《選修11：橢圓中定值定點(diǎn)問(wèn)題》教案

1、適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域蘇教版區(qū)域課時(shí)時(shí)長(zhǎng)(分鐘)2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題 定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1掌握?qǐng)A錐曲線中的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題的求法2掌握有關(guān)圓錐曲線中對(duì)稱問(wèn)題的處理方法教學(xué)重點(diǎn)圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值等問(wèn)題的求解方法教學(xué)難點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【教學(xué)建議】本節(jié)課采用創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景學(xué)生自主探究師生共同辨析研討歸納總結(jié)組成的“四環(huán)節(jié)探究式學(xué)習(xí)方式 ,并在教學(xué)過(guò)程中根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案 ,通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景、學(xué)生自主探究、展示學(xué)生的研究過(guò)程來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生的探索勇氣【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入【教學(xué)建議】1定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題是橢圓中的綜合題 ,一直是高考考查的重點(diǎn)和熱

2、點(diǎn)問(wèn)題2本局部在高考試題中多為解答題 ,是中高檔題二、知識(shí)講解考點(diǎn)1 橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題考點(diǎn)1 單調(diào)函數(shù)的定義胞由于橢圓只研究中心在原點(diǎn) ,對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓問(wèn)題 ,故動(dòng)態(tài)橢圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一般不會(huì)出現(xiàn) ,故橢圓中的定值問(wèn)題主要包括以下幾個(gè)方面：(1)與橢圓有關(guān)的直線過(guò)定點(diǎn)：yy0k(xx0)表示過(guò)定點(diǎn)(x0 ,y0)的直線的方程；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示過(guò)直線A1xB1yC10和A2xB2yC20交點(diǎn)的直線的方程(2)與橢圓有關(guān)的圓過(guò)定點(diǎn)：x2y2DxEyF(A1xB1yC1)0表示的是過(guò)直線A1xB1yC10和圓x2y2DxEyF0交點(diǎn)的圓的方程(3)與橢圓有關(guān)的參數(shù)

3、的定值問(wèn)題考點(diǎn)2 橢圓中的最值問(wèn)題(1)參數(shù)的取值范圍：由直線和橢圓的位置關(guān)系或幾何特征引起的參數(shù)如k ,a ,b ,c ,(x ,y)的值變化此類問(wèn)題主要是根據(jù)幾何特征建立關(guān)于參數(shù)的不等式或函數(shù)進(jìn)行求解(2)長(zhǎng)度和面積的最值：由于直線或橢圓上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng) ,引起的長(zhǎng)度或面積的值變化此類問(wèn)題主要是建立關(guān)于參數(shù)(如k或(x ,y)的函數(shù) ,運(yùn)用函數(shù)或根本不等式求最值三 、例題精析例題1例題1類型一 定點(diǎn)問(wèn)題如圖 ,橢圓1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P ,其左、右焦點(diǎn)分別為F1 ,F2 ,離心率e ,M ,N是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且·0(1)求橢圓的方程； (2)求MN的最小值；(3)求以

4、MN為直徑的圓C是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論【解】(1)因?yàn)閑 ,且過(guò)點(diǎn)P ,所以解得所以橢圓方程為1(2)由題可設(shè)點(diǎn)M(4 ,y1) ,N(4 ,y2)又知F1(1 ,0) ,F2(1 ,0) ,那么(5 ,y1) ,(3 ,y2)所以·15y1y20 ,y1y215 ,y2又因?yàn)镸N|y2y1|y1|2 ,當(dāng)且僅當(dāng)|y1|y2|時(shí)取等號(hào) ,所以MN的最小值為2(3)設(shè)點(diǎn)M(4 ,y1) ,N(4 ,y2) ,所以以MN為直徑的圓的圓心C的坐標(biāo)為 ,半徑r ,所以圓C的方程為(x4)22 ,整理得x2y28x(y1y2)y16y1y20由(2)得y1y215 ,所以x2y28x(y1

5、y2)y10 ,令y0得x28x10 ,所以x4± ,所以圓C過(guò)定點(diǎn)(4± ,0)【總結(jié)與反思】定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的2種解法：(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo) ,根據(jù)題意選擇參數(shù) ,建立一個(gè)直線系或曲線系方程 ,而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān) ,故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組 ,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手 ,找出定點(diǎn) ,再證明該點(diǎn)適合題意例題1類型二 定值問(wèn)題F1 ,F2為橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn) ,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2且斜率為k(k0)的直線l與橢圓C相交于E ,F兩點(diǎn) ,EFF1的周長(zhǎng)為8 ,且橢圓C與圓x2y23相切(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)

6、,直線AE ,AF分別交直線x4于點(diǎn)M ,N ,線段MN的中點(diǎn)為P ,記直線PF2的斜率為k ,求證：k·k為定值【解】(1)因?yàn)镋FF1的周長(zhǎng)為8 ,所以4a8 ,所以a24 ,又橢圓C與圓x2y23相切 ,故b23 ,所以橢圓C的方程為1(2)由題意知過(guò)點(diǎn)F2(1 ,0)的直線l的方程為yk(x1) ,設(shè)E(x1 ,y1) ,F(x2 ,y2) ,將直線l的方程yk(x1)代入橢圓C的方程1 ,整理 ,得(4k23)x28k2x4k2120 ,64k44(4k23)(4k212)0恒成立 ,且x1x2 ,x1x2直線AE的方程為y(x2) ,令x4 ,得點(diǎn)M ,直線AF的方程為y

7、(x2) ,令x4 ,得點(diǎn)N ,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為所以直線PF2的斜率為k·· ,將x1x2 ,x1x2代入上式得k· ,所以k·k為定值1【由題悟法】定值問(wèn)題常見(jiàn)的2種求法：(1)從特殊入手 ,求出定值 ,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算 ,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量 ,從而得到定值例題1類型三 存在性問(wèn)題橢圓E：1(ab0)以為頂點(diǎn) ,且離心率為(1)求橢圓E的方程；(2)假設(shè)直線l：ykxm與橢圓E相交于A ,B兩點(diǎn) ,與直線x4相交于Q點(diǎn) ,P是橢圓E上一點(diǎn)且滿足(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)) ,試問(wèn)在x軸上是否存在一點(diǎn)T ,使得·為定

8、值？假設(shè)存在 ,求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及·的值；假設(shè)不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由【解】(1)為橢圓E的頂點(diǎn) ,即a2又 , 故c1 ,b所以橢圓E的方程為1(2)設(shè)A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2)聯(lián)立得(4k23)x28kmx4m2120由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得x1x2 , y1y2k(x1x2)2m將P代入橢圓E的方程 ,得1 ,即4m24k23設(shè)T(t ,0) ,Q(4 ,m4k)所以(4t ,m4k) ,即·因?yàn)?k234m2 ,所以·要使·為定值 ,只需2為定值 ,那么1t0 ,所以t1 ,所以在x軸上存在一點(diǎn)T(1 ,0) ,使得·為定值【由題

9、悟法】存在性問(wèn)題求解的3個(gè)注意點(diǎn)：存在性問(wèn)題 ,先假設(shè)存在 ,推證滿足條件的結(jié)論 ,假設(shè)結(jié)論正確 ,那么存在 ,假設(shè)結(jié)論不正確 ,那么不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí) ,先假設(shè)成立 ,再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知 ,按常規(guī)方法解題很難時(shí) ,要思維開放 ,采取另外的途徑 四 、課堂運(yùn)用1橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(1 ,0) ,右頂點(diǎn)為A ,且|AF|1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)假設(shè)動(dòng)直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P ,且與直線x4交于點(diǎn)Q ,問(wèn)：是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t ,0) ,使得·0假設(shè)存在 ,求出點(diǎn)

10、M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在 ,說(shuō)明理由2橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)F1(1 ,0) ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)F1作兩直線m ,n交橢圓于A ,B ,C ,D四點(diǎn) ,假設(shè)mn ,求證：為定值3如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系xOy中 ,橢圓C：1(a>b>0)的離心率為 ,直線l與x軸交于點(diǎn)E ,與橢圓C交于A ,B兩點(diǎn)當(dāng)直線l垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)時(shí) ,弦AB的長(zhǎng)為(1)求橢圓C的方程(2)假設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)A在第一象限且橫坐標(biāo)為 ,過(guò)點(diǎn)A與原點(diǎn)O的直線交橢圓C于另一點(diǎn)P ,求PAB的面積(3)是否存在點(diǎn)E ,使得為定值？假設(shè)存在 ,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo) ,并

11、求出該定值；假設(shè)不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由1【解】(1)由c1 ,ac1 ,得a2 ,b ,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)由消去y ,得(34k2)x28kmx4m2120 ,所以64k2m24(34k2)(4m212)0 ,即m234k2設(shè)P(xp ,yp) ,那么xp , ypkxpmm ,即P因?yàn)镸(t ,0) ,Q(4 ,4km) ,所以 ,(4t ,4km) ,所以··(4t)·(4km)t24t3(t1)0恒成立 ,故即t1所以存在點(diǎn)M(1 ,0)符合題意2【解】(1)由 ,得解得a2 ,b故所求橢圓方程為1(2)由F1(1 ,0) ,當(dāng)直線m不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)

12、 ,可設(shè)直線m的方程為yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120由于0 ,設(shè)A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,那么有x1 ,2 ,|AB|·|x1x2|同理|CD|所以當(dāng)直線m垂直于坐標(biāo)軸時(shí) ,此時(shí)|AB|3 ,|CD|4；或|AB|4 ,|CD|3 ,所以綜上 ,為定值3【解】(1)由 ,設(shè)a3k(k>0) ,那么ck ,b23k2 ,所以橢圓C的方程為1因?yàn)楫?dāng)直線l垂直于x軸且點(diǎn)E為橢圓C的右焦點(diǎn)時(shí) ,AB ,即xAxBk ,代入橢圓方程 ,解得yAk ,yBk或yAk ,yBk ,于是2k ,即k ,所以橢圓C的方程為1(2)將x代入1 ,解得

13、y±1因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限 ,所以A( ,1)又點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ,所以kAE ,直線EA的方程為yx1 ,由得B又PA過(guò)原點(diǎn)O ,所以P( ,1) ,PA4 ,直線PA的方程為xy0 ,所以點(diǎn)B到直線PA的距離h , SPABPA·h×4×(3)假設(shè)存在點(diǎn)E ,使得為定值 ,設(shè)E(x0 ,0)(x0±) ,當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí) , ,當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí) , ,由 ,得x0± ,2 ,所以假設(shè)存在點(diǎn)E ,此時(shí)E(± ,0) ,為定值2根據(jù)對(duì)稱性 ,只需考慮直線l過(guò)點(diǎn)E( ,0)的情況 ,設(shè)A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y

14、2) ,直線l的方程為xmy ,由得(m23)y22my30 ,所以y1y2 , y1y2又 , ,所以2 ,綜上所述 ,存在點(diǎn)E(± ,0) ,使得為定值2五、課堂小結(jié)1定值問(wèn)題的求解策略：(1)可以從一般的情形進(jìn)行論證 ,即用類似方程axb0恒有解的思路來(lái)解決問(wèn)題；(2)也可以運(yùn)用從特殊到一般的思想來(lái)解決問(wèn)題 ,即先求出特殊情形下的值 ,如直線的斜率不存在的情況 ,再論證該特殊值對(duì)一般情形也成立2最值問(wèn)題的求解策略：(1)如果建立的函數(shù)是關(guān)于斜率k的函數(shù) ,要增加考慮斜率不存在的情況；(2)如果建立的函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)(x ,y)的函數(shù) ,可以考慮用代入消元、根本不等式、三角換元或幾何

15、解法來(lái)解決問(wèn)題六、課后作業(yè)根底1對(duì)任意實(shí)數(shù)a ,直線yax3a2所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是_2假設(shè)直線mxny4和圓O：x2y24沒(méi)有公共點(diǎn) ,那么過(guò)點(diǎn)(m ,n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_3橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在x軸上 ,以其兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為4的正方形 ,設(shè)P為該橢圓上的動(dòng)點(diǎn) ,C ,D的坐標(biāo)分別是( ,0) ,( ,0) ,那么PC·PD的最大值為_4橢圓1(a>b>0)的離心率是 ,過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA ,MB交橢圓于A ,B兩點(diǎn) ,且斜率分別為k1 ,k2 ,假設(shè)點(diǎn)A ,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ,那么k1·k2的值為_答案與解

16、析1【解析】直線方程即為y2a(x3) ,因此當(dāng)x30且y20時(shí) ,這個(gè)方程恒成立 ,故直線系恒過(guò)定點(diǎn)(3 ,2)【答案】(3 ,2)2【解析】 因直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn) ,所以圓心到直線的距離>2 ,那么m2n2<4 ,可以判斷出點(diǎn)(m ,n)在橢圓的內(nèi)部 ,故過(guò)點(diǎn)(m ,n)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 【答案】23【解析】設(shè)橢圓方程為1(a>b>0) ,半焦距為c ,那么由條件 ,得bc ,b2c24 ,解得bc ,于是a2 ,從而C、D就是橢圓的焦點(diǎn) ,于是PCPD2a4 ,由根本不等式得PC·PD24 ,即PC·PD的最大值為4【答案】44【解析

17、】 設(shè)M(x0 ,y0) ,A(x1 ,y1) ,那么B(x1 ,y1) ,從而k1·k2· ,又兩式相減得 ,故k1·k2 ,又e ,所以 ,故k1·k2【答案】穩(wěn)固1如圖 ,A1 ,A2 ,B1 ,B2分別是橢圓C：1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn) ,A1B1B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形 ,其外接圓為圓M(1)求橢圓C及圓M的方程；(2)假設(shè)點(diǎn)D是圓M劣弧上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D異于端點(diǎn)A1 ,B2) ,直線B1D分別交線段A1B2 ,橢圓C于點(diǎn)E ,G ,直線B2G與A1B1交于點(diǎn)F求的最大值；試問(wèn)：E ,F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？假設(shè)是 ,求出

18、該定值；假設(shè)不是 ,請(qǐng)說(shuō)明理由2橢圓1(a>b>0)的離心率為 ,且過(guò)點(diǎn)P ,記橢圓的左頂點(diǎn)為A(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)垂直于y軸的直線l交橢圓于B ,C兩點(diǎn) ,試求ABC面積的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1 ,k2的直線交橢圓于D ,E兩點(diǎn) ,且k1k22 ,求證：直線DE恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)3在平面直角坐標(biāo)系xOy中 ,橢圓C：1(a>b>0)的離心率e ,直線l：xmy10(mR)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓C于A ,B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)點(diǎn)D ,連結(jié)BD ,過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l1 ,設(shè)直線l1與直線BD交于點(diǎn)P ,試探索當(dāng)m變化時(shí) ,是否存

19、在一條定直線l2 ,使得點(diǎn)P恒在直線l2上？假設(shè)存在 ,請(qǐng)求出直線l2的方程；假設(shè)不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由4如圖 ,橢圓C：y21 ,A ,B是四條直線x±2 ,y±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn) ,假設(shè)mn ,求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m ,n)在定圓上運(yùn)動(dòng) ,并求出定圓的方程；(2)假設(shè)M ,N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且直線OM ,ON的斜率之積等于直線OA ,OB的斜率之積 ,試探求OMN的面積是否為定值 ,說(shuō)明理由答案與解析1【解】(1)由題意知B2(0 ,1) ,A1( ,0) ,所以b1 ,a ,所以橢圓C的方程為y21易得圓心M ,A1M ,所以圓M的方程為2y

20、2(2)設(shè)直線B1D的方程為ykx1 ,與直線A1B2的方程yx1聯(lián)立 ,解得點(diǎn)E聯(lián)立消去y并整理 ,得(13k2)x26kx0 ,解得點(diǎn)G111 ,當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)等號(hào)成立所以的最大值為易得直線B2G的方程為yx1x1 ,與直線A1B1的方程yx1聯(lián)立 ,解得點(diǎn)F ,所以E ,F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2故E ,F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為定值 ,該定值為22【解】(1)由題意得解得所以橢圓的方程為x22y21(2)設(shè)B(m ,n) ,C(m ,n) ,那么SABC·2|m|·|n|mn|又1m22n222|mn| ,所以|mn| ,當(dāng)且僅當(dāng)|m|n|時(shí)取等號(hào) ,從而SABC所以ABC面積

21、的最大值為(3)因?yàn)锳(1 ,0) ,所以直線AD：yk1(x1) ,直線AE：yk2(x1)聯(lián)立消去y ,得(12k)x24kx2k10 ,解得x1或x ,故點(diǎn)D同理 ,E又k1k22 ,故E故直線DE的方程為y· ,即y· ,即yx所以2yk(3x5)k14y0那么令得直線DE恒過(guò)定點(diǎn)3【解】(1)在xmy10中 ,令y0 ,那么x1 ,所以F(1 ,0)由題設(shè) ,得解得從而b2a2c23 ,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)令m0 ,那么A ,B或A ,B當(dāng)A ,B時(shí) ,P；當(dāng)A ,B時(shí) ,P所以滿足題意的定直線l2只能是x4下面證明點(diǎn)P恒在直線x4上設(shè)A(x1 ,y1)

22、 ,B(x2 ,y2)由于PA垂直于y軸 ,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y1 ,從而只要證明P(4 ,y1)在直線BD上由消去x ,得(43m2)y26my90因?yàn)?44(1m2)>0 ,所以y1y2 ,y1y2因?yàn)閗DBkDP將式代入上式 ,得kDBkDP0 ,所以kDBkDP所以點(diǎn)P(4 ,y1)在直線BD上 ,從而直線l1、直線BD與直線l2：x4三線恒過(guò)同一點(diǎn)P ,所以存在一條定直線l2：x4 ,使得點(diǎn)P恒在直線l2上4【解】(1)易求A(2 ,1) ,B(2 ,1)設(shè)P(x0 ,y0) ,那么y1由mn ,得所以(mn)21 ,即m2n2故點(diǎn)Q(m ,n)在定圓x2y2上(2)設(shè)M(x1 ,y1) ,N(x2 ,y2) ,那么平方得xx16yy(4x)(4x) ,即xx4因?yàn)橹本€MN的方程為(x2x1)y(y2y1)xx1y2x2y10 ,所以O(shè)到直