2020高考文數(shù)(新課標版)教學案第4章第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

1、1第4章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一節(jié)平面向量的概念及線性運算考綱傳真i.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等 的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3. 掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運 算的性質(zhì)及其幾何意義.1.向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模).(2) 零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的.(3) 單位向量：長度等于 1 個單位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定： 0 與任一向量平行.(5) 相等向

2、量：長度相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算a三角形法則(1)交換律： a a+ b b= b b 十a(chǎn) a;(2)結(jié)合律：知識全通艾夯實基礎(chǔ)掃除盲點課刖2平行四邊形法則(a a+ b b) + c c= a a + (b b + c c)減法求 a a 與 b b 的相 反向量一 b b 的 和的運算叫做 a a 與 b b的差三角形法則a ab b=a a+(b b)數(shù)乘求實數(shù)入與向量 a a 的積的運算（1）ib匸 |洞；（2）當0 時，b的方 向與 a a 的方向相同；當： 0 時

3、，b的方向 與a a 的方向相反；當b0時，b= 0b0)(?+ da a b+a；ba a+b b) b+ b3.共線向量定理向量 a a（a a 0）與 b b 共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù) 入使得 b b=總常用結(jié)論1.一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后 一個向量終點的向量，即 A1A2+ A2A3+ A3A4+- + An-lAn= AlAn,特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.1 2.若 P 為線段 AB 的中點，O 為平面內(nèi)任一點，則 OP = 2（OA+ OB）.3.0A=xOB+ yOC（x, y 為實數(shù)），若點 A，B，C 共線

4、，則 x+ y= 1.4.AABC 中，PA+ PB+ PC = 0?點 PABC 的重心.基礎(chǔ)自測1.（思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“V”，錯誤的打“X”）（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.（）(2) 若 a a/ b b，b b/ c c,貝 U a a / c c()(3) a a / b b 是 a a= b 疋 R R)的充要條件.31（ ABC 中，D 是 BC 的中點，則 AD = 2（AC + AB）.（ ）答案X X X V2.（教材改編）如圖，D , E, F 分別是 ABC 各邊的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.EF = CDB.AB

5、 與 DE 共線 1 C.BD 與 CD 是相反向量D.AE = 2AC| 1 D D 選項 D 中，AE = 2AC，故 D 錯誤.3.對于非零向量 a a，b b，“a a+ b b= 0”是“ a a/ b b”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D.既不充分也不必要條件A A 由 a a+ b b= 0 得 a a= b b,根據(jù)向量共線定理知 a a / b b,但 a a / b bD? /a a+ b b=0,故選 A.4.（教材改編）如圖，？ABCD 的對角線交于 M，若 AB = a a, AD 二 b b,用 a a, b b表示 MD 為（）Aa

6、a+ 2b bC.a a MD = 2 命=2 AD B-11AC = xAB+ yAC,所以 x= 2，y= 6共線向量定理的應(yīng)1 題型 3in用【例 2】 設(shè)兩個非零向量 a a 與 b b 不共線，(1) 若 AB= a a+ b,b, BC= 2a a + 8b b, CD = 3(a a b b),求證：A, B, D 三點共線；(2) 試確定實數(shù) k,使 ka a+ b b 和 a a+ kb b 共線.解證明：TAB= a a+ b b, BC = 2a a+ 8b b, CD = 3(a a b b),-BD = BC + CD = 2a a + 8b b+ 3(a a b b

7、)=2a a + 8b b+ 3a a 3b b= 5(a a+ b b) = 5AB. AB, BD 共線，又它們有公共點 B, A, B, D 三點共線.(2)vka a+ b b 和 a a+ kb b 共線，存在實數(shù)入使 ka a+ b b=Xa a+ kb b),即 ka a+b b2a+入 b,b,- - (k 2)a a=(X 1)b b.a a, b b 是兩個不共線的非零向量，k X X 10,k210,k .規(guī)律方法共線向量定理的 3 個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量 a a, b b,若存在實數(shù) 入使 a aX(b bM0),則 a a 與b b 共線.10(2) 證明

8、三點共線：若存在實數(shù) 人使 AB= :AC,貝 U A, B, C 三點共線.(3) 求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.跟蹤練習 已知向量AB=a a+ 3b,b, BC = 5a a+ 3b,b, CD = 3a a+ 3b b,則()A.A,B, C 三點共線B . A, B, D 三點共線C.A,C, D 三點共線D . B,C, D 三點共線(2)(2019 黃山模擬)已知向量 a a, b b 是兩個不共線的向量，若向量 m m=4a a + b b與 n n = a a 2b 共線，則實數(shù)入的值

9、為()11A. 4 B. C. D. 444(1) B B (2 2)B B TBD= BC+ CD = 2a a + 6b b= 2(a a+ 3b b) =2AB,ABD,AB共線，又有公共點 B,AA, B, D 三點共線.故選 B.(2) 由題意知 m m= kn n,即 4a a+ b b= k(a a ?b?b).k= 4,k=4，f解得1故選 B.k 后 1, 4，1. (2018 全國卷I)在厶 ABC 中，AD 為 BC 邊上的中線，E 為 AD 的中點,真題自主驗效果近年哮題感悟規(guī)律11D.4AB+沅44則 EB=()A.4AB-1AC44B.4AB-3AC44C.|AB+1AC回|121 3 1 A A 由題可得 EB= EA+ AB= /AB + AC) + AB = 4AB4AC，故選 A.2. （2014 全國卷I）設(shè) D, E, F 分別為 ABC 的三邊 BC, CA, AB 的中點,則 EB+ FC =(B.ADD.BCEB+ FC = EC+ CB+ FB + BC 1 =EC+ FB = 2(AC + AB)=12AD = AD.3. （2