（整理版）全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷

1、1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷第一試一、選擇題(每題5分，共30分)1對于每個自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于an，bn兩點，以|anbn|表示該兩點的距離，那么|a1b1|+|a2b2|+l+|a1992b1992|的值是( ) (a) (b) (c) (d) 2如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一局部，那么這一曲線的方程是( ) (a)(x+)(y+)=0 (b)(x-)(y-)=0 (c)(x+)(y-)=0 (d)(x-)(y+)=03設(shè)四面體四個面的面積分別為s1，s2，s3，s4，它們的最大值為s，記=(si)/s，那么一定滿足( ) (a)

2、2<4 (b)3<<4 (c)2.5<4.5 (d)3.5<4在abc中，角a，b，c的對邊分別記為a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，那么abc( ) (a)是等腰三角形，但不是直角三角形 (b)是直角三角形，但不是等腰三角形 (c)是等腰直角三角形 (d)不是等腰三角形，也不是直角三角形5設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為a，b，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，o為坐標(biāo)原點，那么oab的面積為( ) (a)8 (b)4 (c)6 (d)126設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集r上的函數(shù)，且滿足以下關(guān)系f(

3、10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，那么f(x)是(a)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (b)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(c)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (d)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二、填空題(每題5分共30分)1設(shè)x，y，z是實數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，那么+的值是_2在區(qū)間0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的個數(shù)是_3從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，那么k的最大值是_4設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，那么arg()3的值是_5設(shè)數(shù)列a1，a2，l，an，l滿足

4、a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，那么a1+a2+l+a100的值是_6函數(shù)f(x)= 的最大值是_三、(20分)求證：16<<17四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有a，b，c三點，且ab=bc，過a，b，c分別作m的垂線ad，be，cf，垂足依次是d，e，f，ad=，be=cf=，求l與m的距離五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+ 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x)，(n>

5、;1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)= 第二試一、(35分) 設(shè)a1a2a3a4為o的內(nèi)接四邊形，h1、h2、h3、h4依次為a2a3a4、a3a4a1、a4a1a2、a1a2a3的垂心求證：h1、h2、h3、h4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置 二、(35分) 設(shè)集合sn=1,2,l,n假設(shè)x是sn的子集，把x中所有數(shù)的和稱為x的“容量(規(guī)定空集的容量為0)，假設(shè)x的容量為奇(偶)數(shù)，那么稱x為的奇(偶)子集 1求證sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等 2求證：當(dāng)n3時，sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3當(dāng)n3時，求sn的所有奇子集的容量之和三、(35分)在平面直角坐

6、標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為格點，任取6個格點pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)滿足 (1) |xi|2,|yi|2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三點不在同一條直線上試證：在以pi(i=1,2,3,4,5,6)為頂點的所有三角形中，必有一個三角形，它的面積不大于21992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一、選擇題(每題5分，共30分)1對于每個自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于an，bn兩點，以|anbn|表示該兩點的距離，那么|a1b1|+|a2b2|+l+|a1992b1992|的值是( ) (a) (b) (c) (d)

7、 解：y=(n+1)x1)(nx1)， |anbn|=，于是|a1b1|+|a2b2|+l+|a1992b1992|=，選b2如圖的曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓的一局部，那么這一曲線的方程是( ) (a)(x+)(y+)=0 (b)(x-)(y-)=0 (c)(x+)(y-)=0 (d)(x-)(y+)=0解：(x-)=0表示y軸右邊的半圓，(y+)=0表示x軸下方的半圓，應(yīng)選d3設(shè)四面體四個面的面積分別為s1，s2，s3，s4，它們的最大值為s，記=(si)/s，那么一定滿足( ) (a)2<4 (b)3<<4 (c)2.5<4.5 (d)3.5<解： si

8、4s，故si4，又當(dāng)與最大面相對的頂點向此面無限接近時，si接近2s，應(yīng)選a4在abc中，角a，b，c的對邊分別記為a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x4)的根，那么abc( ) (a)是等腰三角形，但不是直角三角形 (b)是直角三角形，但不是等腰三角形 (c)是等腰直角三角形 (d)不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x2=4x4根為x=2 c=2a，Þb=180°3a，sinb=2sinaÞsin3a=2sina，Þ34sin2a=2a=30°，c=60°，b=90°選b 5設(shè)復(fù)數(shù)z1，z

9、2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為a，b，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，o為坐標(biāo)原點，那么oab的面積為( ) (a)8 (b)4 (c)6 (d)12解：=cos±isin |z2|=8，z1、z2的夾角=60°s=·4·8·=8選a6設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集r上的函數(shù)，且滿足以下關(guān)系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，那么f(x)是(a)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (b)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(c)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (d)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f(20x)=f10+(10x)=f10(10x)=

10、f(x)=f(20+x) f(40+x)=f20+(20+x)=f(20+x)=f(x) 是周期函數(shù)； f(x)=f(40x)=f(20+(20x)=f(20(20x)=f(x) 是奇函數(shù)選c二、填空題(每題5分共30分)1設(shè)x，y，z是實數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列，那么+的值是_ 解：16y2=15xz，y=，Þ16·4x2z2=15xz(x+z)2由xz0，得=，Þ+=2在區(qū)間0，p中，三角方程cos7x=cos5x的解的個數(shù)是 解：7x=5x+2k，或7x=5x+2k，(kz)Þx=k，x=k (kz)，共有7解3從正方體的棱和

11、各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，那么k的最大值是 解：正方體共有8個頂點，假設(shè)選出的k條線兩兩異面，那么不能共頂點，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求k的最大值=44設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，那么arg()3的值是_解：cosoz1z3=即oz1z3=120°， arg()=或 arg()3=5設(shè)數(shù)列a1，a2，l，an，l滿足a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+

12、3，那么a1+a2+l+a100的值是_.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相減，得anan+1an+2(a4an)=an+4an，由anan+1an+2¹1，得an+4=an又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4 a1+a2+l+a100=25(1+1+2+4)=2006函數(shù)f(x)= 的最大值是_解：f(x)= ，表示點(x，x2)與點a(3，2)的距離及b(0，1)距離差的最大值由于此二點在拋物線兩側(cè)，

13、故過此二點的直線必與拋物線交于兩點對于拋物線上任意一點，到此二點距離之差大于|ab|=即所求最小值為三、(20分)求證：16<<17證明：=<=2()，同時>=2()于是得2()<<1+2()即 16<<1+2(1)<1+2(91)=17四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有a，b，c三點，且ab=bc，過a，b，c分別作m的垂線ad，be，cf，垂足依次是d，e，f，ad=，be=cf=，求l與m的距離解：過m作平面l，作ap于p，ap與l確定平面，=l¢，l¢m=k作bq，cr，垂足為q、r，那么q、rl&#

14、162;，且ap=bq=cr=l與m的距離d 連pd、qe、rf，那么由三垂線定理之逆，知pd、qe、rf都m pd=，qe=，rf=當(dāng)d、e、f在k同側(cè)時2qe=pd+rf，Þ=+解之得d=當(dāng)d、e、f不全在k同側(cè)時2qe=pdrf，Þ=無實解 l與m距離為五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+ 1.求證:fn+1(x)=yfn(x)-fn1(x)，(n>1) 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明： fn(x)=證明： 由yfn(x)-fn1(x)= =fn+1(x)故證 f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x2=(x+)2

15、1=y21n=1，2 成立設(shè)對于nm(m2，mn=m+1成立1 假設(shè)m為偶數(shù)，那么m+1為奇數(shù)由歸納假設(shè)知，對于n=m及n=m1，有fm(x)= ymcym2+c ym4+(1)icym2i+(1)cy fm1(x)= ym1cym3+(1)i1cym+12i+(1)·cy yfm(x)fm1(x)=ym+1+(1)i(c+c)ym+12i+(1)(c+c)y = ym+1cym1+(1)icym+12i+(1)·cyn=m+1成立2假設(shè)m為奇數(shù)，那么m+1為偶數(shù)，由歸納假設(shè)知，對于n=m及n=m1，有fm(x)= ym1cym2+(1)i·cym2i+(1)&#

16、183;c y fm1(x)= ym1cym3+(1)i1cym+12i+(1)c 用y乘減去，同上合并，并注意最后一項常數(shù)項為(1)c=(1)c=(1)于是得到y(tǒng)fm(x)fm1(x)=ym+1cm1ym1+(1)，即仍有對于n=m+1綜上所述，知對于一切正整數(shù)n第二試一、(35分) 設(shè)a1a2a3a4為o的內(nèi)接四邊形，h1、h2、h3、h4依次為a2a3a4、a3a4a1、a4a1a2、a1a2a3的垂心求證：h1、h2、h3、h4四點在同一個圓上，并定出該圓的圓心位置 證明：連a2h1，a1h2，取a3a4的中點m，連om，由上證知a2h1om，a2h1=2om，a1h2om， a1h2

17、=2om，從而h1h2a1a2是平行四邊形，故h1h2a1a2 ，h1h2=a1a2同理可知，h2h3a2a3，h2h3=a2a3； h3h4a3a4，h3h4=a3a4； h4h1a4a1，h4h1=a4a1故 四邊形a1a2a3a4四邊形h1h2h3h4由四邊形a1a2a3a4有外接圓知，四邊形h1h2h3h4也有外接圓取h3h4的中點m1，作m1o1h3h4，且m1o1=mo，那么點o1即為四邊形h1h2h3h4的外接圓圓心又證：以o為坐標(biāo)原點，o的半徑為長度建立直角坐標(biāo)系，設(shè)oa1、oa2、oa3、oa4與ox正方向所成的角分別為、d，那么點a1、a2、a3、a4的坐標(biāo)依次是(cos，

18、sin)、(cos，sin)、(cos，sin)、(cosd，sind)顯然，a2a3a4、a3a4a1、a4a1a2、a1a2a3的外心都是點o，而它們的重心依次是(cos+cos+cosd)，(sin+sin+sind)、(cos+cosd+cos)，(sin+sind+sin)、(cosd+cos+cos)，(sind+sin+sin)、(cos+cos+cos)，(sin+sin+sin)從而，a2a3a4、a3a4a1、a4a1a2、a1a2a3的垂心依次是h1(cos+cos+cosd， sin+sin+sind)、h 2 (cos+cosd+cos，sin+sind+sin)、h

19、 3 (cosd+cos+cos，sind+sin+sin)、h 4 (cos+cos+cos，sin+sin+sin)而h1、h2、h3、h4點與點o1(cos+cos+cos+cosd，sin+sin+sin+sind)的距離都等于1，即h1、h2、h3、h4四點在以o1為圓心，1為半徑的圓上證畢二、(35分)設(shè)集合sn=1,2,l,n假設(shè)x是sn的子集，把x中所有數(shù)的和稱為x的“容量(規(guī)定空集的容量為0)，假設(shè)x的容量為奇(偶)數(shù)，那么稱x為的奇(偶)子集 1求證sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等 2求證：當(dāng)n3時，sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和 3當(dāng)n3時，求sn的所有奇子集的容量之和證明： 對于sn的每個奇子集a，當(dāng)1a時，取b=a1，當(dāng)1Ïa時，取b=a1，那么b為sn的偶子集.反之，假設(shè)b為sn的偶子集，當(dāng)1b時，取a=b1，當(dāng)1Ïb時，取a=b1，于是在sn的奇子集與偶子集之間建立了一個一一對應(yīng)，故sn的奇子集與偶子集的個數(shù)相等. 對于任一isn，i>1，含i的sn的子集共有2n-1個，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，從而每個數(shù)i，在奇子集的和與偶子集的和中，i所占的個數(shù)是一樣的.而對于元素1，只要