第八屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克解答

1、第八屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克（試題參考解答 寧波·北侖2011年7月）第一天1. 已知.（1）求的取值范圍；（2）對給定的,求（盧興江供題）解法1 記. 由知，且易知.（i）當時，等號當時，即時取到此時，特別當時，（ii）當時，令 當時單調(diào)增加，所以，此時綜上所述：（1）的取值范圍是 （2）當時，；當時，解法2 設. 因為，且，所以易知，（i）當時，令得，且有時，；時，。所以為最小值所以即，（ii）當時，令得，此時易知不是最小值，為最小值即，綜上所述：（1）的取值范圍是 （2）當時，；當時，2. 已知為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且，求的值（楊曉鳴供題）解答 由題設可得到：，又因為兩兩互質(zhì)，

2、所以。不妨設，所以又當，與矛盾。所以。顯然（1,1,1）是一組解。當時，。由又由當時，無解；逐個驗證得，。所以滿足條件正整數(shù)為（1,1,1），（12,3），（1,3,2），（2,1,3），（2,3,1），（3,2,1），（3,1,2）。 3設集合，正整數(shù)滿足：的任意一個35元子集中至少存在兩個不同的元素，使或.求出所有這樣的n.（李勝宏供題） 解答： 取，則對任意， 下面證明 . 設，不妨設； （i）當時， 考慮 由抽屜原理，存在，使，即（ii）當時， 由 由抽屜原理，至少存在，使，即（iii）當時，由于所以中至少有個屬于又由于至多有24個存在，使，所以（iv）當時，由至多有個由抽屜原理，存在

3、，使，即（v）當時，共個所以，存在，使得（vi）當時，若， 當時， 當時， 均存在，使若， 當時， 當時， 當時， 所以，均存在，使4過的外心任作一直線，分別交邊于，分別是的中點.證明：.（陶平生供題） 證：我們證明以上結論對任何三角形都成立分三種情況考慮，對于直角三角形，結論是顯然的，事實上，如圖一中左圖，若為直角，則外心是斜邊的中點，過的直線交于，則共點，由于是的中點，故中位線，所以；以下考慮為銳角三角形或鈍角三角形的情況，（如圖一中右邊兩圖所示）（圖一）先證引理：如右圖，過的直徑上的兩點分別作弦，連，分別交于，若，則. 引理證明：設，直線分別截，據(jù)梅涅勞斯定理，；則 而由相交弦，得 若的

4、半徑為，則 ，據(jù)得，即.因此.引理得證. 回到本題，如下圖（兩圖都適用），延長得直徑，在直徑上取點，使，設，連交于，由引理，（右圖中則是）因此，是的中點，故分別是及的中位線，于是得. 第二天5設是的三條角平分線，自作，分別在上，直線交于；類似得到點證明：三點共線（陶平生供題）證明：據(jù)梅尼勞斯逆定理，只要證， 由于直線截，得，所以 ；同理有 ， 由，得 又由，得 據(jù)、得；同理可得， 由于的三條角平分線共點，由塞瓦定理， ，于是由、得，即成立，因此結論得證6設為平面上n個定點，M是該平面內(nèi)線段AB上任一點，記為點與M的距離，證明：.（金蒙偉供題） 解答： 設原點為O，則有： 因此7設數(shù)列滿足：證明

5、：對于每個，皆為完全平方數(shù)（陶平生供題） 證：易求得數(shù)列開初的一些項為：，注意到，構作數(shù)列：，則對每個，為正整數(shù)我們來證明：對于每個，皆有：引理：數(shù)列滿足：對于每個，引理證明：令，則所以，于是 回到本題，對歸納，據(jù)數(shù)列的定義，若結論直至皆已成立，則對于，有即在時結論也成立故本題得證8將時鐘盤面上標有數(shù)字的十二個點分別染上紅、黃、藍、綠四色，每色三個點，現(xiàn)以這些點為頂點構作個凸四邊形，使其滿足：（）每個四邊形的四個頂點染有不同的顏色；（）對于其中任何三個四邊形，都存在某一色，染有該色的三個頂點所標數(shù)字互不相同求的最大值（陶平生供題）解：為敘述方便，改用分別表示這四種顏色，而同色的三點，則分別用；

6、以及來表示今考慮其中一色，例如色；若在這個四邊形中，色點出現(xiàn)的次數(shù)分別為，則，設；如果，則；再考慮這個四邊形（其色頂點要么是，要么是），它們中色點出現(xiàn)的次數(shù)分別為，則，據(jù)對稱性，可設，則，即；繼續(xù)考慮這個四邊形（其色頂點要么是，要么是；色頂點要么是，要么是），它們中色點出現(xiàn)的次數(shù)分別為，則，據(jù)對稱性，可設，則，即；最后考慮這個四邊形，記為（其色頂點要么是，要么是；色頂點要么是，要么是；色頂點要么是，要么是），由于色點只有三個，故其中必有兩個四邊形，其色點相同，設的色點都為；那么，三個四邊形中，無論哪種顏色的頂點，所標數(shù)字皆有重復，這與條件相矛盾！因此，再說明，最大值可以取到；采用構造法，我們只要作出這樣的九個四邊形即可作三個“同心圓環(huán)圖”，給出標號，并適當旋轉相應的圓，標號對齊后，圖中的每根線（半徑）上的四個點分別表示一個四邊形的四個頂點顏色及其標號，九條半徑共給出九個四邊形，且都滿足條件（）；再說明，它們也滿足條件（）：從中任取三條半徑（三個四邊形）；如果三條半徑（三個四邊形）來自同一個圖，則除了色之外，其余每色的頂點，三數(shù)全有；如果三條半徑（三個四邊形）分別來自三個圖，則色的頂點，三數(shù)全有；如果三條半徑（三個四邊形）分別來自兩個圖：將三個圖分別稱為圖、圖、圖，每圖的三條半徑分別稱為“向上半徑”、“向左半徑”、“向右半徑”；且分別記為來自兩