絕對(duì)值化簡(jiǎn)及幾何意義

1、絕對(duì)值化簡(jiǎn)及幾何意義絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)a的絕對(duì)值記作a .絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.注意：取絕對(duì)值也是一種運(yùn)算， 運(yùn)算符號(hào)是“”求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值， 就是根據(jù)性質(zhì)去掉 絕對(duì)值符號(hào) 絕對(duì)值的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0. 絕對(duì)值具有非負(fù)性，取絕對(duì)值的結(jié)果總是正數(shù)或0. 任何一個(gè)有理數(shù)都是由兩部分組成：符號(hào)和它的絕對(duì)值，如：書符號(hào)是負(fù)號(hào)，絕對(duì)值是5.求字母a的絕對(duì)值：a(a 0) a 二 0(a =0)ga c0)a®-a(a

2、 <0)a嚴(yán)0)la(a 蘭 0)利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小 .絕對(duì)值非負(fù)性：如果若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0,那么這若干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為 0.例如：若 a|=0，貝U a =0，b =0，c =0絕對(duì)值的其它重要性質(zhì)：(1)任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù),也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)， 即a _ a，且a _ -a ;(2) 若 a| |b，則 a =b或 a =-b ;(3) b ； I；a% "0)；(4) |a|2=|a2| = a2 ；(5) |a| |b| a b| |a| ：|b ,對(duì)于a|a|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號(hào)或a、b中至少有一個(gè)0時(shí)

3、，等號(hào)成立;對(duì)于a| |b| |a - b，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab異號(hào)或a、b中至少有一個(gè)0時(shí)，等號(hào)成立.板塊一：絕對(duì)值代數(shù)意義及化簡(jiǎn)【例1】下列各組判斷中，正確的是A.若a -b，則-定有a - bC.若a b，則定有a b2 2 如果a > b ,則A.a bB. a > b( )B. 若a b，則一定有a bD.若|a -b，則一定有=b( )C. a ：bD a v b下列式子中正確的是( )A.a aB.： -aC. a _ _aD. a _ _a對(duì)于m -1，下列結(jié)論正確的是()A.m -1 >| m |B.m -1 <| m |C. m -1m | 1 D .m

4、 _1 w | m | _1若 x 2 x 2 =0，求x的取值范圍.【鞏固】 絕對(duì)值小于3 1的整數(shù)有哪些？它們的和為多少?【解析】 有理數(shù)a與b滿足a . b，則下面哪個(gè)答案正確（）A. a bB. a=bC. a :bD.無(wú)法確定【例2】如果有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，求ab_b_1 |a_c_1_c的值.« «1«1Aa b0 c 1【鞏固】 數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如右圖所示，試化簡(jiǎn) a+b +|b-a +|b - a -【例3】設(shè)a, b, c為非零實(shí)數(shù)，且 a| " a = 0, ab = ab , c - c = 0 . 化簡(jiǎn)

5、 b| |a b |c _b a c .【鞏固】若a ： -b且辛.0 ,化簡(jiǎn)a|冋b ab .【例 4】（1）已知 x=1999，貝U 4x2 5x+9 4x2+2x+2 +3x+7 =(2)滿足(a -b)2 (b -a) a -b二ab ( ab = 0)有理數(shù)a、b，一定不滿足的關(guān)系是()D. a b ： 0A. ab : 0B. ab 0C. a b 0(3)已知有理數(shù)a、b的和a b及差a -b在數(shù)軸上如圖所示,化簡(jiǎn) 2a F -2 a - b -7 .fl i x99920 =【鞏固】若 m = -1998，則 m2 +11m -999 - m2 +22m +【補(bǔ)充】若 x -

6、-0.239，求 x-1 x-3 川 X-1997 - x -x-2 -川-x-1996 的值.【例5】如果0 : m <10并且m乞x乞10，化簡(jiǎn)x - m x-10 亠x-m -10 .【鞏固】若a - b，求b-a，1|a-b-5的值.【例6】已知x ：；，化簡(jiǎn)【例7】若x <0 ,化簡(jiǎn) 制一2x|卜-3Hxl【鞏固】已知3 2 , b“，化簡(jiǎn)廿4a 2b24b 3-2a -3板塊二.分類討論-零點(diǎn)分段法零點(diǎn)分段討論的一般步驟：找零點(diǎn)t分區(qū)間t定符號(hào)t去絕對(duì)值符號(hào).【例8】閱讀下列材料并解決相關(guān)問(wèn)題：x x 0我們知道x = 0 x=0 ，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)

7、值的代數(shù)式，廠x(x£0)如化簡(jiǎn)代數(shù)式|x 1 -|x _2時(shí)，可令x V=0和x-2 = 0 ,分別求得x = -1, x = 2 (稱 -1,2分別為x 1與x-2的零點(diǎn)值)，在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值 x = -1和x=2可 將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下3中情況：當(dāng) x ： -1 時(shí)，原式x 1 X - 2 = -2x 1當(dāng)-1 < x ： 2 時(shí)，原式=x 1 一 x -2 =3當(dāng) x > 2時(shí)，原式_ =x 1，x-2=2x-1-2x 1 x ： -1綜上討論，原式 =3 -1 < x ：22x -1 x > 2通過(guò)閱讀上面的文字，請(qǐng)你解決下列

8、的問(wèn)題：分別求出x 2和x -4的零點(diǎn)值化簡(jiǎn)代數(shù)式x 2 x -4【例9】求m m_1 m_2的值.【鞏固】 化簡(jiǎn)：|x1 2 +x+1 .板塊三：關(guān)于已的探討應(yīng)用a23【鞏固】若a 0，則;若acO，貝U回=a【例11】若0：a：；1,_2：b，1，則的值是（）a1b+2 a+bC. -3A. 0B.-1D.4【例10】已知a是非零有理數(shù)，求【例12】已知abM，求齊：的值.【鞏固】若a , b , c均不為零，求-c . a b |c|【例13】a , b , c為非零有理數(shù)，且a b 0 ,則ab.bc.ca的值等于多少? |a|b |b|c c a【鞏固】如果a b -c 0， a -

9、b c 0，a、2002-ab c 0，求 Dlalb 2003(b)c )2004(c)的值.i鞏固】若a,b,c均不為零，且a b -o，求M c.【補(bǔ)充】如果2a b =0，求a-1+肛2冋b的值.板塊四、絕對(duì)值的非負(fù)性絕對(duì)值非負(fù)性：如果右干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,那么這右干個(gè)非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若 a| -|b| “|c =0 ,則 a =0 , b =0 , c =0【例14】若 a-4二-b，則a b =【例15】若m *3 + n -72+2 2p1 = 0 ,貝U p+ 2n+3m=【例16】設(shè)a、b同時(shí)滿足(a -2b)2 |b 1b 1 ，|a，b_3| = 0 .那么ab =

10、【鞏固】 已知（a +b）2 +b +5 =b+5，且 2a b 1 =0，那么 ab =板塊五、絕對(duì)值的幾何意義a的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離.a -b的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù) a、b對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離.【例17】mn的幾何意義是數(shù)軸上表示 m的點(diǎn)與表示n的點(diǎn)之間的距離.x的幾何意義是數(shù)軸上表示X|x-0 ( ，二， );的點(diǎn)與之間的距離；2 -1的幾何意義是數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離；則 2 -1 =;x -3的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離若 x -3 =1，則 x =.x - 2的幾何意義是數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離若 x

11、2，則 x 二.i當(dāng) x - -1 時(shí)，貝y X -2 x 2= .【例18】已知m是實(shí)數(shù)，求 m m-1 m-2的最小值【例19】已知m是實(shí)數(shù)，求 m _2 m _4 m _6| -.-|m _8的最小值【例20】如圖所示，在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊，其中A、B、C、D、E、F到城市的距離分別為4、10、15、17、19、20千米，而村莊G正好是AF的中點(diǎn)現(xiàn) 要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動(dòng)中心，使各村到活動(dòng)中心的路程之和最短，則活動(dòng)中心應(yīng)建在什么位置？城市【例21】x -1 x_2屮| x-2009的最小值為【鞏固】 不等式|x -.-|x -2 : 7的整數(shù)解有 個(gè).【例22】彼此不等的有理數(shù)a

12、,b, c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A , B , C ,如果ab|+b c| = ac|，那么A，B，C的位置關(guān)系是 .【鞏固】 有理數(shù)a、b、c、d各自對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上 X、Y、Z、R四個(gè)點(diǎn)，且(1) b_d 比 a_b , a_c、 a_d、 b_c、 c_d 都大；(2) d _a.-|a c 二 d c ;(3) c是a、b、c、d中第二大的數(shù).則點(diǎn)X、Y、Z、R從左到右依次是板塊六、絕對(duì)值最值與定值的探討【例23】若2a 4 5a 3a的值是一個(gè)定值，求 a的取值范圍.【鞏固】 若x-1計(jì)x-2 x J| x - 2008的值為常數(shù)，試求 x的取值范圍【例24】abcde是一個(gè)五位自然數(shù)，

13、其中a、b、c、d、e為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且 a ： b ： c ： d ,貝U ab +|b c +|cd +|d e 的最大值是 .且 abc ,貝 U( )ab ： 0-c - b c的值.【鞏固】a、b、c分別是一個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位上的數(shù)字， ab半bcc a可能取得的最大值是多少？【鞏固】已知0乞a乞4，那么a _2 3 _a的最大值等于 【習(xí)題1】若ab .；：Jab，則下列結(jié)論正確的是A. a ：0 ,b：0 B. a 0 ,b：0 C. a : 0, b 0 D.【習(xí)題2】如果有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，求abab -1 c 0 a 1【習(xí)題 3】已知 x ： 0 ： z, xy 0, y -