高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例--函數(shù)的表示方法

1、7 函數(shù)的表示方法教材分析函數(shù)的表示方法是對(duì)函數(shù)概念的深化與延伸解析法、圖像法和列表法從三個(gè)不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系這三種表示方法既可以獨(dú)立的表示函數(shù)，又可以相互轉(zhuǎn)化；既各有側(cè)重和優(yōu)勢(shì)，又各有劣勢(shì)和不足；既相互補(bǔ)充，又使函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律直觀和具體這節(jié)內(nèi)容，是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸與提高教材在復(fù)習(xí)初中三種表示方法定義的基礎(chǔ)上，分三個(gè)層次對(duì)三種表示方法進(jìn)行了比較第一個(gè)層次：回顧與比較；第二個(gè)層次：選擇與比較；第三個(gè)層次：轉(zhuǎn)化與比較教學(xué)重點(diǎn)：畫簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像；教學(xué)難點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式求法及其圖像的作法教學(xué)目標(biāo)1. 在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像

2、法，列表法，解析法）表示函數(shù)2. 通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并解簡(jiǎn)單應(yīng)用3. 能根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，建立函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像，進(jìn)一步理解、體會(huì)函數(shù)的意義任務(wù)分析學(xué)生在初中已經(jīng)對(duì)這節(jié)內(nèi)容有了初步的認(rèn)識(shí)這節(jié)的教學(xué)任務(wù)是在學(xué)生原認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)，會(huì)根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，明確三種表示方法各有優(yōu)劣，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化為突出根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式，畫出它們的圖像這個(gè)重點(diǎn)，除學(xué)習(xí)教材中的實(shí)際問題外，又增加了練習(xí)為突破分段函數(shù)這個(gè)難點(diǎn)增加了高斯函數(shù)作為練習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景1. 復(fù)習(xí)引入（1）復(fù)習(xí)初中三種函數(shù)的表示方法（2）學(xué)生回答函數(shù)三種表

3、示方法的定義2. 方法探究（1）復(fù)習(xí)與比較例：某種筆記本的單價(jià)是5元，買x（x1，2，3，4，5）個(gè)筆記本需要y元試用三種表示方法表示函數(shù)yf（x）（2）引導(dǎo)學(xué)生分析討論三種表示方法的各自的特點(diǎn)是什么？所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎？函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足什么條件？滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x）的點(diǎn)（x，y）在什么地方？二、建立模型1. 教師明晰函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等采用解析法的條件：變量間的對(duì)應(yīng)法則明確；采用圖像法的條件：函數(shù)的變化規(guī)律清晰；采用列表法的條件：函數(shù)值的對(duì)應(yīng)清楚函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x），滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x）的點(diǎn)（x，y）在函數(shù)圖像上，故

4、函數(shù)圖像即為點(diǎn)集p（x，y）yf（x），xA2. 比較與分析例：下表是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分：表7-1 第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級(jí)平均分88.278.385.480.375.782.6請(qǐng)你對(duì)這三名同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析學(xué)生分析討論：本例是用何種方法表示函數(shù)的？要分析“成績(jī)”與“測(cè)試次數(shù)”之間的變化規(guī)律，用何種方法表示函數(shù)？注意：在這里選擇何種表示方法，要根據(jù)問題的具體情況和三種表示方法的長處來確定3. 教師進(jìn)一步明晰將“成績(jī)”與

5、“測(cè)試次數(shù)”之間的函數(shù)關(guān)系用函數(shù)圖像表示出來，就能比較直觀地看到成績(jī)的變化情況4. 轉(zhuǎn)化與比較例：畫出函數(shù)yx的圖像5. 教師歸納、整理初中作函數(shù)圖像的基本方法是列表、描點(diǎn)和連線，但這個(gè)方法比較煩瑣我們可以把初中學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像作為基本圖像，把要作的函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的圖像來解決yx，若不含“”號(hào)，則是我們初中學(xué)過的yx，現(xiàn)在含絕對(duì)值號(hào)，故去絕對(duì)值號(hào)，得分段函數(shù)而分段函數(shù)的圖像只要分段作出即可三、解釋應(yīng)用練習(xí)一1. 作出yx1的圖像，與函數(shù)yx的圖像比較，并說出你發(fā)現(xiàn)了什么2. 作出yx22x1的圖像3. 若x22x1m，當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程有四個(gè)解？三個(gè)

6、解？?jī)蓚€(gè)解？無解？例題某市空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定：（1）乘坐汽車不超過5km，票價(jià)2元（2）超過5km，每增加5km，票價(jià)增加1元（不足5km的按5km計(jì)算）已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距約為1km，如果沿途（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）有21個(gè)汽車站，請(qǐng)根據(jù)題意寫出票價(jià)與路程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像學(xué)生分析討論：函數(shù)定義域是什么？值域是什么？圖像如何作？教師引導(dǎo)學(xué)生寫出如下解答過程解：設(shè)票價(jià)為y元，路程為xkm如果某空調(diào)汽車運(yùn)行路線中設(shè)21個(gè)汽車站，那么汽車行駛的路程約為20km，故自變量x的取值范圍是x（0，20，且xN，函數(shù)y的取值范圍是y2，3，4，5由空調(diào)汽車票價(jià)的規(guī)定，

7、可得到以下函數(shù)解析式：根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)的圖像函數(shù)圖像共有20個(gè)點(diǎn)構(gòu)成像例3、例4這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作練習(xí)二1. 下圖都是函數(shù)的圖像嗎？為什么？（D）目的：進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)概念和函數(shù)圖像的理解2. 某人從甲鎮(zhèn)去乙村，一開始沿公路乘車，后來沿小路步行，圖中橫軸表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示此人與乙村的距離，則較符合該人走法的圖像是（）（D）3. 小明從甲地去乙地，先以每小時(shí)5km的速度行進(jìn)1h，然后休息10min，最后以每小時(shí)4km的速度行進(jìn)了30min到達(dá)乙地（1）試寫出速度v（kmh）關(guān)于出發(fā)時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖像（2）試寫出小明離開甲地s（km

8、）關(guān)于出發(fā)時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系，并畫出圖像四、拓展延伸1. 設(shè)x是任意的一個(gè)函數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，記作：yx，問：x與y之間是否存在函數(shù)關(guān)系？如果存在，寫出這個(gè)函數(shù)的解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像答案：存在函數(shù)關(guān)系，是著名的高斯函數(shù)現(xiàn)只寫出 x1，1的函數(shù)關(guān)系：y圖像略2. 某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤氣用量和支付費(fèi)用如下表所示：表7-2月份用氣量煤氣費(fèi)1月份4m24元2月份25m214元3月份35m219元該市煤氣的收費(fèi)方法是：煤氣費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)保險(xiǎn)費(fèi)若每月量不超過最低限度Am3，則只付基本費(fèi)3元和每月每戶的定額保險(xiǎn)C元；若用氣量超過Am3，超過部分每立方米付B元，又知保險(xiǎn)費(fèi)C不超過5元根據(jù)上面的表格，求A，B，C分析：可設(shè)每月用氣量xm3，支付費(fèi)用y元，建立函數(shù)解析式解之解：設(shè)每月用氣xm3，支付費(fèi)用y元，則由0C5，得3C8由第2和3月份的費(fèi)用都大于8，得兩式相減，得B0.5，A2C3再分析1月份的用氣量是否超過最低限度不妨令A(yù)4，將x4代入3B（xA）C，得30.54（32C）C4，由此推出3.54，矛盾，A4，1月份付款方式為3C3C4C1A5A5，B0.5，C1點(diǎn)評(píng)這篇案例分三個(gè)層次對(duì)三種表示方法進(jìn)行了比較：第一層次：用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子對(duì)函數(shù)的三種表示方法進(jìn)行了復(fù)習(xí)和比較