2020新教材人教A版必修第二冊(cè)第六章6.4課時(shí)作業(yè)15

1、課時(shí)作業(yè)15余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例 知識(shí)對(duì)點(diǎn)練 ZHI SHI DUI DIAN LIAN 知識(shí)點(diǎn)一距離問(wèn)題 1如圖，從氣球 A 測(cè)得濟(jì)南全運(yùn)會(huì)東荷、西柳兩個(gè)場(chǎng)館 B, C 的俯角分別為 a, B,此時(shí)氣球的高度為 h（A, B, C 在同一鉛垂面內(nèi)），則兩個(gè)場(chǎng)館 B, C 間的距 離為（） hsin B a sin ain B . 2船在海面 A 處望見(jiàn)兩燈塔 P, Q 在北偏西 15的一條直線上，該船沿東 北方向航行 4 海里到達(dá) B 處，望見(jiàn)燈塔 P 在正西方向，燈塔 Q 在西北方向，則兩 燈塔的距離為 _ 答案 （12 4 3）海里 解析 如圖，在 ABP 中，AB = 4,/AB

2、P= 45 , ZBAP= 60 ,hsin an B sin a B hsin B a sin asin B hsin a sin psin a D.-J sin asin a 答案 B 解析 在 RtDC 中，AC = 而，在AABC 中，由正弦定理，得 BC = ACsin B- a sin zAPB = 75 . AB sin ZPBA sin ZAPB 又在ABQ 中，/ABQ = 45 + 45 = 90 ； ZPAB = 60 ,：AQ = 2AB= 8. 于是 PQ= AQ- FA= 12-4 3, 兩燈塔的距離為(12-4.3)海里. 3.太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向

3、的公路，一輛汽車測(cè)得小島在公 路的南偏西 15 o的方向上， 汽車行駛 1 km 后， 又測(cè)得小島在南偏西 75 o的方向上， 則小島到公路的距離是 _ km. 答案-f 解析 女口圖，/CAB = 15 o，/CBA= 180 75 = 105，ZACB= 180 105 15 = 60，AB= 1 km.4sin45 sin75 o o=4( 3- 1). BC _ AB sin ZCAB_ si n/ACB 1 /6V2 /BC_晶 60n15 _FF（km）- 設(shè) C 到直線 AB 的距離為 d, 0 .6 ；2 ,6+ ；2 3 2,3 _W 4.如圖所示，在山底 A 處測(cè)得山頂 B

4、 的仰角/ CAB_45沿傾斜角為 30勺 由正弦定理得 則 d_ BC sin75 知識(shí)點(diǎn) 測(cè)量高度問(wèn)題 山坡向山頂走 1000 m 到達(dá)點(diǎn) S,又測(cè)得山頂仰角/ DSB_ 75則山高 BC 為（ ） A . 500 .2 m B. 200 m C. 1000,2 m D. 1000 m 答案 D 解析 VzSAB_ 45 30 _ 15 ZSBA_ZABCZSBC_45。 （90 75 _ 30 在ABS 中， 2 BC= AB sin45 =1000 2 = 1000(m). 5甲，乙兩樓相距 20 m,從乙樓底仰望甲樓頂?shù)难鼋菫?60從甲樓頂望乙 樓頂?shù)母┙菫?30則甲、乙兩樓的高分別

5、是 _ . 答案 20 3 m, 4 33 m 解析如圖所示：在 ABD 中， 甲 20 m 乙 由正弦定理得 AB = 20 sin60 =sin30 sin60 C 所以 h 甲=AB= 20 =20.3(m), 在AED 中，由正弦定理得 sA30 ED= 25/3(m)，在AEC 中，由 正弦定理得 siECo =siA60，EC = 203(m)，所以 h 乙=CD = ED EC = 403(m). 知識(shí)點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題 6.甲船在 A 處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東 60 的 B 處，乙船正以 a n mile/h 的速度向北 行駛.已知甲船的速度是 V3a n mile/h，甲船應(yīng)沿著 _

6、 向前進(jìn)，才能最快 與乙船相遇. 答案北偏東 30 解析 如圖，設(shè)經(jīng)過(guò) t h 兩船在 C 點(diǎn)相遇， 則在zABC 中，BC = at n mile, AC= 3at n mile, B= 180 60 120 t BC AC 由 sin /CAB sinB v0 ZCAB60 /CAB 30 , A/DAC 6030 30. 即甲船應(yīng)沿北偏東 30 的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇. 7如圖，位于 A 處的信息中心獲悉：在其正東方向相距 40 海里的 B 處有一 艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 處的乙船， 現(xiàn)乙船朝北偏東B的方向即沿直

7、線 CB 前往 B 處救援， 求 cosB的值. 東 解 連接 BC.在AABC 中，AB 40 海里，AC 20 海里，/BAC 120 ，由余 弦定理得，BC2 AB2+ AC2 2AB AC cos120 2800,：BC 20.7 海里. AB BC sin /CAB BCsinB at sin120 1 AC , 3at 2 由正弦定理 北 D申 C A sin ZACB sin /BAC， AB -HI 得 sinZACB= BCsin /BAC=. VzBAC= 120 貝 U/ACB 為銳角, cos/ACB 二罕 cosB= cos(ZACB + 30 ) =cosZACBc

8、os30 sin ZACBs in30 =護(hù)2器. 易錯(cuò)點(diǎn) 忽略審題環(huán)節(jié)，看圖不準(zhǔn)確致誤 8.在某次軍事演習(xí)中紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，在兩個(gè)相距為 好的軍事 基地 C和 D，測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在 A 處和 B 處，且/ ADB = 30，/ BDC =30,/ DCA = 60,/ ACB= 45.如圖所示，則藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離為 易錯(cuò)分析 在解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形的問(wèn)題時(shí)應(yīng)先根據(jù)條件應(yīng)用正、 余弦定理或三角形內(nèi)角和定理在一個(gè)三角形中求解邊和角，然后在此基礎(chǔ)上求解 另一個(gè)三角形，以此類推，首選哪一個(gè)三角形至關(guān)重要，原則是首選三角形與其 他三角形有一定聯(lián)系，且方便求解，該題圖中

9、三角形較多，若審題不細(xì)的話易導(dǎo) 致計(jì)算復(fù)雜或者無(wú)從下手. 答案 746a 正解 解法一：由題意知/ ADC = ZADB+/BDC= 60 , 又因?yàn)閆ACD = 60 ,所以ZDAC = 60 . 所以 AD= CD = AC= a. 在壬 CD 中，/DBC = 180 30 - 105 45 BD _ CD sin /BCD _ sin ZDBC 6+ ,2 sin /BCD 所以 BD_ CDsi/DBC 在AADB 中，由余弦定理得 2 2 2 3 2 AB = AD + BD 2AD BD cosZADB = 4a + 解法二：在ABCD 中，/CBD = 180 30 105 =

10、 45 , BC CD 由正弦定理得 sin30 = sin45， CDsin30 並 則 BC= sin45 = Ta， 在AACD 中，/CAD = 180 60 60 = 60 所以ACD 為等邊三角形.因?yàn)? ADB=/BDC, 所以 BD 為正ACD 的中垂線，所以 AB= BC46a. 課時(shí)綜合練 KE SHI ZONG HE LIAN 一、選擇題 1.某人向正東方向走了 x km 后，向右轉(zhuǎn) 150然后朝新方向走 3 km，結(jié)果 他恰好離出發(fā)地.3 km，那么 x 的值為（ ） A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3 D. 5 答案 C 解析 由題意及余弦定理得，C 3）2

11、_ 32 + x2 2X 3xcos30，解得 x_ . 3 或由正弦定理得 3+ 3 a， 2 a 3 一 00 2 ,3 3+ 3 3 Ta 4 aT 2 ,3,故選 C. 2如右圖，貨輪在海上以 40 km/h 的速度沿著方位角（從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn) 到目標(biāo)方向線的水平角）為 140 的方向航行為了確定船的位置，船在 B 點(diǎn)觀測(cè) 1 燈塔 A 的方位角為 110 ，航行1 h 到達(dá) C 點(diǎn)，觀測(cè)燈塔 A 的方位角是 65 ,貝慣 輪到達(dá)C 點(diǎn)時(shí)，與燈塔 A 的距離是（ ） AB= 1000 X 60 = 50(km)，A. 10 km C. 15 km 答案 解析在AABC =(180 丄

12、 140) + 65 由正弦定理，得 B.10 2 km D.15 2 km 1 中，BC = 40 X 2 = 20(km)，ZABC = 140 - 110 = 30 ；ZACB 105 : J 則 A= 180 - (30 +105 ) = 45 : BC sin ZABC 20 sin30 廠 AC = =盂 45= 10 2(km). sinA 3.如圖，飛機(jī)的航線和山頂 C 在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的海拔為 18 km， 速度為 1000 km/h， 飛行員到達(dá) A 點(diǎn)處看到山頂?shù)母┙菫?30 經(jīng)過(guò) 1 min 后到達(dá) 75 ,B 點(diǎn)處看到山頂?shù)母┙菫?1.732)( ) A. 1

13、1.4 km C. 6.5 km 答案 B 解析 AB . 0 50 BC= sin45 n3 二乖(km)- 山頂?shù)暮０螢?18- 11.4= 6.6(km).故選 B. 4. 某工程中要將一長(zhǎng)為 100 m 傾斜角為 75的斜坡， 改造成傾斜角為 30 勺 斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(zhǎng)() AD= 100sin75 =100sin(45 f 30 ) =100(sin45 cos30 f cos45 sin30 ) = 25( , 6+ . 2)(m)， CD= 100cos75 = 25( 6- . 2)(m)， BD = sA30 sin60 = 25(3 2+ 6)(m). B

14、C= BD-CD= 25(3.2+. 6)- 25( .6. 2) =100 . 2(m). 5. 如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn) A，B，C 處測(cè)得一建筑物的仰角分別為 30 45 60且 AB= BC = 60 m,則建筑物的高度為( ) 航線離山頂?shù)木嚯x50 x sin75 3,2 50 3【2 x 11.4(km). A. 100 ,2 m C. 50( , 2+ ,6) m 答案 A 解析如圖，由條件知, A. 15 6 m B. 20 6 m C. 25.6 m D. 30 , 6 m 答案 D 解析 設(shè)建筑物的高度為 h m,由題圖知， PA= 2h m, PB= .2h m, P

15、C = m, 在 zPBA 和 APBC 中，分別由余弦定理，得 2 2 2 602 + 2h2 4h2 C0S/PBA= 2X 60X】2h， 2 2 4 2 60 + 2h Jh C0S/PBC= 2X 60 x2h VzPBA+ZPBC= 180， cos/PBA+ cos/PBC= 0. 由，解得 h = 30 6 或 h= 30.6（舍去）， 即建筑物的高度為 30 6 m. 二、填空題 6. _ 作用在同一點(diǎn)的三個(gè)力 Fi，F(xiàn)2， F3平衡，已知 Fi = 30 N， F2= 50 N， Fi 與 F2之間的夾角是 60則 F3與 F1之間的夾角的正弦值為 _ . 答案詈 解析 由

16、題意，知 F3應(yīng)和 F1, F2的合力 F 平衡.設(shè) F3與 F1之間的夾角為9, 作圖（如圖），可知當(dāng)三力平衡時(shí)，由余弦定理得 F3 = 302+ 502 2X 30X 50X coS180 60 70 N,再由正弦定理得 50 70 sin(180 B) sin(180 60 ， 加 50sin120 5 羽 即 sin A5 前. 7. 某艦艇在 A 處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東 45 ,距離為 10 n mile 的 C 處，此 時(shí)得知，該漁船沿北偏東 105 方向，以每小時(shí) 9 n mile 的速度向一小島靠近，艦 艇時(shí)速 21 n mile，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是 _ h. 2 答案

17、 2 解析 設(shè)艦艇和漁船在 B 處相遇，則在ABC 中，由已知可得：ZACB= 120 , 設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間為 t h，貝 U AB= 21t n mile, BC = 9t n mile, AC= 10 n 2 2 2 5 mile，則(21t) = (9t) + 100-2X 10X 9tcos120 ,解得 t =3或 t 二袒舍去) x cm 捕捉到一只小蟲(chóng)，然后向右轉(zhuǎn) 105爬行 10 這時(shí)它向右轉(zhuǎn) 135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么 x= _.8.蜘蛛沿東北方向爬行 cm 捕捉到另一只小蟲(chóng)， 答案吟6 cm 解析如圖所示, 設(shè)蜘蛛原來(lái)在 O 點(diǎn)，先爬行到 A 點(diǎn)，再爬行到 B 點(diǎn)

18、, 易知在AAOB中, AB= 10 cm,/OAB = 75 , ZABO = 45 ,貝UZAOB = 60. 由正弦定理 三、解答題 9. 某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為 三角形的環(huán)保標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別 ABC,A ABD，經(jīng)測(cè)量 AD = BD = 7 米，BC= 5 米，AC = 8 米，Z C = Z D.求 AB 的長(zhǎng)度. 解 在ABC 中，由余弦定理得: 在ABD 中，由余弦定理得: 由 ZC=ZD，得 cosC = cosD， 解得 AB= 7,所以 AB 的長(zhǎng)度為 7 米. 10.如右圖，漁船甲位于島嶼 A 的南偏西 60 方向的 B 處，且與島嶼 A 相距 12nmile，漁船乙以 10nmile/h 的速度從島嶼 A 出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲 同時(shí)從B 處出發(fā)沿北偏東a的方向追趕漁船乙，剛好用 2 h 追上. (1)求漁船甲的速度； AB sinZABO x= = sin ZAOB 10X sin45 10. 6 sin60 = 3 (cm). cosC = 2 2 2 AC + BC AB 2 9 8 + 5 AB 2AC BC 2X8X 5 cosD = 2 2 2 AD + BD AB 2AD BD 2 2 7 + 7 AB 2X 7X 7 求 sin a的值. 解