加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)側(cè)的理論及案例

1、加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)側(cè)的理論由于每個(gè)時(shí)段的股票價(jià)格序列是一列相依的隨機(jī)變量，各階自相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了各種滯時(shí)（各個(gè)時(shí)段）的股票價(jià)格之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。因此，可考慮先分別依其前面若干時(shí)段的股票價(jià)格（對(duì)應(yīng)的狀態(tài)）對(duì)該時(shí)間段股票價(jià)格的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，然后，按前面各時(shí)段與該時(shí)段相依關(guān)系的 強(qiáng)弱加權(quán)求和來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)和綜合分析，即可以達(dá)到充分、 合理地利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的目的，而且經(jīng)這樣分析之后確定的投資策略也應(yīng)該是更加合理的。這就是加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的基本 思想。其具體步驟如下：1）將股票價(jià)格序列由小到大排列，運(yùn)用有序聚類(lèi)生成股票價(jià)格的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。2）按1）所生成的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，確定各時(shí)段股票價(jià)格所處的狀態(tài)。3）馬氏

2、性檢驗(yàn)。4）計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)，6.1）fr|i式中rk表示第k階（滯時(shí)為k個(gè)時(shí)期）的自相關(guān)系數(shù)：x表示第l時(shí)段的股票價(jià)格；x表示股票價(jià) 格均值,n表示股票價(jià)格序列的長(zhǎng)度。5）對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化，即把叫叫=/=/力力初初g g/ Z作為各種滯時(shí)（步長(zhǎng)）的馬爾可夫鏈的權(quán)重（m為按預(yù)測(cè)需要計(jì)算到的最大階數(shù)）。6）對(duì)“5）”所得的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得不同滯時(shí)（步長(zhǎng)）的馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，它決定了股票價(jià)格狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程預(yù)測(cè)的概率法則。7）分別以前面若干時(shí)間段的股票價(jià)格為初始狀態(tài)， 結(jié)合其相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測(cè)出該時(shí) 段股票價(jià)格的狀態(tài)概率片氣片氣住住*上為滯步長(zhǎng)上為滯步長(zhǎng)L8）將同一狀態(tài)的各預(yù)

3、測(cè)概率加權(quán)和作為股票價(jià)格處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率，即i-l所對(duì)應(yīng)的i即為該時(shí)段股票價(jià)格狀態(tài)的預(yù)測(cè)。待該時(shí)段股票價(jià)格的狀態(tài)確定后， 將其加入原序列，再重復(fù)步驟“1） -v8） ”，可進(jìn)行下一時(shí)段股票狀態(tài)的預(yù)測(cè)。9）可進(jìn)一步對(duì)該馬爾可夫鏈的特征遍歷性、平穩(wěn)分布等）和最佳持股時(shí)間、 股票投資策略等進(jìn)行分析。6.1.2應(yīng)用實(shí)例分析本節(jié)以上海證券交易所的收市綜合指數(shù)為例（收市綜合指數(shù)的預(yù)測(cè)分析和單支股票價(jià)格的預(yù)測(cè)分析數(shù)學(xué)原理相同），用2002年3月3日至4月15日連續(xù)30個(gè)交易日的收市綜合指數(shù)（見(jiàn)表6.1）來(lái)進(jìn)行接下來(lái)幾個(gè)交易日的收市綜合指數(shù)預(yù)測(cè)，并進(jìn)行其他相關(guān)的分析。表表6.1上海證券交易上海證券交易所璋

4、臻所璋臻34個(gè)交易個(gè)交易 日收市嶂合指數(shù)日收市嶂合指數(shù)（2M1年年3月月3日一日一4月月15日）日）“匚_廠j,I-TTz -,序號(hào)1234567a指1569.211613.0016M.091643的M2343狀妾1234324序號(hào)9101112131415J6_I623.3S166536168偵16&5.02J 66& 6916 752? _1649 4822455443序號(hào)口1821222324股指J6M-2316501671603-9116V8JII5K2J415M.5ILM1.701634.6433221_132曲251627293QK54O 如1667.521677

5、661649.51656.981649 503443_331）將收市綜合指數(shù)序列由小到大排列，用有序聚類(lèi)法可將其分為5個(gè)區(qū)間，結(jié)果如表6.2所示;表表& &2 狀市劃分區(qū)間衰狀市劃分區(qū)間衰 ._ _ a一一狀志狀志綜合指數(shù)區(qū)間綜合指數(shù)區(qū)間XI60011600WZ64D341W051&05xim2）確定出各時(shí)段收市綜合指數(shù)的狀態(tài)（見(jiàn)表6.1第三行）;3）經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)沃Ч善眱r(jià)格變化的時(shí)間序列、整個(gè)證券市場(chǎng)的股指、證券組合的綜合價(jià)格時(shí)間序列、股票的投資收益率時(shí)間序列都符合馬氏性，馬氏性檢驗(yàn)的具體過(guò)程和方法，詳見(jiàn)第四章。4）經(jīng)計(jì)算，可得此收市綜合指數(shù)序列的各階自相關(guān)系數(shù)（按

6、狀態(tài)數(shù)取前5階即可）見(jiàn)表6。3第二行：5）將各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化后作為各種滯時(shí)的馬爾可夫鏈的權(quán)重，如表6.3第三行所示：和和各種莎長(zhǎng)的馬爾可夫各種莎長(zhǎng)的馬爾可夫鏈權(quán)散喪鏈權(quán)散喪12345061620 323D0W5-(H384-0.1903叫叫0/4534世23衿0.I01R0 14006）計(jì)算出各種步長(zhǎng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣如下1/4/4 00。1/2 1/2 00V7 2/7 2/7 2/7 02/7 1/70 3/7 1/7p* 0 1/3 4/9 2/9 0=0 |/4 1/2 IM 00 1/7平平2/7 /70中中4/7 0 1/7000 1/2 1/2000100 1/4 1/2 1/4

7、 Q 001/2 1/20 1/7 1/7 2/7 1/7 2/70 2/7 2/7 2/7 1/7p(功_1/7 4/7 1/7 1/7 02/7 2/7 1/7 2/7 000 4/7 3/7 00 1/3 1/3 1/6 1/600 1/2 1/20001007）根據(jù)4月9日一15日五個(gè)交易日的收市綜合指數(shù)及其相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣對(duì)4月16日的收市綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表6.4;表表64 4月月IB H的收布蛛合指數(shù)預(yù)醐表的收布蛛合指數(shù)預(yù)醐表it時(shí)（天）12345廉率來(lái)月】5曰31O45MQ4/9泌0p叫4月“日320.2J7901/41/21/40p4月11口330.066$1/7

8、4/71/71/7Qp54月知日440.10W0181怖1/64月9日4504000J/S1/501/5p(J)_加權(quán)機(jī)1_0.0095U.366T03WU.186S 68）由表6.4可知，山皿此EM,此時(shí)#7,即上海證券交易所4月16日的收市綜合指數(shù)為 狀態(tài)3,即收市綜合指數(shù)x滿足：*1660,4月16日的實(shí)際收市綜合指數(shù)為1640.290同理，我們以4月10日4月16日的資料序列預(yù)測(cè)4月17日的綜合指數(shù)，預(yù)測(cè)過(guò)程重復(fù)“1）-7） ”，依然可以得到抽財(cái)知舊罰=3“（限于篇幅具體過(guò)程不再一列舉），即上海證券交易所4月17日的收市綜合指數(shù)為狀態(tài)3。而4月17日的實(shí)際收市綜合指數(shù)為1644.40

9、,兩次預(yù)測(cè)都是準(zhǔn)確的。9）對(duì)以上各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈的特征分析可知，此馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)是互通的、非周期 的，即它是一個(gè)不可約的正常返鏈。由馬爾可夫鏈理論還可知此鏈?zhǔn)潜闅v的，因此它存在唯一 的平穩(wěn)分布（此時(shí)的平穩(wěn)分布也就是它的極限分布）。設(shè)此鏈的平穩(wěn)分布為 噸J則由方程組fEL，3 寸寸 jE（6-4）Lf/依照步長(zhǎng)為2的轉(zhuǎn)移概率矩陣P（2），可得到平穩(wěn)分布、極限分布與各狀態(tài)的重現(xiàn)期如下例表6.5所示:平稔分布、極陽(yáng)分布與各狀查皿我平稔分布、極陽(yáng)分布與各狀查皿我狀態(tài)狀態(tài)（0123450.066670.233303667026250.070S3fj=Ui_194292.733 患患 I1442

10、表表 65 中中七七7岫岫（/-12345）同時(shí)也是各狀志的極限分布同時(shí)也是各狀志的極限分布. .由表由表: :S.5知知, 狀態(tài)狀態(tài) j 的重現(xiàn)期為其對(duì)應(yīng)帙率為的重現(xiàn)期為其對(duì)應(yīng)帙率為P= i/r .狀態(tài)的里現(xiàn)期狀態(tài)的里現(xiàn)期分制為分制為7；=15 （日），（日），專(zhuān)專(zhuān)=4. 29（日），日），7； =2. 73（日），日），J； -3. til （El）. =14. 12 日日 L 由此可！由此可！ 按本文確定的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，依現(xiàn)有的資料信息推斷，在長(zhǎng)期過(guò)程中，上海證券交易所的收市綜合指數(shù)狀態(tài)3出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最多，平均每隔2.73個(gè)交易日出現(xiàn)一次，出現(xiàn)的概率為0. 3667;狀態(tài)4出現(xiàn)的機(jī)會(huì)次之，平均

11、每隔3.81個(gè)交易日出現(xiàn)一次，出現(xiàn)的概率為0.2625;狀態(tài)2出現(xiàn)的機(jī)會(huì)再次之，平均每隔4.29個(gè)交易日出現(xiàn)一次， 出現(xiàn)的概率為0.2333;狀態(tài)5和狀態(tài)1出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較少，分 別是平O OV7V7O O心/2/71/2/71。1313 1 14 4 7 7 7 7 5 5V V2/VU2/VU 1 1l/4l/4e e刀護(hù)。9 9 o o m m 0 0 0 0均每隔14.12個(gè)交易日和15個(gè)交易日出現(xiàn)一次，出現(xiàn)的概率分別為0.07083和0.06667.6.1.3小結(jié)與討論在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，目前出現(xiàn)了多種預(yù)測(cè)股價(jià)分析股市的方法，如傳統(tǒng)的基于絕對(duì)分布的馬爾 可夫鏈方法、回歸分析、灰色預(yù)測(cè)等理論

12、，與它們相比，本節(jié)介紹的加權(quán)馬爾可夫鏈理論具有 如下特點(diǎn)：由于以各種步長(zhǎng)的自相關(guān)系數(shù)為權(quán)，用各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈加權(quán)和來(lái)預(yù)測(cè)股價(jià)的狀態(tài)，所以較傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)分析方法，它可以更加合理、充分地利用信息，成功地將馬爾可夫 鏈理論與相關(guān)分析相結(jié)合。同時(shí)應(yīng)用遍歷性定理計(jì)算序列的極限分布，可以反映出股票價(jià)格序 列的許多信息，從而可以對(duì)計(jì)算的序列進(jìn)行更多定性和定量的描述。(2)應(yīng)用有序聚類(lèi)的方法來(lái)確定分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)， 可以更加充分地考慮股票價(jià)格序列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，從而能更加有效地刻畫(huà)股票價(jià)格序列的內(nèi)在分布規(guī)律，使劃分的股票價(jià)格狀態(tài)區(qū)間(分級(jí)標(biāo)準(zhǔn))更加合理。(3)其他預(yù)測(cè)分析方法結(jié)果的偏差主要是系統(tǒng)未來(lái)的環(huán)境與歷

13、史數(shù)據(jù)產(chǎn)生環(huán)境的差別以及數(shù)學(xué) 模型的錯(cuò)誤選擇造成的，即其成敗的關(guān)鍵是歷史數(shù)據(jù)的取得和數(shù)學(xué)模型的選擇，而本文介紹的 加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)分析成敗的關(guān)鍵是系統(tǒng)初始狀態(tài)的科學(xué)劃分、初始狀態(tài)的判定和狀態(tài)轉(zhuǎn)移 概率的測(cè)定(4)如何根據(jù)最后計(jì)算出的狀態(tài)概率求出股價(jià)的具體值(在某些情況下，仍需要一個(gè)具體數(shù)值)仍是一個(gè)有待解決的問(wèn)題。筆者認(rèn)為，由于股票價(jià)格的變化是多種模糊因素(社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、政治等)綜合作用的結(jié)果，不僅牽涉到的因素比較多， 而且這些因素之間存在著復(fù)雜的交叉協(xié)同作用， 從而形成一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)。從這個(gè)意義上講，將模糊數(shù)學(xué)理論、最優(yōu)化理論和本文介紹的方法相結(jié)合，可能是解決這一問(wèn)題的有效工具。(5)隨著我們分析的時(shí)間序列長(zhǎng)度的不斷增加，歷史資料的代表性也日益增強(qiáng)