應(yīng)用平面向量基本定理解題題型歸納

1、平面向量基本定理常用題型歸納何樹衡建一平面向疑基本定理：如果無云是同一平面的兩個不共線向更 那么對于這一平面的 任意向疑二 有且僅有一對實數(shù)人仏使得二人石+易&平面向量基本定理是正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它為“數(shù)''和“形”搭起了橋梁， 在向量知識體系中處于核心地位.筆者對近十年高考有關(guān)平面向量基本定理題目作了系統(tǒng) 研究，認(rèn)為大致分為以下題型：一、基本題型隨處可見11直接利用入,入唯一性求解例1：在直角坐標(biāo)平面上，已知0是原點，OA = (2,r)QB = (2,-2),若xOA+<)B = 3AB.數(shù)才丿的值xOA + yOB = x(2,-4)+ y(2今一2

2、) = (2x 2y, 4x 2 y)AB = OB-OA = (-492)2x-2v = -12_4x_2y = 6即x為一3, y為3.1.2構(gòu)建三角形，利用正余弦定理求解例2：如圖，平面有三個向OA.OBOC.其中頁與麗夾角為1209 , OAOC的夾角為 30e , 網(wǎng)=阿=1,網(wǎng)=2館，若 OC = AOA +/ e R),則解：過C作CD0B交0A的延長線于D,在RtAODC二、共線問題?？汲Ｐ?. 1感受平面三點共線的結(jié)論在解題中簡明快捷。常用結(jié)論：點0是直線/外一點，點兒B是直線/上任意兩點，求證：直線上任意一點P,存在實數(shù)匚使得0P關(guān)于基底OA,OB的分析式為OP = （-t

3、OA + tOB2 A反之，若OP = （-tOA + tOB則A, P, B三點共線:* 1 - 1 ，（特別地令分吩尹+嚴(yán)稱為向量中點公式）D 1 , 一例 3：在ZXABC 中，AN = NC、P 是 BN 上的一點，若 AP = mAB + AC9 則實311解：儷氣忌儷冷疋PCA數(shù)刃的值為VBtP,N 三點共線，?. XP = mAB+(-m)AN又9：AP = mAB + 79 :./if 11 112.2感受向量數(shù)形二重性在證明平面幾何中獨特魅力例4：在平行四邊形OACB中，BD二丄BC, 0D與BA相交于E,求證：BE二丄BA 34證明：如圖，設(shè)E，是線段BA上的-點，且BE*

4、只需證E, 重合即可 ' f1 f一f1設(shè) OA = a , OB = b、BD = a > OD = h + a 33 f 1 ' f i ff 3 1 3 '*OEl = OB + BE： = h + -BA = b + -(a-b) = -(a + 3b) = -(b + a) = -OD 444434OE .D三點共線EE 重合,BE= -BA4三. 區(qū)域問題漸成熱點由平面三點共線定理拓展可以研究區(qū)域問題，為解決線性規(guī)劃問題畫出可行域提供理 論上依據(jù)和操作上的便利，也可以解決向量中類似于點所在位置問題.定理：設(shè)O,A.B為平面不共線的三個定點，動點C滿足O

5、C = xOA + y）ByR）9 記直線OA, OB. AB分別為 心屆厶b,平面被分成如圖7個部分（I -VD）,得出結(jié)論表（1）,表一充要條件動點C所在區(qū)域（不x,y滿足條件Ix>0, y>0 且 x+y<lIIx>0, y>0 且 x+ylIIIx>0, y<0 且 x+ylIVx>0, y>0 且 x+yl 或 x<O.y>lVXO.OCyWlVI0<xl,y<0VIIX<0,y<0表表充要條件 動點c在x,y所滿足條件相同特征不同特征C在線段AB上x+y=lx>O,yOC在線段AB的延長

6、線上x<O,y>OC在線段BA的延長線上x>O,y<OC在線段OA上y=OOWxWlC在線段OA的延長線上X>1C在線段AO的延長線上x<0C在線段OB上x=OOWyWlC在線段OB的延長線上y>lC在線段BO的延長線上上y<0在近十年高考題中，區(qū)域問題常以下面兩種題型出現(xiàn).3.1動點所在位置定，判斷系數(shù)滿足條件例5：如圖，平面的兩條相交直線OPi和0匕將該平面分割成四個部分，I （不包括邊界)，若OP = aOP+bOPA. a>0.b>0B. a>0,b<0C. a<0,b>0D. a<0,b<

7、0 答案：B且點P落在第【I【部分，則實數(shù)a,b滿足（例6：如圖OMAB，點P在射線01,射線0B及AB的延長線圍成的陰影部分（不含邊界）運動，且顯Q+顧則X的取值圍是，當(dāng)時，y的取值圍 是ST上（不包括端點）由區(qū)域V性質(zhì)得X0.0WW1.當(dāng)頁=丄麗=丄（OBOA） = -OA + -OB9此 2 2 2 2時尸丄當(dāng)T在AB的延長線上時，由表（2）得C在線段AB延長線上時XO,y>0且卅產(chǎn)12+y=l2 32EP-<y<-223. 2系數(shù)滿足條件定，判斷動點所在位置OA 08=2平面上定點A . POP = AOA +|/| +1/|< 1 (2,/ e /?)所表示的

8、區(qū)域面積是( )術(shù)2 2 邁B. 23C 4、伍答案：DB'解：令帀與X軸的非負半軸重合，麗在第一象限.網(wǎng)卜阿彳網(wǎng)cosZAOB二2ZA0B= y在第一象限，兄 >0 “ >0 OP = WA + pOB兄 + W1P點形成圖形的面積為S* 4 OAOB S加ZA0B二| X 2 X 2 X sin -= V3，同理23Sa* b* 屈二4 a/3鞏固練習(xí)及參考答案1. 已知 a = (1,2)3 = (3,4),c = (15,22),若 c = Aa4-而,求 2 , /2. 已知AABC和點M滿足+= 0 9若存在實數(shù)刃使得AB + AC = mAM成立，則滬()B. 3C. 4D. 5A. 23如右圖，在ABC中，點M是BC的中點, 點N在邊AC 且AN=2NC, AM與BN相交于點 P,求AP： PM的值.4.已知平行四邊形ABCD.點P為四邊形部 或者邊界上任意一點，向量麗=xAB+yAD,12則0OWyW二的概率是()23丄4參考答案：1. 2=3, “二