第七章2由差分方程求響應和卷積

1、2021/8/61Z代入邊界條件迭代法時域經典法零輸入與手算逐次代入：僅得數(shù)值解利用計算機：先求齊次解與特解=求系數(shù)（求解過程麻煩）：利用齊次解得零輸入響應，利用卷積和求零狀態(tài)響應：利用 變變換域法換法（簡便有效）零狀態(tài)求法2021/8/62( )(1)( )y nay nn( )(1)( )( )( )( 1)0,( )y nay nx nx nnyy n例題：差分方程為若已知求)()(nuanyn2021/8/63二、二、時域經典法時域經典法 差分方程的時域經典求解與微分方程的求解差分方程的時域經典求解與微分方程的求解過程完全一樣：過程完全一樣：方程的方程的完全解完全解齊次解齊次解特解特解

2、齊次解齊次解：由齊次方程的：由齊次方程的特征根特征根的形式確定的形式確定特解特解：由：由輸入序列輸入序列的形式確定的形式確定2021/8/64對右移序差分方程：對右移序差分方程：)()2() 1 ()0(Nyyyyzizizizi)()2() 1 ()0(Nyyyyzszszszs)()2() 1 ()0(Nyyyy00)(mmyzs2021/8/65NkMrrkrnxbknya00)()(N階差分方程：階差分方程：Nkkknya00)(0.110NNNaaa特特征征方方程程NN,.,21個特征根：個特征根：2021/8/660.110NNNaaa特特征征方方程程NN,.,21個特征根：個特征

3、根：112211212111( ).(K( )(.).nnnNNkknnnkkkNNy ncccy nc nc nccc無無重重根根）若若為為 重重根根2021/8/670)2(1 . 0) 1(7 . 0)( nynyny例：求解齊次差分方程nngccny)2 . 0()5 . 0()(2 . 0, 5 . 001 . 07 . 0212122021/8/681)5(, 1) 3(, 0)2(, 1) 1 (0)4() 3(2)2(2) 1(2)(yyyynynynynyny例：求解差分方程2021/8/69特解由差分方程右邊自由項函數(shù)的形式決定特解由差分方程右邊自由項函數(shù)的形式決定2021

4、/8/610)(10)(9) 1 (15)0()()2() 1(5)(6nynxyynxnynyny求若例：求解2021/8/611完全響應的分解：11( )( )Nnkkky nnDC hp強迫自由響應 y (響應 n)y)n(（）112( )( )NNnnzikkkkkzsky nnDCC zszi零狀態(tài)響應 y (n)零輸入響應 y (n)（ ）（齊次解加特解）（齊次解加特解）2021/8/612( 1), ()( 1),()(0),(1( )zikziziziziziCyyNyyyyNkyN （直接帶入求解零輸入響應）或迭代其中是由零輸入條件下邊界值求得， 由起始狀態(tài) 初始條件；( 1

5、),()0(0),(1)( )zskzszszszszsCyyNyyyNk 輸入序列x(n)代入方程迭代是由零狀態(tài)條件下邊界值求得， 由零狀態(tài)條件 初始條件。2021/8/613例題：已知系統(tǒng)的差分方程表達式為例題：已知系統(tǒng)的差分方程表達式為)(05. 0) 1(9 . 0)(nunyny(1)若邊界條件若邊界條件y(-1)=0，求系統(tǒng)的完全響應，求系統(tǒng)的完全響應(2)若邊界條件若邊界條件y(-1)=1，求系統(tǒng)的完全響應，求系統(tǒng)的完全響應2021/8/614離散時間系統(tǒng)x(n)y(n)( )( )nh n：單位樣值作為激勵而產生的 系統(tǒng)零狀態(tài)單應響應位樣值響2021/8/615( )(0)(

6、)( )hhh nnn 等效求解齊次方程求：單位樣值作用起始條件解的閉式解( )0,0( )nh nnh nM因果系統(tǒng)的充要條件穩(wěn)定系統(tǒng)的充要 條件： ：2021/8/616y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)2021/8/617)2(3)()2(6) 1(5)(nxnxnynyny2021/8/618先求解如下差分方程的單位函數(shù)響應先求解如下差分方程的單位函數(shù)響應h h1 1(n)(n)()2(6) 1(5)(nxnynyny則所求單位函數(shù)響應為：則所求單位函數(shù)響應為：11( )( )3 (2)h nh nh n( )5 (1)6( )()(2)32y ny ny nx nx n2021

7、/8/619 )(te)(tr)(*)()(*)()(teththtetrzs2021/8/620)(nx)(ny?)(nyzs2021/8/621mmnmxnx)()()()()(nhnLTI)()(mnhmnLTI( )( )()()LTIx mxnmnmm h()()( )( )LTImmxnmmxmhmn( )( )()( )LTIzsmxx nynhmnm2021/8/622mmnxmxnxnx)()()()(2121)(nx)(ny)(*)()(nhnxnyzs2021/8/623)(*)()(*)(1221nxnxnxnx)(*)()(*)()()(*)(3121321nxnxn

8、xnxnxnxnx)(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)(321321321nxnxnxnxnxnxnxnxnx)()(*)(nxnnx2021/8/624舉例：求解圖示序列的自卷積。1023572511n)(nx2021/8/6251023572511m)(mx1023572511m)( mx 02n1m)(mnx2n2021/8/626l n-4時 y(n)=0l n=-4時1023572511m)(mx021m)4(mx60257251m)4()(mxmx1)4(y2021/8/627l n=3時1023572511m)(mx031m( 3)xm 50257251m( ) ( 3

9、)x m xm 12( 3)( ) ( 3)2myx m xm 2021/8/628l n=2時1023572511m)(mx021m)2(mx40257251m)2()(mxmx02( 2)( ) ( 2)3myx m xm 2021/8/629l n=1時1023572511m)(mx011m( 1)xm 312( 1)( ) ( 1)4myx m xm 0257251m( ) ( 1)x m xm 2021/8/630l n=0時1023572511m)(mx021m)( mx 2102 3572511m)()(mxmx5)()()0(22mmxmxy2021/8/631l n=1時10

10、23572511m)(mx021m(1)xm2102 3572511m( ) (1)x m xm21(1)( ) (1)4myx m xm2021/8/6322l n=2時1023572511m)(mx021m)2(mx2102 357511m)2()(mxmx20(2)( ) (2)3myx m xm2021/8/633l n=3時1023572511m)(mx021m(3)xm3102 3572511m( ) (3)x m xm21(3)( ) (3)2myx m xm2021/8/6342l n=4時1023572511m)(mx021m)4(mx2102 357511m)4()(mxm

11、x22(4)( ) (4)1myx m xm2021/8/6352025751n)(ny52021/8/636( )( ),01( )( )()( )( )* ( )nh na u nax nu nu nNy nx nh n例例：系系統(tǒng)統(tǒng)單單位位樣樣值值響響應應激激勵勵求求：響響應應2021/8/637(1)10110(1)0( )()( )0(2)01,01( )1(3)10N11( )1nnnn mmnNNn mmnx mh nmy nnNmnaay naanNmaay naa，與與無無交交迭迭從從 至至 交交迭迭， 從從 至至 交交迭迭2021/8/638 1423 ,152 ,y(n)

12、=nnnnnnn1212已知x (n)=2x (n)=3求卷積x (n)*x (n)n12解：表示成序列 x(n)= 1 4 1x (n)= 1 5 （指針表示 30處）22021/8/6390m)(1mx)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x0nm)(2mnx2n)0(2x) 1 (2x)2(2x0m)2(2mx2)0(2x) 1 (2x)2(2x)0()2() 1 () 1 ()2()0()2(212121xxxxxxy2021/8/640)0()2() 1 () 1 ()2()0()2(212121xxxxxxy)0(2x)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x)2(2x) 1

13、 (2x)3(1x)2(2x)2(2x1(2)x)2(2x ) 1 (1x)0(1x)2(2x) 1 (2x )3(1x) 1 (2x)0(1x)0(2x)3(1x)0(2x) 1 (1x)0(2x )2(1x) 1 (1x) 1 (2x) 1 (2x)2(1x)0(2x )0(1x02)0(1x)2(2x) 1 (1x) 1 (2x)0(2x )2(1x2021/8/641解：利用“對位相乘求和”方法來求卷積12 按右端對齊 x(n)：2 1 4 1x (n)： 3 1 5 10 5 20 56 3 12 3 2 1 4 1 y(n)= 5 23 12 21 562021/8/6424104

14、10頁表頁表7 71 1：因果序列因果序列的卷積和的卷積和2021/8/643解卷積解卷積已知已知y(n),h(n)確定確定x(n)；或者已知；或者已知y(n)、x(n)確定確定h(n)的過程。的過程。mmnhmxnhnxny)()()(*)()(nmmnhmxny0)()()(2021/8/644nmmnhmxny0)()()(nmmhmnxny0)()()(10)()()0()()(nmmnhmxhnxny)0(/ )()()()(10hmnhmxnynxnm)0(/ )()()()(10 xmnxmhnynhnm同理：同理：2021/8/645)0(/ )()()()(10hmnhmxn

15、ynxnm(0)(0)/ (0)(1) (1)(0) (1)/ (0)(2) (2)(0) (2)(1) (1)/ (0)(3) (3)(0) (3)(1) (2)(2) (1)/ (0)xyhxyxhhxyxhxhhxyxhxhxhh2021/8/646)(ny?)(nh)(nx2021/8/647)0(/ )()()()(10 xmnxmhnynhnm(0)(0)/ (0)(1) (1)(0) (1)/ (0)(2) (2)(0) (2)(1) (1)/ (0)(3) (3)(0) (3)(1) (2)(2) (1)/ (0)hyxhyhxxhyhxhxxhyhxhxhxx2021/8/6

16、48)(ny?)(nh)(nx)(nx2021/8/6492021/8/6502021/8/6511.離散時間信號離散時間信號-序列序列2.離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型離散時間系統(tǒng)的數(shù)學模型3.常系數(shù)線性差分方程的求解常系數(shù)線性差分方程的求解4.離散時間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應離散時間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應5.卷積卷積6.反卷積反卷積2021/8/652差分方程與微分方程：( ),(),y ttnTy nTT對連續(xù)若在各點取樣值且 足夠小1)(ynTy nTdTty td則2021/8/653)()()1 () 1()()()() 1()()()(nxRCTnyRCTnynxnyTnynyRCtxtydttdyRc2021/8/654例：討論海諾塔（Tower of Hanoi），有n個直徑不同，中心有孔的圓盤，穿在一個木樁上，如圖由大到小，最大的在下面，現(xiàn)在要把它們近按原樣搬到另一個木樁上，傳遞時：（1）每次在木樁之間傳遞1個（2）傳遞時不允許大的在小的上面若傳