 x)( x)1( x,21x ,12x )( xa)e ( x)(log xa,lnaax )(ln x,ex ,ln1ax ,1x )(sin x,cos x

41、)(cos x.sin x )(tan x,sec2x )(cot x,csc2x )(sec x,tansecxx )(csc x.cotcscxx )(arcsin x,112x )(arccos x,112x )(arctan x,112x )cotarc( x.112x vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu )()()(xufxf ucuc )()(1 )(1xfxf )()(dd,)()(ttxytytx 第四節(jié)第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)問題：問題：變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。),(tfs 設(shè)設(shè)路路程程函函數(shù)數(shù)為為)()(tftv 則則瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度為

42、為的的變變化化率率對對時(shí)時(shí)間間是是速速度度加加速速度度tva )()()( tftvta如如果果)(xfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xfy 仍仍可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則 )( xf稱稱為為)(xf的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,記記為為)(xfy 或或22ddxy. . 一般一般, ,如果如果)(xf的的)1( n階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo), ,則它的導(dǎo)數(shù)則它的導(dǎo)數(shù)稱為稱為)(xf的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,記記)()(xfn或或nnxydd. . )dd(ddxyx解解例例1 1 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： bxay )1(nxycos )2( xysine )3( xytanln )4( (1),

43、ay .0 y(2),sinnxny .cos2nxny (3),cosesinxyx xxyxxsinecosesin2sin . )sin(cose2sinxxx (4)xxytansec2 xxcossin1 ,2sin2x .2sin2cos42xxy 例例2 2解解21ln21/11/122 xxxy.ln1arctanyxxxy 求求設(shè)設(shè)，21ln21112 xx.21)1(2 22xxxy 所所以以，xxxyln211arctan 例例3 3解解)11 (1122xxxxy .)1ln(2yxxy 求求設(shè)設(shè)，211x )11(2 xyxx2)1(21232 .)1 (232xx

44、212)1( x例例4 4求求 n 階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)：.),0()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解，1 xy)(1 xy，2)1( x，3)2)(1( xy .)1()1()(nnxny 則則不不為為正正整整數(shù)數(shù)若若, )(ny, !n ) !()1( nyn,0 則則為為正正整整數(shù)數(shù)若若,n ，nxy ，1 nnxy，2)1( nxnny，例例5 5.,1)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解, 2 , 1 ,!)1()1(1)( nxnxnnn,12xy .!)1(1)( nnnxny,23xy ,324xy 例例6 6.,ln)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解，xy1 .! )1()1(1)(nnnxny , 2 ,

45、 1 ,!)1()1(1)( nxnxnnn例例7 7.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos , )2sin( x)2cos( xy)22sin( x, )22sin( x, 2 , 1 , )2sin()(sin)( nnxxn , 2 , 1 , )2cos()(cos)( nnxxn 類似可得類似可得歸納可證歸納可證xy2sin , ,求求)(ny. . xxycossin2 2) 1(2sin21)( nxynn，x2sin ,22cos1sin2xx , )2sin()(sin)( nxxn)2cos()(cos)( nxxn例例8 8)()2(sinnx)22sin(2 n

46、xn解解或解或解)(2)(sinnx)22cos(221 nxn. )22cos(21 nxn常用常用 n 階導(dǎo)數(shù)公式：階導(dǎo)數(shù)公式：nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)6(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxe)e ()( 1)(!)1()1()5( nnnxnx( ( 不為正整數(shù)不為正整數(shù)) )第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分實(shí)例：實(shí)例：正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊

47、長長由由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx (1)(2)(1),;xA的線性函數(shù) 且為的主要部分(2) .x 的高階無窮小( (一一) ) 微分的定義微分的定義是是否否所所有有的的y 都都能能分分成成兩兩部部分分：一一部部分分是是x 的的線線性性部部分分，其其余余部部分分是是x 的的高高階階無無窮窮小?。?3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx 問題：問題：再再如如，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)3xy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的改改變變量量為為x 時(shí)時(shí)， 則函數(shù)則函數(shù)的改變量為的改變量為當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)， (1)是是x 的的線線性性部部分分， (2)是是

48、x 的的高高階階無無窮窮小小)( xo ， (1 )(2)及及在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0,)(xxfy 定義定義)()(00 xfxxfy 如如果果,0無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)而而與與是是僅僅依依賴賴于于其其中中xxA )( xoxAy 時(shí)可表示為時(shí)可表示為當(dāng)當(dāng)0 x是是比比)( xo ，高高階階的的無無窮窮小小量量x 即即或或記記作作,|d|d00 xxxfy 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可微微， 并并稱稱xA 為為)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量x 的的微微分分, xAyxx 0|d,0在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)xx differential定理定理

49、證證 (1) 必要性必要性,)( xxoAxy xyx 0lim 則則,A )(lim0 xxoAx xxoAx )(lim0函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可微微的的充充分分必必要要條條件件是是函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且有有xxfy )(d0. . 若若函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可微微，即即 即即函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)， 且且有有Axf )(0. , )( xoxAy 函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可微微的的充充分分必必要要條條件件是是函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且有有xxfy )(d0.

50、 . 定理定理證證 (2) 充分性充分性設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，即即 于于是是 )( xoxAy , , 即即 )( xoxAy , , )(lim00 xfxyx ,A記記 ,0)(lim0 Axyx,0lim0 xxAyx由由微微分分的的定定義義知知，函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可微微. 可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分為為函函數(shù)數(shù)Axf )(0 xxfyd)(d 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxf )( ).(ddxfxy 所以導(dǎo)數(shù)也稱為所以導(dǎo)數(shù)也稱為“微商微商”.)( xoxAy .1dd xxxy 所所以以，1)( xf( (二二) )

51、 微分的幾何意義微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 幾何意義幾何意義：( (如圖如圖) ).d,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標(biāo)就是切線縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)yy xx0 P .,|MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 以直代曲以直代曲 )( xoxAy xyy d例例1 1解解求函數(shù)求函數(shù)xysin 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x和和2 x的微分的微分. xxyd)(sind ,dcosxx 所以所以xyxd)0(cosd0 ,dx xyxd)2(cosd2 .0 例例2 2解解.02.

52、0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxyd)(d 3 ,d32xx 02. 02202. 023d xxxxxxy.24. 0 ( (三三) )基本微分公式基本微分公式xxfyd)(d )(d C)(d x)(dxa)e (dx)(logdxa)(lndx)(sindx)(cosdx)(tandx)(cotdx)(secdx)(cscdx)1(dx)(dx0 xxd1 xxd12 xxd21 xaaxdln xxde xaxdln1 xxd1 xxdcos xxdsin xxdsec2 xxdcsc2 xxxdtansec xxxdcotcsc )(arcsindx)(arctandx)(arccosdx)cotarc(dxxxd112 xxd112 xxd112 xxd112 微分法則：微分法則：vuvudd)(d uCCud)(d vuuvuvdd)(d 2dd)(dvvuuvvu ( (四四) ) 微分形式的不變性微分形式的不變性結(jié)論結(jié)論：的的微微分分形形式式總總是是函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無無論論)(,xfyx xxfyd)(d 設(shè)設(shè))(xfy