高等數(shù)學(xué)D7_5可降階高階微分方程

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(yxfy 可降階高階微分方程 第五節(jié))()(xfyn),(yyfy 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此處xsin21xC3

2、2CxCxcos21CxC目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 tFO,00tx例例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 Ox 軸作直線運(yùn)動(dòng),在開(kāi)始時(shí)刻,)0(0FF隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 . 如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) . 小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為0, 且對(duì)方程兩邊積分, 得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 120)2(ddCTttmFtx利用初始條件, 01C得于是

3、)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln1

4、2Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標(biāo)系如圖. 考察最低點(diǎn) A 到sg( : 密度, s :弧長(zhǎng))弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況: T A 點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力T兩式相除得HAy

5、xO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 211yya , aOA 設(shè)則得定解問(wèn)題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為axaych)ee(2axaxa懸懸 鏈鏈 線線a21pMsgTHAyxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1C

6、yy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCCy1e2解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 M : 地球質(zhì)量m : 物體質(zhì)量例例6. 靜止開(kāi)始落向地面, (不計(jì)空氣阻力). 解解: 如圖所示選取坐標(biāo)系. 則有定解問(wèn)題:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv設(shè)tvtydddd22則tyyvddddyvvdd代入方程得

7、,dd2yyMkvv積分得122CyMkv一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2兩端積分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有l(wèi)ylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”號(hào)號(hào)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由于 y = R 時(shí),gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為lRlRRlglRtRyarccos212l

8、RlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系, 22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv問(wèn)問(wèn): 此時(shí)開(kāi)方根號(hào)前應(yīng)取什么符號(hào)? 說(shuō)明道理 .則定解問(wèn)題為RylO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 解初值問(wèn)題解解: 令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yppyded2積分得1221221eCpy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)ypxyedd積分得,e2

9、Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解為xye1得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例例8.)0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo), 且, 0)( xy)(xyy 過(guò)曲線上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1S區(qū)間 0, x 上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因?yàn)? 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(y積記為( 1999 考研 )ttySxd)(02Pxy1S1yxO目錄

10、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得2)( yyy 定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得,11C, yy 再解得,e2xCy , 12C故所求曲線方程為xye2ddpyppy12SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppy

11、dd 則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說(shuō), 用前者方便些. 均可. 有時(shí)用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.(2) 遇到開(kāi)平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P323 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作業(yè)作業(yè) 第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxO) 1 , 0(A速度大小為 2v, 方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv提示提示: 設(shè) t 時(shí)刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示, 則有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x設(shè)物體 A 從點(diǎn)( 0, 1 )出發(fā), 以大小為常數(shù) v 備用題備用