(完整版)高中數(shù)學(xué)選修4—4(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)知識點(diǎn)總結(jié)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)1 1 平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn) P(x,y)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn) ，在變換：g ()的作用y gy ()下，點(diǎn) P(x,y)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P (x ,y ), ,稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換, ,簡稱伸縮變2.2.極坐標(biāo)系的概念線Ox, ,叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位( (通常取弧度) )及其正方向( (通常取逆 時針方向),),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可但極坐標(biāo)系和

2、平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系(2)(2)極坐標(biāo)設(shè) M M 是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)0與點(diǎn) M M 的距離|0M|0M|叫做點(diǎn) M M 的極徑，記為；以極軸Ox為始 邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點(diǎn) M M 的極角，記為有序數(shù)對(，)叫做點(diǎn) M M 的極坐標(biāo)，記作M( , )般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為,可取任意實(shí)數(shù)特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時，它的極坐標(biāo)為(0,(0, )()( R).R).和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個 點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示如果規(guī)定0,02, ,那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(，)表示; ;同時, ,極坐標(biāo)(，)表示的點(diǎn)也是唯一確定的3.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化0, ,叫做

3、極點(diǎn)，自極點(diǎn)0引一條射(1)(1)極坐標(biāo)系在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)（1 1）互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x,x 軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,如圖所示: :互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（x, y）, ,極坐標(biāo)是（,）（0）, ,于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x, y）極坐標(biāo)（，）互化公式xcosy sin2 2 2x ytan (x 0)x在一般情況下，由tan確定角時，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角4.4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02 )圓心為（r，0），半徑為r的圓2r cos (

4、)22圓心為（r，一），半2徑為r的圓（通O；2r sin (0)過極點(diǎn)，傾斜角為的直線(1)(1)(R)或(R)(2)(2)(0)和(0)過點(diǎn)(a，0)，與極軸垂直的直線1O卜0)丘cosa()22過點(diǎn)(a，)，與極2軸平行的直線14()Ssina(0)注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即(,),(,2),(,),(,),都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同. .所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可. .例如對于極坐標(biāo)方程，點(diǎn)M(,)可以表示為4 45(,2 )或(，2 )或(-, )等多種形式,其中,只有(,)的極坐標(biāo)滿足方

5、4 44 4444 4程二、參數(shù)方程1.1. 參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個變數(shù)t的函數(shù)xf (t)，并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M (x，y)都在這條曲線上y g(t)那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. .2.2. 參數(shù)方程和普通方程的互化(1)(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程(2)(2)如果知道變數(shù)x, y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x f (t), ,

6、把它代入普通方程，求 出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y g(t), ,那么X f (t)就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與y g(t)普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3.3.圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓0的半徑為r，點(diǎn)M從初始位置M0出發(fā)，按逆時針方向在圓0上作x r cos勻速圓周運(yùn)動，設(shè)M(x,y)，貝U(為參數(shù))。y r sin這就是圓心在原點(diǎn)0，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中度。圓心為(a,b)，半徑為r的圓的普通方程是(x a)

7、2(y b)2r2,它的參數(shù)方程為：Xa rcos(為參數(shù))。y b r sin4 4橢圓的參數(shù)方程注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一的幾何意義是0M。轉(zhuǎn)過的角以坐標(biāo)原點(diǎn)0為中心,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2&1(a b 0),其參數(shù)方程為2程是y2a2a角，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 00 , 2 2 )。點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角 區(qū)分開來，除了在四個頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在0到2的范圍內(nèi))，在其他任何一點(diǎn)，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)2時，相應(yīng)地也有02，在其他象限內(nèi)類似。5.5.雙曲線的參數(shù)方程x a sec其參數(shù)方程為（為參數(shù)），其中0,2

8、）且，y bta n22 2焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2x21（a 0,ba b以上參數(shù) 都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6.6.拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y22px（p 0）的參數(shù)方程為:囂（t為參數(shù)）.7.7.直線的參數(shù)方程十x x0tcos而過M0（x。，y。），傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)）。y yt sin注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)M0（x0,y0）,傾斜角為的直線I的參數(shù)、x x0t cos萬程為（t 為參數(shù)），其中t表示直線I上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)y y t sinuuuuurM（x, y）為終點(diǎn)的有向線段MM的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)M在M。上方時，t 0 0;當(dāng)點(diǎn)M在M。下 方時，t v以坐標(biāo)原點(diǎn)0為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為b21(a 0,b 0),0）,其參數(shù)方程為bcota esc（為參數(shù)，其中(0,