函數(shù)的微分(-54)ppt課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容微分的定義；微分的定義；微分的幾何意義；微分的幾何意義；求函數(shù)的微分；求函數(shù)的微分；微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用.一、問題的提出一、問題的提出實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改動(dòng)量正方形金屬薄片受熱后面積的改動(dòng)量. .200Ax 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由2( )A xx 002200()()()AA xxA xxxx .)(220 xxx )1()2(,;xA 的的線線性性函函數(shù)數(shù) 且且為為的的主主要要部部分分,.xx 的的高高階階無無窮窮小小 當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0

2、220()lim0()().xxxxx 面積函數(shù)面積函數(shù)再如再如, ,30,.yxxxy 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的改改變變量量為為時(shí)時(shí) 求求函函數(shù)數(shù)的的改改變變量量3300()yxxx .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 02023()3.xyxxxx ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值2320000330()()limlim() xxxxxxxxx 2303()()()xxxx 00(),()xx )1(問題問題: :這個(gè)線性函數(shù)這個(gè)線性函數(shù)( (改動(dòng)量的主要部分改動(dòng)量的主要部分) )

3、能否一切函數(shù)的改動(dòng)量都有可微的條能否一切函數(shù)的改動(dòng)量都有可微的條件件? ?它是什么微分的定義它是什么微分的定義? ?如何求如何求? ?二、微分的定義是什么？二、微分的定義是什么？定義定義000000000( ),(),( ),( ),()()(,.)xxxxyf xxxxAxyf xxyf xxxdydf xyf xxf xAdyAxoxAxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義及及在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)如如果果成成立立 其其中中 是是與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微 并并且且稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量的的微微分分記記作作或或即即.

4、dyy 微微分分叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量的的線線性性主主部部( (微分的本質(zhì)微分的本質(zhì)) )定義的幾點(diǎn)闡明：定義的幾點(diǎn)闡明：;)1(的線性函數(shù)的線性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量 xdy ;)()2(高高階階無無窮窮小小是是比比xxodyy ;,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy 1( )()AxxoxAxAx ).0(1 x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(,)5(線性主部線性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx (定理定理)三、可微的條件三、可微的條件( (什么樣的函數(shù)可微？什么樣的函數(shù)可微？) )000( )()(

5、).f xxAfxf xx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微, ,且且的的充充要要條條件件是是函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)定理定理0000()( )()()xxdyfxxf xxyfxxx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy 000()()limlimxxyoxfxAxx .A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性0(),yfxx 即即,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf),(lim00 xfxyx 0lim0,x 且且0(),yfxxx 從從而而),0(0 x0()()

6、,yfxxox 00limlim0,xxxx 00( ),().f xxfxA 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微且且( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函數(shù)數(shù)在在任任意意點(diǎn)點(diǎn) 的的微微分分 稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的微微分分 記記作作或或即即例例1 1解解, ,.yxdy 求求( )1,dyxxxx ,yx 由由于于故故得得.dydxx 什么意思？什么意思？自變量的增量就是自變量的微分：自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫成函數(shù)的微分可以寫成: :該例闡明該例闡明: :xdx ( )dyfx dx ( )( )df xfx dx 或或 ( ),( ).dydyfx dxfx

7、dx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有即函數(shù)即函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分微分 d y 與自變量的微分與自變量的微分 d x 的商的商, 故導(dǎo)數(shù)故導(dǎo)數(shù)也也可稱為微商可稱為微商.例例2 2解解213yxxx 求求函函數(shù)數(shù)在在和和處處的的微微分分。2()dyxx 2x x2, x 1xdy 12xx x 6. x 3xdy 32xx x 例例3 3解解32,0.02.yxxx 求求函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的微微分分xxdy )(3.32xx 2220.020.023xxxxdyxx 0.24 ,.xxdxdxx 通通常常把把自自變變量量 的的增增量量稱稱為為自自變變量量的的微微分

8、分 記記作作即即(.( )fxxdyfx dx ).(xfdxdy .dydx 即即函函數(shù)數(shù)的的微微分分與與自自變變量量的的微微分分之之商商等等于于該該函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也叫叫 微微商商練練 習(xí)習(xí)02x解解0 xxdy 02()xxxx 02xx00.820.2x四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo xyo x 幾何意義幾何意義:(如圖如圖)( ),( )( , )f xxxxyf xP x y 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 處處的的微微分分表表示示為為：相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量的的改改變變量量曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線上上縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的改改變變量量

9、。xx0 P ,.xMMNMP 切切線線當(dāng)當(dāng)很很小小時(shí)時(shí) 在在點(diǎn)點(diǎn)的的附附近近可可近近似似曲曲線線段段代代替替段段 xyoMN.f (x)dy x )(0 xf d()yyx xyx0lim tan 很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 0()f xx xxf )(00 xxx 0)(0 xf()x .dydy =tan x微分的幾何意義微分的幾何意義 y即：即：. y問題：何時(shí)問題：何時(shí)dy y ?xxfxf )()(xyody x d d()yyx 很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 0 xxx 0)(0 xf()x dy y y 微分的幾何意義微分的幾何意義.dy y.導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:000001.

10、( )(),()(),.f xxfxdyfxxxxx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)定定數(shù)數(shù)而而微微分分是是的的線線性性函函數(shù)數(shù) 它它的的定定義義域域是是實(shí)實(shí)際際上上 它它是是無無窮窮小小)(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 000000002.,()( )(,(),()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx 從從幾幾何何意意義義上上來來看看是是曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處切切線線的的斜斜率率 而而微微分分是是曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線方方程程在在點(diǎn)點(diǎn)的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量五、微分的求法如何求五、微分的求法如何求? ?dxxfdy

11、)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.根本初等函數(shù)的微分公式根本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(cot)11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxd arcxdxxx 2. 2. 函

12、數(shù)和、差、積、商的微分法那么函數(shù)和、差、積、商的微分法那么2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 3.3.復(fù)合函數(shù)的微分法那么復(fù)合函數(shù)的微分法那么 設(shè)設(shè) ，那么復(fù)合函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù) 的微分為的微分為 dydy dudydxdxdxdu dx ( ),( )yf u ux ( )yfx 即即( ) ( )( ) ( )( )dyfu dufx dxfxx dx 六、微分方式的不變性六、微分方式的不變性(1),( );xdyfx dx 若若 是是自自變變量量時(shí)時(shí)(2) ( ),( ),yf x txtxt 若若是是中中間間變變量量時(shí)時(shí)即即另另一一變變量

13、量 的的可可微微函函數(shù)數(shù)則則( )( ),yf xfx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)( )( )dyfxt dt ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論：結(jié)論：,( )xyf x 無無論論 是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量 函函數(shù)數(shù)的的微微分分形形式式總總是是微分方式的不變性微分方式的不變性dxxfdy)( 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn) y = f (u), y = f (u),當(dāng)當(dāng) u u 為中間變?yōu)橹虚g變量量時(shí)的微分方式與時(shí)的微分方式與 u u 為自變量時(shí)的微分的形為自變量時(shí)的微分的形式一樣式一樣 , ,均為均為 dy = f dy = f (u) du , (u) du , 這種性質(zhì)這種性質(zhì)

14、稱為稱為函數(shù)的一階微分方式不變性函數(shù)的一階微分方式不變性 . .例例4 4解一解一sin(21),.yxdy設(shè)設(shè)求求(sin )dydu )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx cosudu 21sin .uxyu 設(shè)設(shè)，則則利用微分方式的不變性利用微分方式的不變性解二解二( )sin(21)fxx 2cos(21)x( )dyfx dx .)12cos(2dxx cos(21) (21)xx ( )sin(21),yf xx利用微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系利用微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系例例5 5解一解一.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) 1 3(cos)xdyd ex 1

15、31 3cos(13 )( sin)xxx edxex dx 1 31 33cos( sin )xxx edxex dx )(cos)(cos3131xdeedxdyxx 1 3(3cossin ).xexx dx 解二解二1 3( )cosxyf xex 1 31 3) cos(cos()xxexex 1 31 3cossi3nxxexex 1 3cos)( )(xexfx 1 3( coss)3inxexx ( )dyfx dx 1 3( cossi3n ).xexx dx 練練 習(xí)習(xí)21.ln(),.xyxedy設(shè)設(shè)求求sin,.axyebxdy 2.2.設(shè)設(shè)求求答答 案案21.ln()

16、xdydxe 解解一一：221()xxd xexe 221(12 )xxex dxxe 2212.xxxedxxe 22121.,xxxeyxe 解解二二：.2122dxexxedyxx 2. 解解一一：sin()(sin)axaxbx d eedbxsin()cos()axaxbx edaxebxd bx(sin)axdyd ebx sincosaxaxabx edxbebxdx ( cossin).axebbxabx dx sin()cosaxaxbxa edxebbxdx 2. 解解二二：() sin(sin)axaxebxebx sincosaxaxaebxbebx (sin)axye

17、bx ( cossin).axebbxabx ( )dyfx dx ( cossin).axebbxabx dx 例例6 6解解在以下等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮谝韵碌仁阶蠖说睦ㄌ?hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)數(shù),使等式成立使等式成立.(1) ();(2)()cos.dxdxdtdt 22(1)()()()2,d xCd xd Cxdx 22111(2)() ()222xdxxdxd xCdxC 21()2xC (2)(sin)cos,dttdt 1cos(sin)tdtdt 1(sin)cos.dtCtdt 1(sin);dt 練習(xí)練習(xí)解解在以下等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮谝韵碌仁阶蠖说睦ㄌ?hào)中填入適當(dāng)

18、的函數(shù)數(shù),使等式成立使等式成立.22(1) ()sec 3;(2)(sin)() ().dxdxdxdx (1)(tan3)(tan3 )()dxCdxd C 221sec 3(3sec 3)311(tan3 )(tan3 )33xdxxdxdxdx22sec 3(3 )3sec 3xdxxdx 22(sin)2 cos(2)1()2dxxx dxdxdxx 24cos,xxx 22(sin)(4cos) ().dxxxxdx 七、七、 微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用微分在近似計(jì)算中的運(yùn)用 在處置實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一在處置實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些比較難算公式。假設(shè)直接用公式進(jìn)展些比較難算公式。假

19、設(shè)直接用公式進(jìn)展計(jì)算，那是很費(fèi)力的。利用微分有時(shí)可計(jì)算，那是很費(fèi)力的。利用微分有時(shí)可以把有些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡單的近似以把有些復(fù)雜的計(jì)算公式用簡單的近似公式替代。公式替代。1 1、計(jì)算函數(shù)增量的近似值、計(jì)算函數(shù)增量的近似值00()()0,yf xxfxx 若若在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且很很小小時(shí)時(shí)000()xxxxydyfxx 例例7 710.01.cmcmg有有一一批批半半徑徑為為的的球球，為為了了提提高高球球面面的的光光潔潔度度，要要鍍鍍上上一一層層銅銅，厚厚度度為為估估計(jì)計(jì)每每只只球球需需用用銅銅多多少少 ？分析分析根根據(jù)據(jù)題題意意可可知知，要要求求每每只只球球所所需需銅銅的的克克數(shù)數(shù)

20、，344(10.01),33V 即即求求鍍鍍銅銅部部分分的的體體積積銅銅的的密密度度mV 而這個(gè)運(yùn)算量是很大的，于是我們而這個(gè)運(yùn)算量是很大的，于是我們想到用微分這個(gè)線形主部來近似取代變想到用微分這個(gè)線形主部來近似取代變化量。化量。解解,.RV由由已已知知設(shè)設(shè)球球的的半半徑徑為為體體積積為為01(),Rcm 34,3VR 0.01,R 324()4,3VRR00R RR RVdV 40.01 0R RVR 204 RR 30.126().cm 00R RR RmVdV8.90.1261.12( ).g 練練 習(xí)習(xí)10,0.05,?半半徑徑厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后 半半徑徑伸伸長長

21、了了厘厘米米 問問面面積積增增大大了了多多少少解解2,Ar 設(shè)設(shè)10,0.05.rr 厘厘米米厘厘米米2AdArr 210 0.05 2(). 厘厘米米 在計(jì)算函數(shù)值時(shí)在計(jì)算函數(shù)值時(shí), ,經(jīng)常會(huì)遇到一些比經(jīng)常會(huì)遇到一些比較難算的函數(shù)。假設(shè)直接用公式進(jìn)展計(jì)較難算的函數(shù)。假設(shè)直接用公式進(jìn)展計(jì)算，那是很費(fèi)力的。利用微分有時(shí)可以算，那是很費(fèi)力的。利用微分有時(shí)可以把難算的函數(shù)用容易算的點(diǎn)的函數(shù)值求把難算的函數(shù)用容易算的點(diǎn)的函數(shù)值求其近似值替代其近似值替代 。2 2、計(jì)算函數(shù)的近似值、計(jì)算函數(shù)的近似值0(1)( )f xxx 求求在在附附近近的的近近似似值值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x 三角函數(shù)的函數(shù)值，可以用在特殊點(diǎn)三角函數(shù)的函數(shù)值，可以用在特殊點(diǎn)處的函數(shù)值求微分近似替代。處的函數(shù)值求微分近似替代。例例8 8o osin30 30 利利用用微微分分計(jì)計(jì)算算的的近近似似值值. .解解( )sin,f xx 設(shè)設(shè)( )cos ,()fxxx 為為弧弧度度0,6360 xx 1()sin,662f 3()cos,662f o osin30 30sin()6360 sincos66 3601322360 0.5076. 練練 習(xí)習(xí).0360c