（整理版）例談概率知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

1、例談概率知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)新教材以較多的篇幅充實(shí)了概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，旨在介紹一些新的根本數(shù)學(xué)思想與內(nèi)容，同時(shí)使教材內(nèi)容更加表達(dá)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，其重要性是不言而喻的。因此這局部?jī)?nèi)容的教學(xué)，筆者認(rèn)為重在應(yīng)用。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題使學(xué)生初步理解現(xiàn)實(shí)世界上大量事件的不確定性，同時(shí)能夠應(yīng)用概率知識(shí)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單地判斷與決策。下面試舉例評(píng)說(shuō)一些概率的典型應(yīng)用問(wèn)題。例1 要進(jìn)行某種爆破試驗(yàn)，設(shè)爆破成功的概率為，失敗的概率為，而現(xiàn)有材料只能提供4次試驗(yàn)，問(wèn)實(shí)驗(yàn)在4次內(nèi)就會(huì)爆破成功的概率。解 以表示首次爆破成功所需的實(shí)驗(yàn)次數(shù)。那么 p(=k)=(k)p(4)=1-試驗(yàn)在四次就爆破成功的概率為。評(píng)注：在實(shí)際試驗(yàn)

2、常常根據(jù)現(xiàn)有的財(cái)力、物力，對(duì)試驗(yàn)成功率進(jìn)行估計(jì)，概率是最常用的手段之一。其他如比賽勝負(fù)、市場(chǎng)變化、天氣狀況的預(yù)測(cè)等，其數(shù)學(xué)模型相似。例2 某局域網(wǎng)的出口由五條支線，設(shè)每條支線在1h內(nèi)平均上網(wǎng)時(shí)間為20min,并且每支線是否上網(wǎng)是隨機(jī)的，且相互獨(dú)立。問(wèn)在此出口除應(yīng)設(shè)置幾個(gè)接口，使5條支線能隨機(jī)使用這幾個(gè)接口之一時(shí),每條支線的上網(wǎng)率不小于0.95?解 設(shè)為任一時(shí)刻上網(wǎng)的支線數(shù)目，由題意，每條支線任一時(shí)刻上網(wǎng)的概率為,五條支線是否上網(wǎng)是相互獨(dú)立的，因此b(5,)。故p(=k)=c,k=0,1,2,3,4,5。設(shè)出口處設(shè)置m個(gè)接口,那么能保證不超過(guò)m條支線同時(shí)上網(wǎng),一時(shí)每條支線的上網(wǎng)率不小于0.95,

3、即5條支線中不超過(guò)m條支線同時(shí)上網(wǎng)的概率不小于0.95.即p(m)。由p(3)=1-p(=4)-p(=5)=0.955>0.95,p(2)=p(=0)+p(=1)+p(=2)=0.790<0.95,因此要設(shè)置3個(gè)接口。評(píng)注：概率在工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、設(shè)備配置發(fā)揮最大效益的問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用。實(shí)際上在隨機(jī)的情況下，百分之百地保證是一種浪費(fèi)，實(shí)際問(wèn)題中往往是在一定的保障系數(shù)下安排生產(chǎn)或配置設(shè)備。例3 工廠生產(chǎn)一種斜拉橋鋼索，拉斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布，其參數(shù)為2,22的鋼索。如果大橋所用鋼索合格率在99.9%以上，那么認(rèn)為是平安的。問(wèn)該大橋能否使用此工廠生產(chǎn)的鋼索？解設(shè)鋼索的拉斷強(qiáng)度為。2，p

4、()=1-p(0<<4.2)=1-=1-=該大橋可以使用此工廠生產(chǎn)的鋼索。評(píng)注：實(shí)際問(wèn)題中，在工程的可靠性、平安性等測(cè)試，往往需要概率知識(shí)的運(yùn)用，使我們不希望發(fā)生的事件概率越小越好。這需要在工程設(shè)計(jì)、材料選用，工藝要求等各環(huán)節(jié)得到一定的保障。例4( 1)太平洋保險(xiǎn)公司新推出一種保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，假設(shè)在1年內(nèi)事件a發(fā)生，那么保險(xiǎn)公司要賠償a元，假設(shè)在1年內(nèi)事件a發(fā)生的概率為p,為使保險(xiǎn)公司收益的期望值等與元,保險(xiǎn)公司應(yīng)要求顧客交納多少保險(xiǎn)金?(2)利用以下?tīng)I(yíng)利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策應(yīng)選擇的方案是_。自然狀況盈利 方案 概率 a1a2a3a4s15070-298s265265282s3261678

5、-10解:( 1)用表示保險(xiǎn)公司的收益額,x為用戶交納的保險(xiǎn)金,那么的取值為x,x-a,且有p(=x)=1-p,p(=x-a)=p;e=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,又e=，x=,即保險(xiǎn)公司要求顧客交納的保險(xiǎn)金。(2)設(shè)方案a1,a2,a3,a4的盈利分別為1,2,3,4,那么e1=50×0.25+65×0.3+26×0.45=43.7,e2=70×0.25+26×0.3+16×e3=(-2)×0.25+52×0.3+78×e4=98×0.25+82×0.3+(-10)

6、5;應(yīng)選擇方案a3評(píng)注：保險(xiǎn)、股票等風(fēng)險(xiǎn)投資都帶有一定的隨機(jī)，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望這一隨機(jī)變量的總體特征來(lái)預(yù)期收益的投資是比擬客觀的。例5 農(nóng)科所培養(yǎng)出良種雜交水稻品種進(jìn)行試驗(yàn)種植，在相同的條件下各種植10畝。收獲情況如下:a品種畝產(chǎn)量(kg)750780800840880畝數(shù)2b品種畝產(chǎn)量(kg)760780800820850畝數(shù)22321試評(píng)價(jià)兩種水稻品種產(chǎn)量的優(yōu)劣狀況。解 設(shè)a,b兩種水稻的某產(chǎn)量分別為1,2,那么隨機(jī)變量1的概率分布為：1750780800840880p隨機(jī)變量2的概率分布為：2760780800820850pe1=806.5,e2=797.0， d1=.7,d2=721.0。a品種水稻畝產(chǎn)量的均值略高于b品種，但b品種畝產(chǎn)量方差遠(yuǎn)比a品種的小，即