2019-2020學(xué)年上海市交大附中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

1、2019-2020 學(xué)年上海市交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1（3 分）復(fù)數(shù) z 滿足 iz1則 Imz2（3 分）已知拋物線 y4x2，則焦點的坐標為3（3 分）若 z4（3 分）直線（i 為虛數(shù)單位，a0），|z3|5  ，則 a 的值為      （參數(shù) tR）的傾斜角為      5（3&#

2、160;分）若方程（k1）x2+（52k）y21 表示的曲線為雙曲線，則實數(shù) k 的取值范圍為（A63 分）若雙曲線的漸近線方程為 y±3x，且過點 （1，），則雙曲線的方程是7（3 分）點 P 為直線 3x+4y+40 上的動點，點 Q 為圓 C：x2+y22x4y+40 上的動點，則|PQ|的最小值為8（3 分）已知 F1、F2 是橢圓 C：+   1（ab0）的

3、兩個焦點，P 為橢圓 C 上的一點，且，若 1F2 的面積為 4，則 b     9（3 分）已知 a，bR+，若直線 x+2y+30 與直線（a1）x+by2 互相垂直，則 ab 的最大值等于10（3 分）已知曲線：，（0，   ）上一動點 P，曲線與直線 x1 交于點 Q則的最大值是   

4、60;  11（3 分）在平面直角坐標系 xOy 中，設(shè)定點 A（a，a），P 是函數(shù) y （x0）圖象上一動點，若點 P，A 之間的最短距離為 2，則滿足條件的實數(shù) a 的所有值為      12（3 分）已知橢圓：+1 和圓 O：x2+y2r2（r0），設(shè)點 A 為橢圓上的任一點，過 A 作圓 O 的兩條

5、切線，分別交橢圓于 B，C 兩點，若直線 BC 與圓 O 相切，則 r第1頁（共21頁）二、選擇題13（3 分）設(shè) z 為非零復(fù)數(shù)，則“z+ R“是|z|1”的（）A充分非必要條件C充要條件B必要非充分條件D既非充分也非必要條件14（3 分）如圖，與復(fù)平面中的陰影部分（含邊界）對應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是（）ABCD15（3 分）過拋物線 y24x 的焦點作一條直線與拋物線相交于 A、B 兩點，它們的橫坐標之和等于 2，則這樣的

6、直線（）A有且僅有一條C有無窮多條16（3 分）曲線：（1）B有且僅有兩條D不存在0，要使直線 ym（mR）與曲線有四個不同的交點，則實數(shù) m 的取值范圍是（）A（ ， ）B（3，3）C（3， ）（ ，3）第2頁（共21頁）D（3， ）（ ， ）（ ，3）三、解答題17已知實系數(shù)一元二次方程 x2+ax+b0（a，bR ）的一根為2i（i 為虛數(shù)單位），另一根為復(fù)數(shù) z（1）求復(fù)數(shù) z，以及實數(shù) a，b 的

7、值；（2）設(shè)復(fù)數(shù) z 的一個平方根為 ，記 、2、2 在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為 A、B、C，求（+）的值18如圖，某野生保護區(qū)監(jiān)測中心設(shè)置在點O 處，正西、正東、正北處有三個監(jiān)測點A、B、C，且|OA|OB|OC|30km，一名野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求教信號，三A個監(jiān)測點均收到求救信號， 點接收到信號的時間比 B 點接收到信號的時間早秒（注：信號每秒傳播 V0 千米）（1）以 O 為原點，直線 AB 為 x 

8、軸建立平面直角坐標系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程：（2）若已知 C 點與 A 點接收到信號的時間相同，求觀察員遇險地點坐標，以及與監(jiān)測中心 O 的距離：（3）若 C 點監(jiān)測點信號失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測點 C 為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑 r 至少是多少公里？19已知橢圓：，過點 D（1，0）的直線 l：yk（x+1）與橢圓交于 M、N 兩點（M 點在 N 

9、點的右側(cè)），與 y 軸交于點 E（1）當 m1 且 k1 時，求點 M、N 的坐標；（2）當 m2 時，設(shè)，求證：+ 為定值，并求出該值；第3頁（共21頁）20設(shè)拋物線：y22px（p0），D（x0，y0）滿足 y022px0，過點 D 作拋物線的切線，切點分別為 A（x1，y1），B（x2y2）（1）求證：直線 yy1p（x+x1）與拋物線相切：（2）若點 A 坐標為（4，4），點 D 

10、;在拋物線的準線上，求點 B 的坐標：（3）設(shè)點 D 在直線 x+p0 上運動，直線 AB 是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標：若不存在，請說明理由21已知橢圓 ：+1雙曲線的實軸頂點就是橢圓  的焦點，雙曲線的焦距等于橢圓  的長軸長（1）求雙曲線的標準方程；（2）設(shè)直線 1 經(jīng)過點 E（3，0）與橢圓  交于 A、B 兩點，求OAB 的面積的最大值；（3）設(shè)直線 1：y

11、kx+m（其中 k，m 為整數(shù)）與橢圓  交于不同兩點 A、B，與雙曲線交于不同兩點 C、D，問是否存在直線 l，使得向量直線有多少條？若存在，請說明理由+   ，若存在，指出這樣的第4頁（共21頁）2019-2020 學(xué)年上海市交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1（3 分）復(fù)數(shù) z 滿足 iz1則 Imz1【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【解答】解：由 iz1，得 

12、;z，Imz1故答案為：1【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題2（3 分）已知拋物線 y4x2，則焦點的坐標為（0，）【分析】把方程化為標準方程求出 p，利用焦點坐標為（0， ），寫出焦點坐標【解答】解：拋物線 y4x2 的標準方程為 x2 y，焦點在 y 軸的正半軸上，p ， ，故焦點坐標為（0，），故答案為：（0，）【點評】本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意先把方程化為標準方程求出 p3（3 分）若

13、60;z（i 為虛數(shù)單位，a0），|z3|5，則 a 的值為1【分析】由已知求得 z，再由|z3|z|3 列式求解 a【解答】解：z2ai，由|z3|5，得，即 4a2+15，得 a1（a0）故答案為：1【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題第5頁（共21頁）4（3 分）直線（參數(shù) tR）的傾斜角為【分析】直接把參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標方程，進一步求出結(jié)果【解答】解：直線2y+40，故直線的斜率為 k ，所以直線的傾斜角為（參數(shù) tR）轉(zhuǎn)換

14、為直角坐標方程為：x2y26，即 x故答案為：【點評】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型5（3 分）若方程（k1）x2+（52k）y21 表示的曲線為雙曲線，則實數(shù) k 的取值范圍為（，1）（ ，+）【分析】利用已知條件，列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：方程（k1）x2+（52k）y21 表示的曲線為雙曲線，可得（k1）（52k）0，解得 k1 或 k 故答案為：（，1）（ ，+）【點評】

15、本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題6（3 分）若雙曲線的漸近線方程為 y±3x，且過點 A（1，），則雙曲線的方程是 y29x21【分析】可設(shè)雙曲線的方程是 x2k，把點（1，）代入解得即可【解答】解：由題意可知，可設(shè)雙曲線的方程是 x2k，把點（1，   ）代入方程解得 k ，故所求的雙曲線的方程是 y29x21，故答案為：y29x21【點評】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，設(shè)出雙曲線的方第6頁（共21頁）程是 

16、;x2k，是解題的突破口，屬于中檔題7（3 分）點 P 為直線 3x+4y+40 上的動點，點 Q 為圓 C：x2+y22x4y+40 上的動點，則|PQ|的最小值為2【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，求出圓心到直線的距離，即可得到結(jié)論【解答】解：由圓的標準方程（x1）2+（y2）21 得圓心坐標為 C（1，2），半徑 R1，圓心到直線的距離 d3，在|PQ|的最小值為 dR2；故答案為：2【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出圓心到直線的距離是

17、解決本題的關(guān)鍵8（3 分）已知 F1、F2 是橢圓 C：+   1（ab0）的兩個焦點，P 為橢圓 C 上的一點，且，若 1F2 的面積為 4，則 b 2 |【分析】通過橢圓的定義和勾股定理、三角形的面積公式得|PF1|+|PF2|2a，PF1|2+|PF2|24c2， |PF1|PF2|9，由此能得到 b 的值【解答】解：F1、F2 是橢圓 C：+   1

18、（ab0）的兩個焦點，P 為橢圓 C 上一點，且 PF1PF2，|PF1|+|PF2|2a，|PF1|2+|PF2|24c2， |PF1|PF2|4，（|PF1|+|PF2|）24c2+2|PF1|PF2|4a2，164（a2c2）4b2，b2故答案為：2【點評】本題考查橢圓的定義和勾股定理、直角三角形的面積公式，考查運算能力，屬于中檔題第7頁（共21頁）9（3 分）已知 a，bR +，若直線 x+2y+30 與直線（a1）x+by2 互相垂直，則 ab 的最大值等

19、于【分析】根據(jù)題意，由直線垂直的判斷方法可得（a1）+2b0，變形可得 a+2b1，進而結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，若直線 x+2y+30 與直線（a1）x+by2 互相垂直，則有（a1）+2b0，變形可得 a+2b1，則 ab （a×2b） ×（）2 ，當且僅當 a2b 時，等號成立；即 ab 的最大值為 ，故答案為： 【點評】本題考查直線與直線垂直的判斷，涉及基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題1

20、0（3 分）已知曲線：于點 Q則的最大值是，（0，）上一動點 P，曲線與直線 x1 交【分析】先求出 Q 的坐標，表示出其數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的取值范圍即可求解【解答】解：曲線：交于點 Q，（0，   ）上一動點 P，曲線與直線 x12cos1cos ；sin即 Q（1，；）；（0，（2cos，sin）（1，）；）2cos+   sin    sin（+）；tan &

21、#160;  ；+（，+）；+時，      取最大值且最大值為    ；故答案為：【點評】本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，第8頁（共21頁）屬于中檔題11（3 分）在平面直角坐標系 xOy 中，設(shè)定點 A（a，a），P 是函數(shù) y （x0）圖象上一動點，若點 P，A 之間的最短距離為 2，則滿足條件的實數(shù) a 的所有值為

22、 1 或【分析】設(shè)點 P，利用兩點間的距離公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出 a 的值【 解 答 】 解 ： 設(shè) 點P， 則 |PA| ，令，x0，t2，令 g（t）t22at+2a22（ta）2+a22，當 a2 時，t2 時 g（t）取得最小值 g（2）24a+2a2，解得 a1；t當 a2 時，g（t）在區(qū)間2，a）上單調(diào)遞減，

23、在（a，+）單調(diào)遞增， a，g（t）取得最小值 g（a）a22，a22綜上可知：a1 或，解得 a故答案為1 或【點評】本題綜合考查了兩點間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力12（3 分）已知橢圓：+1 和圓 O：x2+y2r2（r0），設(shè)點 A 為橢圓上的任一點，過 A 作圓 O 的兩條切線，分別交橢圓于 B，C 兩點，若直線 BC 與圓

24、 O 相切，則 r第9頁（共21頁）【分析】由題意，可知 A 為橢圓左頂點，則 A（3，0），則 BC 方程為 xr，代入橢圓，求得 B 點坐標，寫出 AB 方程，再由圓心到 AB 的距離等于 r 列式求解 r 值【解答】解：不妨取 A 為橢圓左頂點，則 A（3，0），BC 方程為 xr，代入橢圓：+1，得 y設(shè) B（r，），則 

25、;AB 的方程為：，整理得：由，得（5r6）（r3+12r2+45r+54）0，則 r 故答案為： 【點評】本題考查圓與橢圓的綜合，訓(xùn)練了特值法的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題二、選擇題13（3 分）設(shè) z 為非零復(fù)數(shù)，則“z+ R“是|z|1”的（）A充分非必要條件C充要條件B必要非充分條件D既非充分也非必要條件【分析】設(shè) zx+yi（x，yR，不同時為 0），可得 z+ x+yi+x+      +y（1）iR，可

26、得 y（1）0，解出即可判斷出結(jié)論【解答】解：設(shè) zx+yi（x，yR，不同時為 0），則 z+ x+yi+x+y第10頁（共21頁）（1）iR，y（1）0，y0，x0；或 x2+y21 即|z|1“z+ R“是|z|1”的必要不充分條件故選：B【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題14（3 分）如圖，與復(fù)平面中的陰影部分（含邊界）對應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是（）ABCD【分析】由圖形可知，滿足條件的復(fù)數(shù)在單位圓內(nèi)（含邊界） 且復(fù)數(shù)對應(yīng)點的縱坐標大于或等于

27、 【解答】解：由圖形可知，滿足條件的復(fù)數(shù)在單位圓內(nèi)（含邊界）且復(fù)數(shù)對應(yīng)點的縱坐標大于或等于 ，故有|z|1，Imz ，故選：D【點評】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，復(fù)數(shù)與其對應(yīng)點間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想15（3 分）過拋物線 y24x 的焦點作一條直線與拋物線相交于 A、B 兩點，它們的橫坐標之和等于 2，則這樣的直線（）A有且僅有一條C有無窮多條B有且僅有兩條D不存在【分析】過拋物線 y24x 的焦點作一條直線與拋物線相交于 A、B 兩點，先看直線 

28、AB第11頁（共21頁）斜率不存在時，求得橫坐標之和等于 2，符合題意；進而設(shè)直線 AB 為 yk（x1）與拋物線方程聯(lián)立消去 y，進而根據(jù)韋達定理表示出 A、B 兩點的橫坐標之和，方程無解，進而得出結(jié)論【解答】解：過拋物線 y24x 的焦點作一條直線與拋物線相交于 A、B 兩點，若直線 AB 的斜率不存在，則橫坐標之和等于 2，適合故設(shè)直線 AB 的斜率為 k，則直線 AB 方程為 yk（x1）

29、代入拋物線 y24x 得，k2x22（k2+2）x+k20A、B 兩點的橫坐標之和等于 2，方程無解，這樣的直線不存在故選：A【點評】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題16（3 分）曲線：（1）0，要使直線 ym（mR ）與曲線有四個不同的交點，則實數(shù) m 的取值范圍是（）A（ ， ）B（3，3）C（3， ）（ ，3）D（3， ）（ ， ）（ ，3）【分析】畫出曲線表示

30、的圖形，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：曲線：（1）0，可知 x，y3，3，圖形如圖：是一個圓與雙曲線的一部分，由，解得 y± ，曲線：（1）0，第12頁（共21頁）要使直線 ym（mR）與曲線有四個不同的交點，可得m（3， ）（ ，3）故選：C【點評】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，正確判斷與畫出曲線方程的圖形，是解題的關(guān)鍵，是難題三、解答題17已知實系數(shù)一元二次方程 x2+ax+b0（a，bR）的一根為2i（i 為虛數(shù)單位），另一根為復(fù)數(shù) z（1）求復(fù)數(shù) z，以及實數(shù)

31、 a，b 的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù) z 的一個平方根為 ，記 、2、2 在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為 A、B、C，求（+）的值（【分析】 1）由實系數(shù)的一元二次方程兩根互為共軛復(fù)數(shù)得 z2i，再求 a 和 b 的值；（2）設(shè) x+yi，x、yR，利用復(fù)數(shù)相等列方程組求出 x、y 的值，再計算 、2 和 2 的值，求出 A、B、C 點的坐標，從而求得（+）的值【解答】解：（1）由實

32、系數(shù)的一元二次方程兩根互為共軛復(fù)數(shù)，得 z2i；利用根與系數(shù)的關(guān)系，得 a2i+2i0，b2i2i4；（2）復(fù)數(shù) z2i，則 22i；設(shè) x+yi，x、yR；所以 x2y2+2xyi2i，即，解得 xy1 或 xy1；所以 1+i，或 1i；第13頁（共21頁）當 1+i 時，22i，21i；所以 A（1，1），B（0，2），C（1，1），所以（+）（1，3）（1，1）132；當 1i 時，22i，213i，所以 A（1，1）

33、，B（0，2），C（1，3），所以（+）（1，1）（1，3）132；綜上知，（+）  的值為2【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算與平面向量的數(shù)量積計算問題，也考查了運算求解能力，是中檔題18如圖，某野生保護區(qū)監(jiān)測中心設(shè)置在點O 處，正西、正東、正北處有三個監(jiān)測點A、B、C，且|OA|OB|OC|30km，一名野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求教信號，三A個監(jiān)測點均收到求救信號， 點接收到信號的時間比 B 點接收到信號的時間早秒（注：信號每秒傳播 V0 千米）（1）以 O 為原點，直線 AB&

34、#160;為 x 軸建立平面直角坐標系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程：（2）若已知 C 點與 A 點接收到信號的時間相同，求觀察員遇險地點坐標，以及與監(jiān)測中心 O 的距離：（3）若 C 點監(jiān)測點信號失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測點 C 為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑 r 至少是多少公里？（【分析】 1）利用雙曲線的定義，求解軌跡方程即可（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程的方程組，轉(zhuǎn)化求解即可（3）設(shè)出圓的方程，與雙

35、曲線方程聯(lián)立，利用判別式，轉(zhuǎn)化求解結(jié)果第14頁（共21頁）【解答】解：（1）以 O 為原點，直線 AB 為 x 軸建立平面直角坐標系，A 點接收到信號的時間比 B 點接收到信號的時間早秒，可知野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求教信號的位置，在以 AB 為焦點的雙曲線的左支，所以 c30，2a40，所以 a20，則 b10，所以觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程：1，x0（2）已知 C 點與 A 點接收到信號的時間相同

36、，則觀察員遇險地點既在雙曲線上，又在yx（x0）上，所以，可得 x10，y10，觀察員遇險地點坐標（10，10），觀察員遇險地點與監(jiān)測中心 O 的距離：20   （3）由題意可得以監(jiān)測點 C 為圓心進行“圓形”紅外掃描，可得 x2+ （y30）2r2，與1，x0聯(lián)立，消去 x 可得：9y2300y+65005r20，9000036（65005r）0，解得 r20為保證有救援希望，掃描半徑 r 至少是 20公里【點評】本題考查曲線方程的求

37、法，分析問題解決問題的能力，滿足條件的實數(shù)值的求法，韋達定理、直線的斜率、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，運算求解能力，是中檔題19已知橢圓：，過點 D （1，0）的直線 l：yk（x+1 ）與橢圓交于 M 、N 兩點（M 點在 N 點的右側(cè)），與 y 軸交于點 E （1）當 m 1 且 k1 時，求點 M 、N 的坐標；（2）當 m 2 時，設(shè)，求證

38、：+為定值，并求出該值；【分析】（1）聯(lián)立橢圓與直線方程，即可求出交點 M ，N 的坐標；（2）聯(lián)立橢圓與直線方程，結(jié)合韋達定理，以及條件第15頁（共21頁），        ，得到 +，即可證出 + 為定值，該值為 3；【解答】解：（1）當 m1 且 k1 時，橢圓方程為：x+1，聯(lián)立方程，消去 y 得：3x2+4x0，解得：x0 或 ，M 點在 

39、;N 點的右側(cè)，M（0，1），N（ ， ）；（2）當 m2 時，橢圓方程為：，直線 l 方程為：y聯(lián)立方程，消去 y 得：（2+3k2）x2+6k2x+3k260，設(shè)點 M（x1，y1），N（x2，y2），E（0，k），D（1，0），又，x1（x1+1），x2 （x2+1）， +，                

40、60;    第16頁（共21頁），故 + 為定值 3【點評】本題主要考查了橢圓方程，以及直線與橢圓位置關(guān)系，是中檔題20設(shè)拋物線：y22px（p0），D（x0，y0）滿足 y022px0，過點 D 作拋物線的切線，切點分別為 A（x1，y1），B（x2y2）（1）求證：直線 yy1p（x+x1）與拋物線相切：（2）若點 A 坐標為（4，4），點 D 在拋物線的準線上，求點 B 的坐標：（3）設(shè)點 D

41、60;在直線 x+p0 上運動，直線 AB 是否恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標：若不存在，請說明理由（【分析】 1）方法一：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求得直線 AD 的切線斜率，即可求得直線 AD 的方程方法二：將直線 AD 的方程代入拋物線方程，由，即可判斷直線 AD 與拋物線相切；（2）方法一：根據(jù)拋物線的極點極線的性質(zhì)，求得直線 AB 恒過焦點，根據(jù)拋物線的焦點弦的性質(zhì)，即可求得 B 點坐標；方法二：根據(jù)（1）可知，求得

42、 D 點坐標，求得 BD 的方程，與拋物線方程聯(lián)立，即可求得 B 點坐標；y（3）方法一：根據(jù)（1）可得，求得直線 AD 和 BD 的方程，可得 y1，2 是方程的兩根，根據(jù)韋達定理及拋物線的性質(zhì)，求得 AB 的方程，即可判斷 AB 恒過定點，方法二：根據(jù)拋物線的極點與極線的對稱性，即可判斷 AB 恒過定點，【解答】解：（1）由方法一：拋物線：y22px（p0），求導(dǎo)，2yy2p，即，所以在 A（x1，y1

43、）點的切線的斜率，所以切線方程為，由 y122px1，整理得 yy1p（x+x1），所以直線 yy1p（x+x1）與拋物線相切；方法二：由題意可知，消去 x，整理得 y22y1y+2px10，第17頁（共21頁）則，所以直線 yy1p（x+x1）與拋物線相切；（2）方法一：由 A（4，4）在拋物線上，則拋物線的方程 y24x，由 D 在拋物線的準線上，所以直線 AB 過拋物線的焦點 F（1，0），所以 x1x21，y1y21，所以 x2 

44、;，y21，所以 B（ ，1）；方法二：由 A（4，4）在拋物線上，則拋物線的方程 y24x，由（1）可知，直線 AD 的方程 4y2（x+4），即 y （x+4），則 D（1， ），直線 BD 的方程 yy2p（x+x2），所以，解得，所以 B（ ，1）；（3）AB 恒過定點（p，0），理由如下：Dy方法一：設(shè) （p，0），由（1）可知直線 AD 的方程為，即直線 BD 的方

45、程，將 D（p，y0）代入切線方程，所以 y1，y2 是方程的兩根，所以 y1+y22y0，y1y22p2直線 AB 的斜率，直線 AB 的方程 xx1（yy1），即，所以直線 AB 恒過定點（p，0）方法二：設(shè) D（p，y0），由拋物線的極點極線的性質(zhì)，可知直線 AB 的方程為 yy0p（xp），所以直線 AB 恒過第18頁（共21頁）定點（p，0）【點評】本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的極點與

46、極線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題21已知橢圓 ：+1雙曲線的實軸頂點就是橢圓  的焦點，雙曲線的焦距等于橢圓  的長軸長（1）求雙曲線的標準方程；（2）設(shè)直線 1 經(jīng)過點 E（3，0）與橢圓  交于 A、B 兩點，求OAB 的面積的最大值；（3）設(shè)直線 1：ykx+m（其中 k，m 為整數(shù)）與橢圓  交于不同兩點 A、B，與雙曲線交于不同兩點 C、D，問是否存在直線 l，使得向量+   ，若存在，指出這樣的直線有多少條？若存在，請說明理由【分析】（1）根據(jù)橢圓及雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)，即可求得雙曲線的標準方程；（2）設(shè)直線 l