（整理版）　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、54直線與圓錐曲線的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.理解數(shù)形結(jié)合的思想自主梳理1直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，假設(shè)>0，那么直線與橢圓_；假設(shè)0，那么直線與橢圓_；假設(shè)<0，那么直線與橢圓_(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2bxc0.假設(shè)a0，當(dāng)>0時(shí)，直線與雙曲線_；當(dāng)0時(shí)，直線與雙曲線_；當(dāng)<0時(shí)，直線與雙曲線_假設(shè)a0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有_交點(diǎn)(3)直線與拋物線位置關(guān)系的判定方法將直線方程與拋物線

2、方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2bxc0.當(dāng)a0，用判定，方法同上當(dāng)a0時(shí)，直線與拋物線的對(duì)稱軸_，只有_交點(diǎn)2弦ab的中點(diǎn)，研究ab的斜率和方程(1)ab是橢圓1 (a>b>0)的一條弦，m(x0，y0)是ab的中點(diǎn)，那么kab_，kab·kom_.點(diǎn)差法求弦的斜率的步驟是：將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程：1，1.兩等式對(duì)應(yīng)相減：0.分解因式整理：kab.(2)運(yùn)用類比的手法可以推出：ab是雙曲線1的弦，中點(diǎn)m(x0，y0)，那么kaby22px (p>0)的弦ab的中點(diǎn)m(x0，y0)，那么kab_.3弦長(zhǎng)公式直線l：ykxb與圓錐曲線c：f(x，y)0交于

3、a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，那么|ab|x1x2|或|ab| |y1y2| ·.自我檢測(cè)1拋物線y24x的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)f且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的局部相交于點(diǎn)a，akl，垂足為k，那么akf的面積是()a4 b3 c4 d82(·中山調(diào)研)與拋物線x24y關(guān)于直線xy0對(duì)稱的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()a(1,0) b.c(1,0) d.3(·許昌模擬)曲線1和直線axby10 (a、b為非零實(shí)數(shù))，在同一坐標(biāo)系中，它們的圖形可能是()4(·杭州模擬)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線yx2交于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么·的值為

4、()a b c4 d無(wú)法確定探究點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1k為何值時(shí)，直線ykx2和曲線2x23y26有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)？變式遷移1拋物線c的方程為x2y，過(guò)a(0，1)，b(t,3)兩點(diǎn)的直線與拋物線c沒(méi)有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是()a(，1)(1，)b.c(，2)(2，)d(，)(，)探究點(diǎn)二圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題例2如下圖，直線ykxb與橢圓y21交于a、b兩點(diǎn)，記aob的面積為s.(1)求在k0,0<b<1的條件下，s的最大值；(2)當(dāng)|ab|2，s1時(shí)，求直線ab的方程變式遷移2橢圓的兩焦點(diǎn)為f1(，0)，f2(，0)，離心率e.(1)求橢圓

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：yxm，假設(shè)l與橢圓相交于p，q兩點(diǎn)，且|pq|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求m的值探究點(diǎn)三求參數(shù)的范圍問(wèn)題例3(·開(kāi)封模擬)直線m：ykx1和雙曲線x2y21的左支交于a、b兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)p(2,0)和線段ab的中點(diǎn)m，求l在y軸上的截距b的取值范圍變式遷移3在平面直角坐標(biāo)系xoy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為a、b，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由函數(shù)思想的應(yīng)用例(12分)橢圓c的方程為1 (a>b>

6、;0)，雙曲線1的兩條漸近線為l1，l2，過(guò)橢圓c的右焦點(diǎn)f作直線l，使ll1，又l與l2交于p點(diǎn)，設(shè)l與橢圓c的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為a，b.(1)當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓c的方程及離心率；(2)求的最大值【答題模板】解(1)雙曲線的漸近線為y±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，pox30°，tan 30°，ab.又a2b222，3b2b24，2分b21，a23，橢圓c的方程為y21，離心率e.4分(2)由，l：y(xc)與yx聯(lián)立，解方程組得p.6分設(shè)，那么，f(c,0)，設(shè)a(x0，y0)，那么(x0c，

7、y0)，x0，y0.即a.8分將a點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2，等式兩邊同除以a4，(e2)22e2(1)2，e(0,1)，10分232 332(1)2，當(dāng)2e2，即e22時(shí)，有最大值1，即的最大值為1.12分【突破思維障礙】最值問(wèn)題是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要內(nèi)容，一是在準(zhǔn)確把握題意的根底上，建立函數(shù)、不等式模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性、根本不等式解決；二是利用數(shù)形結(jié)合，考慮相切、相交的幾何意義解決【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】不能把轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題，使得運(yùn)算繁瑣造成錯(cuò)誤，由2不會(huì)求最值或無(wú)視e22<0這個(gè)隱含條件1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的

8、重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題往往與函數(shù)、不等式、三角、向量等知識(shí)綜合、交匯考查，而且對(duì)綜合能力的考查顯見(jiàn)其中因此解決此類問(wèn)題需要有較廣的知識(shí)面及較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力2從題目類型上多見(jiàn)于與弦的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、弦所在直線的斜率等有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題根本思路就是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到形如ax2bxc0的方程，由韋達(dá)定理得x1x2，x1x2.然后再把要研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用x1x2和x1x2去表示最后，用函數(shù)、不等式等知識(shí)加以解決需要注意的就是要注意對(duì)隱含條件的挖掘，比方判別式0，圓錐曲線中有關(guān)量的固有范圍等(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1(·菏澤調(diào)

9、研)f1、f2是橢圓1 (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是橢圓上任一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引f1pf2的外角平分線的垂線，垂足為q，那么點(diǎn)q的軌跡為()a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線2假設(shè)雙曲線1的漸近線上的點(diǎn)a與雙曲線的右焦點(diǎn)f的距離最小，拋物線y22px (p>0)通過(guò)點(diǎn)a，那么p的值為()a. b2 c. d.3(·武漢月考)直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()a2 b3 c. d.4直線yk(x2) (k>0)與拋物線c：y28x相交于a、b兩點(diǎn)，f為c的焦點(diǎn)假設(shè)|fa|2|fb|，那么k等

10、于()a. b. c. d.5斜率為1的直線l與橢圓y21相交于a、b兩點(diǎn)，那么|ab|的最大值為()a2 b.c. d.二、填空題(每題4分，共12分)6(合肥期末)假設(shè)直線ykx1 (kr)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1恒有公共點(diǎn)，那么t的范圍是_7p為雙曲線x21右支上一點(diǎn)，m、n分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點(diǎn)，那么|pm|pn|的最大值為_(kāi)8(·全國(guó))拋物線c：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)m(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)a，與c的一個(gè)交點(diǎn)為b，假設(shè)am，那么p_.三、解答題(共38分)9(12分)拋物線yx23上存在關(guān)于直線xy0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)a、b，求|

11、ab|的長(zhǎng)10(12分)(·天津)橢圓1(a>b>0)的離心率e，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)a，b，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)q(0，y0)在線段ab的垂直平分線上，且·4，求y0的值11(14分)(·江西)p(x0，y0)(x0±a)是雙曲線e：1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，m，n分別是雙曲線e的左，右頂點(diǎn)，直線pm，pn的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)雙曲線e的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的

12、值54直線與圓錐曲線的位置關(guān)系自主梳理1(1)相交相切相離(2)相交相切相離一個(gè)(3)平行一個(gè)2.(1)(2)自我檢測(cè)課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，也就是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，這是解析幾何的重要思想方法方程組消元后要注意所得方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)，假設(shè)含參數(shù)，需按二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論，只有二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，方程才是一元二次方程，后面才可以用判別式的符號(hào)判斷方程解的個(gè)數(shù)，從而說(shuō)明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解由得2x23(kx2)26，即(23k2)x212kx60，144k224(23k2)72k248.

13、當(dāng)72k248>0，即k>或k<時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)72k2480，即k或k時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)72k248<0，即<k<時(shí)，直線和曲線沒(méi)有公共點(diǎn)變式遷移1d直線ab的方程為yx1(t0時(shí)不合題意，舍去)，與拋物線方程x2y聯(lián)立得x2x0，由于直線ab與拋物線c沒(méi)有公共點(diǎn)，所以2<0，解得t>或t<.例2解題導(dǎo)引此題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等根底知識(shí)，考查解析幾何的根本思想方法和綜合解題能力“設(shè)而不求是解決直線與圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題的根本方法當(dāng)所求弦為焦點(diǎn)弦時(shí)，可結(jié)合圓錐曲線的定義求解解(1)設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)

14、為(x1，b)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為(x2，b)，由y21，解得x1,2±2，所以sb|x1x2|2bb21b21.當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)，s取到最大值1.(2)由得(4k21)x28kbx4b240，16(4k2b21)|ab|x1x2|·2.又因?yàn)閛到ab的距離d1，所以b2k21.將代入并整理，得4k44k210，解得k2，b2，代入式檢查，>0.故直線ab的方程是：yx或yx或yx或yx.變式遷移2解(1)設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，那么c，.a2，b1.所求橢圓方程為y21.(2)由消去y得關(guān)于x的方程：5x28mx4(m21)0，那么64m280(m21)&

15、gt;0，解得m2<5.(*)設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，那么x1x2m，x1x2，y1y2x1x2，|pq| 2，解得m2，滿足(*)，m±.例3解題導(dǎo)引直線與圓錐曲線的位置關(guān)系從代數(shù)的角度來(lái)看，就是直線方程與圓錐曲線的方程組成的方程組有無(wú)解的問(wèn)題，結(jié)合判別式研究，利用設(shè)而不求與整體代入等技巧與方法，從而延伸出一些復(fù)雜的參數(shù)范圍的研究解由 (x1)得(k21)x22kxa(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，1<k<.設(shè)m(x0，y0)，由，設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為q(0，b)，那么由p(2,0)，m，q(0，b)三點(diǎn)共線得b，設(shè)f(k)2k2k2，那么f(

16、k)在(1，)上單調(diào)遞減，f(k)(2，1)，b(，2)(2，)變式遷移3解(1)由條件，直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)p和q等價(jià)于8k244k22>0，解得k<或k>.即k的取值范圍為.(2)設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，那么(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而a(，0)，b(0,1)，(，1)所以與共線等價(jià)于x1x2(y1y2)，將代入上式，解得k.由(1)知k<或k>，故沒(méi)有符合題意的常數(shù)k.課后練習(xí)區(qū)9解設(shè)直線ab的方程為yxb，由消去y得x2

17、xb30，(3分)x1x21.于是ab的中點(diǎn)m(，b)，且14(b3)>0，即b<.(6分)又m(，b)在直線xy0上，b1符合(8分)x2x|ab|3.(12分)10解(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由題意可知×2a×2b4，即ab2.解方程組得所以橢圓的方程為y21.(4分)(2)由(1)可知a(2,0)，且直線l的斜率必存在設(shè)b點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，那么直線l的方程為yk(x2)于是a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x1，所以x1，從而y1.設(shè)線段ab的中點(diǎn)為m，那么m的坐標(biāo)為(，)(6分)以下分兩種情況討論：當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)b的坐標(biāo)是(2,0)，線段ab的垂直平分線為y軸，于是(2，y0)，(2，y0)由·4，得y0±2.(8分)當(dāng)k0時(shí)，線段ab的垂直平分線的方程為y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，·2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k±.所以y0±.(11分)綜上，y0±2或y0±.(12分)11解(1)由點(diǎn)p(x0，y0)(x0±a)在雙