2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第7節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 教案 (2)

1、1第七節(jié)第七節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)； 了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為 2,10，12的對數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù) yax(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且 a1)互為反函數(shù)21對數(shù)的概念如果 axn(a0 且 a1)，那么 x 叫做以 a 為底 n 的對數(shù)，記作 xlogan，其中 a 叫做對數(shù)的底數(shù)，n 叫做真數(shù)2對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：n；l

2、ogaabb(a0，且 a1)(2)換底公式：logablogcblogca(a，c 均大于 0 且不等于 1，b0)(3)對數(shù)的運算性質(zhì)：如果 a0，且 a1，m0，n0，那么：loga(mn)logamlogan；logamnlogamlogan；logamnnlogam(nr)3對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù) ylogax(a0 且 a1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a10a1性質(zhì)定義域：(0，)值域：r當 x1 時，y0，即過定點(1,0)當 0 x1 時，y0；當 x1 時，y0當 0 x1 時，y0；當 x1 時，y0在(0，)上為增函數(shù)在(0，)上為減函數(shù)34.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0

3、且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線 yx 對稱常用結(jié)論1換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab1logba；(2)logambnnmlogab.其中 a0 且 a1，b0 且 b1，m，nr 且 m0.2對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線 y1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)，故 0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù) ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)()(2)log2x22log2x.()(3)函數(shù) yln1x1x與 yln(1x)ln(1x)的定義

4、域相同()(4)對數(shù)函數(shù) ylogax(a0 且 a1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，1a，1，函數(shù)圖象不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1(log29)(log34)()a.14b.12c2d4d(log29)(log34)lg 9lg 2lg 4lg 32lg 3lg 22lg 2lg 34.故選 d.42已知，則()aabcbacbccbadcabd因為 0a1，b0，clog1213log231.所以 cab.故選 d.3函數(shù) y的定義域是_12，1由0，得 02x11.12x1.函數(shù) y的定義域是12，1.4函數(shù) yloga(4x)1(a0，且

5、a1)的圖象恒過點_(3,1)當 4x1 即 x3 時，yloga111.所以函數(shù)的圖象恒過點(3,1)考點 1對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算1.設 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于()a. 10b10c20d1005a由已知，得 alog2m，blog5m，則1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.解得 m 10.2計算：lg14

6、lg 25100-12_.20原式(lg 22lg 52)10012lg1225210lg 1021021020.3計算：1log632log62log618log64_.1原式12log63log632log663log663log6412log63log6321log632log6421log632log62log66log63log62log62log621.4已知 log23a,3b7，則 log37221的值為_2aab2aab由題意 3b7，所以 log37b.所 以 log37221 log6384 log284log263log22237log23272log23log23lo

7、g372log23log23log372aab2aab.對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時，必須保證恒等變形考點 2對數(shù)函數(shù)的圖象及應用對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應用方法(1)在識別函數(shù)圖象時， 要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、 函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形6結(jié)合法求解(1)(2019浙江高考)在同一直角坐標系中，函數(shù) y1ax，ylogax12(a0，且 a1)的圖象可能是()abcd(2)當 0 x12時，4xlogax，則

8、 a 的取值范圍是()a.0，22b.22，1c(1， 2)d( 2，2)(1)d(2)b(1)對于函數(shù) ylogax12 ，當 y0 時，有 x121，得 x12，即 ylogax12 的圖象恒過定點12，0，排除選項 a、c；函數(shù) y1ax與 ylogax12 在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項 b，故選 d.(2)構造函數(shù) f(x)4x和 g(x)logax，當 a1 時不滿足條件，當 0a1 時，畫出兩個函數(shù)在0，12 上的圖象，可知 f12 g12 ，即 2loga12，則 a22，所以a 的取值范圍為22，1.7母題探究1(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁?x2logax0 對

9、x恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍解由x2logax0得x2logax， 設f1(x)x2， f2(x)logax， 要使x時，不等式 x2logax 恒成立，只需 f1(x)x2在上的圖象在 f2(x)logax圖象的下方即可當 a1 時，顯然不成立；當 0a1 時，如圖所示要使 x2logax 在 x上恒成立，需 f1f2，所以有2loga12，解得 a116，所以116a1.即實數(shù) a 的取值范圍是.2(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?0 x14時， xlogax，求實數(shù) a 的取值范圍解若 xlogax 在 x成立，則 0a1，且 y x的圖象在 ylogax 圖象的下方，如圖所示，8由圖

10、象知14loga14，所以解得116a1.即實數(shù) a 的取值范圍是.1.(2019合肥模擬)函數(shù) yln(2|x|)的大致圖象為()abcda令 f(x)ln(2|x|)，易知函數(shù) f(x)的定義域為x|2x2，且 f(x)ln(2|x|)ln(2|x|)f(x)，所以函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，排除選項 c，d.當 x32時，f32 ln120，排除選項 b，故選 a.2已知函數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()aa1，c1ba1,0c1c0a1，c1d0a1,0c1d由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換知 0a1,0c1.93設方程

11、 10 x|lg(x)|的兩個根分別為 x1，x2，則()ax1x20bx1x20cx1x21d0 x1x21d作出 y10 x與 y|lg(x)|的大致圖象，如圖顯然 x10，x20.不妨令 x1x2，則 x11x20，所以lg(x1)，lg(x2)，此時，即 lg(x1)lg(x2)，由此得 lg(x1x2)0，所以 0 x1x21，故選 d.考點 3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)性質(zhì)問題的三個關注點(1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論(2)底數(shù)與 1 的大小關系(3)復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的比較大小(1)(2019天津高考)已知 alog52，

12、blog0.50.2，c0.50.2，則 a，b，c 的大小關系為()aacbbabccbcadcab(2)已知 alog2e，bln 2，clog1213，則 a，b，c 的大小關系為()aabcbbacccbadcab(1)a(2)d(1)因為 alog52log5512，blog0.50.2log0.50.51，c100.50.2121512，0.50.21，所以 acb，故選 a.(2)因為 alog2e1，bln 2(0,1)，clog1213log23log2e1，所以 cab，故選 d.對數(shù)值大小比較的主要方法(1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性(2)化同真數(shù)后利用圖象比較(3)借用

13、中間量(0 或 1 等)進行估值比較解簡單對數(shù)不等式(1)若 loga341(a0 且 a1)，則實數(shù) a 的取值范圍是_(2)若 loga(a21)loga2a0，則 a 的取值范圍是_(1)0，34 (1，)(2)12，1(1)當 0a1 時，loga34logaa1，0a34；當 a1 時，loga34logaa1，a1.實數(shù) a 的取值范圍是0，34 (1，)(2)由題意得 a0 且 a1，故必有 a212a，又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，同時 2a1，所以 a12.綜上，a12，1.對于形如 logaf(x)b 的不等式，一般轉(zhuǎn)化為 logaf(x)logaab

14、，再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為 f(x)ab或 0f(x)ab.而對于形如 logaf(x)logbg(x)的不等式，一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解和對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟11已知函數(shù) f(x)log4(ax22x3)，若 f(1)1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間解因為 f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54，a1，所以 f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函數(shù) f(x)的定義域為(1,3)令 g(x)x22x3，則 g(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減又 ylog4x 在(0，)上單調(diào)遞增，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)值域、最值和復合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與 1 的大小關系；三是復合函數(shù)的構成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用1.已知， 則 a， b， c 的大小關系為()aabcbacbccabdcb