含參數(shù)導數(shù)問題分類討論

1、含參數(shù)導數(shù)的解題策略導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，利用導數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等，其中滲透并充分利用著構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、 數(shù)形結(jié)合等重要思想方法，導數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力。而含參數(shù)的導數(shù)問題是近年來高考的難點和熱點，本文著重就含參數(shù)導數(shù)的幾種常見的解題策略加以歸納. 一、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值策略在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù)，即：若 a f x恒成立，只須求出f X max，則a f X max ；若a f X恒成立，只須求出f X min，則a f

2、 X min，轉(zhuǎn) 化為函數(shù)求最值.例1、已知函數(shù)f (x) Xln x. (I)求f(X)的最小值；(n)若對所有x 1都有f (x) ax 1,求實數(shù)a的取值范圍.二、導數(shù)為0的點是否在定義域內(nèi)，分類討論策略求導后，導函數(shù)為零有實根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式)，但不知導函數(shù)為零的實根是否落在定義域內(nèi)，所以必須分類，通過令導函數(shù)為零的實根等于定義域端點值，求分點， 從而引起討論.例2.已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x) x2(x a).(I)若f (1) 3,求a的值及曲線y f(x)在點(1, f (1)處的切線方程；(n)求f (x)在區(qū)間0 , 2上的最大值.三、導函數(shù)為0是否存在，分類討論策略

3、求導后，考慮導函數(shù)為零是否有實根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式)，涉及到二次方程 問題時，與0的關(guān)系不定，所以必須分類，通過導函數(shù)是二次函數(shù)或者與二次函數(shù)有關(guān)， 令 =0,求分點，從而引起討論.例3、已知函數(shù)，討論在定義域上的單調(diào)性.四、導函數(shù)為0的方程的根大小不確定，分類討論策略求導后，導函數(shù)為零有實根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式) ，導函數(shù)為零的實根也落在 定義域內(nèi)，但這些實根的大小關(guān)系不確定，分不了區(qū)間 .所以必須分類，通過令幾個根相等 求分點，從而引起討論.2 3(1)36例4、已知m 0 ,討論函數(shù)f (x) mX一3(m 1)x 3m 6的單調(diào)性.e練習求導后，考慮導函數(shù)為零是否有實根

4、（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式）一、求導后，導函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。二、求導后，導函數(shù)為零有實根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）也落在定義域內(nèi)，但不知這些實根的大小關(guān)系，從而引起討論。,從而引起討論。，但不知導函數(shù)為零的,導函數(shù)為零的實根，,x 11. 08廣東（理） 設k R ,函數(shù)f （x）1 x1,x,F(x)1f (x) kx, x R,試討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性。2. （08浙江理）已知a是實數(shù)，函數(shù)f x JI x a（i）求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；（n）設g a為f x在區(qū)間0,2上的最小值。（i）寫出g a的表達式；（ii）求a的

5、取值范圍，使得 6 g a 2。3 （07天津理）已知函數(shù) f x2ax a2 1x2 1R ,其中a Ro（i）當a 1時，求曲線y f x在點2, f 2處的切線方程;（n）當a 0時，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間與極值。4 （07高考山東理改編）設函數(shù)2x bln x 1 ,其中b 0 ,求函數(shù)f x的極值含參數(shù)導數(shù)的解題策略例1、解：(I)略.(n) .對所有 x 1 都有 f(x) ax 1,1 對所有x 1都有xln x ax 1,即a In x -.x1 , 記g(x) In x , (x 0),只帚T a g(x) min . x人11令 g'(x) 0,解得 x 1. x

6、xg' (x) 0 x 1, g' (x) 00 x 1.當x 1時，g(x)取最小值g(1) 1.a 1.即a的取值范圍是 a a 1.例2.解：(I)略.(II )令 f '(x)0 ,解得 x10, x22a3當紅3當空30,即a 0時，f (x)在0, 2上單調(diào)遞增，從而fmaxf (2) 8 4a .2時，即a 3時，f (x)在0, 2上單調(diào)遞減，從而fmaxf (0) 0.當0 2a 2,即0 a 3, f(x)在02a上單調(diào)遞減， 在空2上單調(diào)遞增,3'33 '從而8 4a,0 a 2.max0,2 a 3.8 4a, a 2.綜上所述，

7、fmaX0, a 2.a例3、 解：由已知得f (x) 2x 1 一 x2x2 x a , ,(xx1)(1)當(2)當1 , 一 . . 一1 8a 0, a 時，f (x) 0恒成立，f (x)在(0,)上為增函數(shù).81 .1 8a 0, a 時，81111 8a一時，820, f(x)在上為減函數(shù)，f (x)在(0,1 J； 8a,1 J； 8a,)上為增函數(shù),1 、18a2)當a 0時，故f(x)在0, 1 " 8a上為減函數(shù),2f (x)在,+°°)上為增函數(shù).一1 一 .一.綜上，當a 時，f(x)在(0,)上為增函數(shù).8當0 a 1時，f(x)在1

8、1 8a,1 W 8a上為減函數(shù),822f(x)在(0,1亙,1二8a,)上為增函數(shù)， 22當a 0時，f (x)在(0,上為減函數(shù)，f (x)在,十上為增函數(shù).2小 mmx (m 3)x 32，、-例 4、斛： f (x) x,設 g(x) mx (m 3)x 3,令 g(x) 0 ,e3.倚 x1一 , x21 .m1)當 0 m 3 時，x x2,在區(qū)間(，二)，(1,)± g(x) 0,即 f (x) 0,m3、.所以f (x)在區(qū)間(,一),(1,)上是減函數(shù)； m,一、3_ _ _ 一 _,一、3在區(qū)間(士，1), g(x) 0,即f(x) 0,所以f(x)在區(qū)間(*，1

9、)上是增函數(shù)； mm2)當 m 3 時， x2 ,在區(qū)間(，1),(1,)±g(x) 0,即 f(x) 0,又 f(x)在x 1處連續(xù)，所以f(x)在區(qū)間(，)上是減函數(shù)；33)當 m 3時，x1 x2,在區(qū)間(,1),( 一，)上 g(x) 0 ,即 f (x) 0 , m3所以f(x)在區(qū)間(，1),(±,)上是減函數(shù)；m33 在區(qū)間(1,一)上，g(x) 0,即f (x) 0,所以f(x)在區(qū)間(1,一)上是增函 mm解：F (x) f (x) kx練習1.kx,x 1,1 x,F '(x),x 1 kx, x 121 k 1 x-,x 11 x1 2k、x

10、1，x 12 x 1考慮導函數(shù)F '(x) 0是否有實根，從而需要對參數(shù)k的取值進行討論。(一)若 x 1,則 F'(x)21 k 1 x21 x由于當k0時，F(xiàn)'(x) 0無實根，而當k 0時，F(xiàn) '(x) 0有實根,因此，對參數(shù)k分k0和k 0兩種情況討論。(1)當k 0時，F(xiàn) '(x) 0在(，1)上恒成立，所以函數(shù)F(x)在(，1)上為增函(2)當 k 0 時，F(xiàn) '(x)21 k 1 x21 x11k增函數(shù)。由 F'(x) 0,得 x1由 F'(x) 0,得 111k11 x1 k，x21,k1-,因為k .k1 ;由

11、F '(x)因此，當k 0時，函數(shù)F(x)在(1,1 廣)上為減函數(shù),.k(二)若 x 1 ,則 F '(x)2.x 1當k 0時，F(xiàn) '(x)0有實根，因此，對參數(shù)(1)當 k0時,0 ,所以 x11x2。1Jk在(11疝:，助上為由于當k 0時，F(xiàn)'(x) 0無實根，而k分k 0和k 0兩種情況討論。F '(x) 0在1,上恒成立，所以函數(shù) F(x)在1, 上為減函當k 0時，F(xiàn) '(x)k x 1 -2k,x 1由 F'(x) 0,得 x 11,一，；由 F '(x) 0,得 1 x 1 4k214k2一， ，一，一，、，1

12、,1因此，當k 0時，函數(shù)F(x)在1,1 -±-上為減函數(shù)，在 1 4k24k2為增函數(shù)。綜上所述:(1)當k 0時，函數(shù)F(x)在(1,1 尸)上為減函數(shù), k在(11，一去，1)上為增函數(shù),在1,上為減函數(shù)。 當k 0時，函數(shù)F(x)在(，1)上為增函數(shù)，在 1,上為減函數(shù)。(3)當k 0時，函數(shù)F(x)在(1，一 一 ，,1)上為增函數(shù)，在1,1 一2上為減函數(shù)，在4k11 -,上為增函數(shù)。4k2I ) 函數(shù)的定義域為 0,f x3 x3x a32.x 2,xax 0,由 f(x) 0 得 x 一。3a'一考慮一是否洛在導函數(shù)f (x)的定義域0,3兩種情況進行討論。

13、內(nèi)，需對參數(shù)a的取值分a 0及a 0(1)當 a 0 時，則 f (x) 0在 0,上恒成立，所以 f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,。 當a 0時，由f'(x) 0,得x與；由f'(x) 0 ,得0 x旦。 33因此，當a 0時，f x的單調(diào)遞減區(qū)間為0,a , f x的單調(diào)遞增區(qū)間為3（n） （ i）由第（i）問的結(jié)論可知:0時,在0,上單調(diào)遞增，從而 f x在0,2上單調(diào)遞增,所以0。0時,上單調(diào)遞減，在a,上單調(diào)遞增，所以:30,26時,x 在 0,3上單調(diào)遞減，在 -,2上單調(diào)遞3增,2a 'a2a, 3ao92,0,2上單調(diào)遞減，所以綜上所述,0,若a 0,無解;若

14、0 a 6,由2a3 , 、2 23,02。2a32解得3若a 6,由6衣22解得6綜上所述，a的取值范圍為33，,2。曲線y2,f處的切線方程為6x 25 y 32 0。（n）由于a 0,所以f2ax2 122x 2ax ax2 1 2i12a x a x -2- a。x 1(1)區(qū)間1由f x 0,得X1-,X2 a。這兩個實根都在定義域 R內(nèi)，但不知它們之間的大a小。因此，需對參數(shù) a的取值分a 0和a 0兩種情況進行討論。當a 0時，則為x2。易得f x在區(qū)間a,內(nèi)為減函數(shù)，在在X2(2)間(a,1一，,，一，一，-,a為增函數(shù)。故函數(shù)f x在x1 aa處取得極大值f a當a 0時，則

15、x11、, 一）為減函數(shù)。a故函數(shù)X2a處取得極大值4、解：由題意可得fX2。易得ff X 在 X11。的定義域為1,的分母X1在定義域1,方程2x22x b(1)當4 8b0,即所以g x22x2 2x b在 1,上恒成立，則f調(diào)遞增,從而函數(shù)f X在4 8b 0,即 b實根:X11,1 2b2,x21 一，一 一處取得極小值a在區(qū)間（，a）,1，一處取得極小值f aa2;函數(shù)(-,a0是否有實根，需要對參數(shù)1,、仙 2一時，方程2x 2x b2x 0在 1,上恒成立,1,上無極值點。12_,一時，方程2x 2x b2）內(nèi)為增函數(shù),a2;函數(shù)f在區(qū)2x2 2x b 一,f xb的取值進行討論。0無實根或只有唯一根這兩個根是否都在定義域1,i ） 當b 0時，X1所以函數(shù)f X在 1,上單0 ,即f x0有兩個不相等的內(nèi)呢？又需要對參數(shù) b的取值分情況作如下討論:1. 1 2b /112b,一； 142 ； 122由此表可知：當b 0時，f X有唯一極小值點x21 、J 2b2ii1 112b)當 0 b 一時， x1 221,X21,所以2Xi1,