第四章彎曲應(yīng)力

1、1第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力2n4-1 4-1 彎曲的概念和實(shí)例彎曲的概念和實(shí)例起重機(jī)大梁起重機(jī)大梁13n4-1 4-1 概述概述鏜刀桿鏜刀桿4車削工件車削工件5火車輪軸火車輪軸67PaAB陽臺梁陽臺梁欄桿欄桿PABPaMeq8以彎曲變形為主的桿件通常稱為以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁梁9q1F2F3F4F5F6FeM1、彎曲受力特點(diǎn)、彎曲受力特點(diǎn)外力垂直于桿件的軸線或桿受外力垂直于桿件的軸線或桿受到位于桿軸平面內(nèi)的外力偶作用。到位于桿軸平面內(nèi)的外力偶作用。軸線軸線102、彎曲變形特點(diǎn)、彎曲變形特點(diǎn)桿的軸線由直線變成曲線。桿的軸線由直線變成曲線。11工程中常見的梁，其橫截面均有工程中常見的

2、梁，其橫截面均有對稱軸對稱軸，例如：，例如：對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸1213軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）（撓曲線）3、對稱彎曲、對稱彎曲梁的撓曲線與載荷同在縱梁的撓曲線與載荷同在縱對稱對稱面內(nèi)。面內(nèi)?？v向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面通過梁軸線和截面對稱軸的平面。通過梁軸線和截面對稱軸的平面。14具有縱向?qū)ΨQ面具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在對稱面內(nèi)外力都作用在對稱面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線15非對稱彎曲 若梁不具有縱對稱面，或者，梁雖具有縱 對稱面但外力并不作用在對稱面內(nèi)，這種 彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲。 對稱彎曲對稱彎

3、曲16（1 1）、支座的幾種基本形式）、支座的幾種基本形式向心推向心推力軸承力軸承滾珠軸承滾珠軸承4 4 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化1718火車輪軸簡化火車輪軸簡化192021吊車大梁簡化吊車大梁簡化均勻分布載荷均勻分布載荷簡稱簡稱均布載荷均布載荷（2 2）、載荷的簡化）、載荷的簡化22非均勻分布載荷非均勻分布載荷23梁的載荷與支座梁的載荷與支座集中載荷集中載荷分布載荷分布載荷集中力偶集中力偶固定鉸支座固定鉸支座可動鉸支座可動鉸支座固定端固定端224簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA（3）、靜定梁的基本形式）、靜定梁的基本形式25靜定梁靜

4、定梁支座反力可由靜力平衡方程確定的梁。支座反力可由靜力平衡方程確定的梁。（a）簡支梁）簡支梁（b）懸臂梁）懸臂梁（c）外伸梁）外伸梁（d）靜定組合梁）靜定組合梁中間鉸中間鉸26靜不定梁靜不定梁支座反力不能由靜力平衡方程支座反力不能由靜力平衡方程完全確定的梁。完全確定的梁。27FSM 0yF1ASFFFy 0CM)(1axFxFMAy F FS S剪力：剪力：作用線相切于截面的內(nèi)力 M M 彎矩：彎矩：作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩FByFSMn4-2 剪力和彎矩3FAy28FAyFSMFByFSM 截面上的剪力對梁上任截面上的剪力對梁上任意一點(diǎn)的矩為意一點(diǎn)的矩為順時針順時針轉(zhuǎn)向時，轉(zhuǎn)向時，剪力為正

5、；剪力為正；反之反之為負(fù)。為負(fù)。+_ 截面上的彎矩截面上的彎矩使梁呈使梁呈向下凸向下凸變形變形為為正；正；反之反之為負(fù)。為負(fù)。+_29解：解：1. 確定支反力確定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法研究內(nèi)力用截面法研究內(nèi)力(設(shè)正法設(shè)正法)FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE23FaME例題例題 求圖示簡支梁求圖示簡支梁E E 截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力FAy30FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到分析右段得到(設(shè)正法設(shè)正法) ：FSEMEO 0yF0BySE

6、FF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaME31FAyFBy3FFBy35FFAy截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一側(cè)外力在梁軸線的面任一側(cè)外力在梁軸線的垂線上投影的代數(shù)和。垂線上投影的代數(shù)和。FAyFSE35FFSE2FFSEF23F外力正負(fù)：左上右下為正，左下右上為負(fù)。簡便法求截面上的剪力和彎矩簡便法求截面上的剪力和彎矩32FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的彎矩等于截面任截面上的彎矩等于截面任一側(cè)外力對截面形心力矩的代一側(cè)外力對截面形心力矩的代數(shù)和。數(shù)和。MEFAy2335aFME22aF Fa232FME外力矩正負(fù)：左順右逆為正，左逆右順為負(fù)。簡便法求截

7、面上的剪力和彎矩簡便法求截面上的剪力和彎矩33AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF解：解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力、根據(jù)平衡條件求支座反力0AMKNFAy3KNFBy70BM例例 一外伸梁受力如圖所示。試求一外伸梁受力如圖所示。試求C截面、截面、 截面和截面和 上上的內(nèi)力。的內(nèi)力。左B右B342、求指定橫截面上的剪力和彎矩、求指定橫截面上的剪力和彎矩C截面：截面：)(左側(cè)ySCFF)( 1 qFAy）（KN123)(左側(cè)CCMM21120qMFAymKN.3AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF35截面

8、：截面：左B左SBF3qFAyKN3左BM23340qMFAymKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF36右B截面：截面：右SBFKN4右BMmKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByFByAyFqF3023340ByAyFqMF 求圖示外伸梁中的11、22、33、44和55各截面上的內(nèi)力m3m3m2kN61212AmkNq2343455CBmkN 6kNFA13kNFB538 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖39在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截在一般情

9、況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即的函數(shù)，即)(),(xMMxFFSS稱為稱為剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程40AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF必須必須分段分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的各段的分界點(diǎn)分界點(diǎn)為各段梁的為各段梁的控制截面控制截面。* * 控制截面：控制截面：外力規(guī)律發(fā)生變化的截面外力規(guī)律發(fā)生變化的截面集中力、集集中力、集中力偶作用處、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。中力偶作用處、分布載

10、荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的橫截面。41xSFxM(+)(-)(+)(-)剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。梁軸線的變化情況。注意：注意：必須標(biāo)明控制必須標(biāo)明控制截面上的內(nèi)力值截面上的內(nèi)力值剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖qlABFAFBxqxqlFS2222qxxqlM2ql2ql82ql(+)(-)(+) 圖示懸臂梁AB,自由端受力F的作用,試作剪力圖和彎矩圖.lABFX FxFSLx 0 FxxMLx 0FFLkNkNm(-)(-)44)3(6)(220 xLLqxFs解：求支反力寫內(nèi)力方

11、程3 ; 600Lq RLqRBAq0RA根據(jù)方程畫內(nèi)力圖RBL)xL(LxqxM2206)(xL33Fs(x)x620Lq320Lq27320LqM(x)畫剪力圖和彎矩圖(+)(-)(+) 圖示外伸梁,試作剪力圖和彎矩圖.m4mkN 40mkN10kN20m1AB35kN25kNX1 kNxFS201101 x 1120 xxM101xX2221025xxFS402 x 210252222xxxM402x20152520202.525.31kNkNm(-)(-)(+)(-)(+)46 載荷集度、剪力和彎矩載荷集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系間的微分關(guān)系47q(x)1F2F3F4F5F6FeM突突

12、 變變 規(guī)規(guī) 律律(從左向右畫)1 1、集中力作用處，集中力作用處，F(xiàn)S圖有突變，向下的集中圖有突變，向下的集中力，剪力向下突變（向上的集中力，剪力向上力，剪力向下突變（向上的集中力，剪力向上突變），突變的大小與集中力值相同；突變），突變的大小與集中力值相同；M圖形圖形成一個尖角。成一個尖角。 q(x)1F2F3F4F5F6FeM突突 變變 規(guī)規(guī) 律律(從左向右畫)2 2、集中力偶作用處，集中力偶作用處，M圖有突變，順時針圖有突變，順時針向下突變（逆時針向上突變），突變的大向下突變（逆時針向上突變），突變的大小與小與集中力偶值相同，集中力偶值相同，F(xiàn)S圖無變化。圖無變化。q(x)1F2F3F4

13、F5F6FeM50q(x)1F2F3F4F5F6FeM考察受任意載荷作用的梁。建立考察受任意載荷作用的梁。建立xy坐標(biāo)系。坐標(biāo)系。規(guī)定向上的規(guī)定向上的q(x)為正。為正。xy xdx51 考察考察dx微段的受力與平衡微段的受力與平衡)(xFS)(xM)()(xdFxFSS)()(xdMxM520yF0)()()()(xdFxFdxxqxFSSS)()(xqdxxdFS由此式知：剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相由此式知：剪力圖曲線上一點(diǎn)處的斜率等于梁上相 應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度q。)(xFS)(xM)()(xdFxFSS)()(xdMxM530oM0)()(2)()()(xdMxMd

14、xdxxqdxxFxMS)()(xFdxxdMs略去二階微量略去二階微量 ，得：，得：2)(2dxxq 由此式知：由此式知：彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等彎矩圖曲線上一點(diǎn)的斜率等 于梁上相應(yīng)截面處的剪力于梁上相應(yīng)截面處的剪力 。SF)(xFS)(xM)()(xdFxFSS)()(xdMxM54)()(xFdxxdMS)()(xqdxxdFS)()(22xqdxxMd由此式知：由此式知：彎矩圖曲線上某點(diǎn)處的凹凸方向由梁彎矩圖曲線上某點(diǎn)處的凹凸方向由梁上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度上相應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度q的符號決定。的符號決定。55載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：)()(22xqdxxMdq q

15、0 0，F(xiàn) Fs s= =常數(shù)，常數(shù)， 剪力圖為水平直線；剪力圖為水平直線；M M(x) (x) 為為 x x 的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。2.q2.q常數(shù)，常數(shù)，F(xiàn) Fs s( (x x) ) 為為 x x 的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；M M(x) (x) 為為 x x 的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。分布載荷向上，拋物線呈分布載荷向上，拋物線呈凸凸形；形；分布載荷向下，拋物線呈分布載荷向下，拋物線呈凹凹形。形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0處，彎矩有極值。處，彎矩有極值。4.4. 集中力作用處，剪力圖突

16、變，彎矩圖有尖角；集中力作用處，剪力圖突變，彎矩圖有尖角； 集中力偶作用處，集中力偶作用處，剪力圖無變化，剪力圖無變化，彎矩圖突變。彎矩圖突變。56內(nèi)力內(nèi)力FS 、M 的變化規(guī)律的變化規(guī)律, ,歸納如下：歸納如下：載荷載荷圖SF圖M0)(xqCq Cq FM水平直線水平直線+-oror上斜直線上斜直線下凸下凸拋物線拋物線上凸上凸拋物線拋物線下斜直線下斜直線F(剪力圖剪力圖無變化無變化)有尖角有尖角M斜直線斜直線)()(22xqdxxMd有突變有突變57 也可也可通過積分方法確定剪力、通過積分方法確定剪力、 彎矩圖上各彎矩圖上各點(diǎn)處的數(shù)值。點(diǎn)處的數(shù)值。 SddFxMxFMddSbabaxFMdd

17、S baFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddS baSSqAaFbFaFaFaF5425. 2Fam4kN3mkN23kNkNmkNkNm(+)(+)(+)(-)(-)(+)作圖示梁的內(nèi)力圖kN3ACDBkNFB2EmkN5 . 4mkN 2kNFA10m1m2m2m156. 1x32344. 2722kNkNm(-)(+)(-)(-)(+)(-)4m2m1mkN 4mkN2kN6m14.51.55.55 . 87kNkNm(+)(-)(+)作圖示梁的內(nèi)力圖kN160ACDBkN310EmkN40kN40kN130m1m2m4m2mkN 80Fm11303019040120

18、160280340210130kNmkN(+)(-)(+)(+)(-)62微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：根據(jù)載荷及約束反力的作用位置，確定根據(jù)載荷及約束反力的作用位置，確定控制截面。控制截面。計(jì)算控制截面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值。計(jì)算控制截面上的剪力和彎矩?cái)?shù)值。應(yīng)用微分關(guān)系確定各段剪力圖和彎矩圖的應(yīng)用微分關(guān)系確定各段剪力圖和彎矩圖的形狀，結(jié)合突變規(guī)律，畫出剪力圖與彎矩圖。形狀，結(jié)合突變規(guī)律，畫出剪力圖與彎矩圖。 aaqaABCD223qaM aADaqaBC223qaM FBFBFAMAFDqaFD41qaFFBA47247qaMAqa47qa47qa41qa4

19、1247qa245qa241qa2321qa241qa2321qa245qakNkNm64注意注意 1、不是簡單形狀疊加，是縱坐標(biāo)值的疊加、不是簡單形狀疊加，是縱坐標(biāo)值的疊加 2、要考慮正負(fù)不同符號縱坐標(biāo)的重疊和相同、要考慮正負(fù)不同符號縱坐標(biāo)的重疊和相同 符號縱坐標(biāo)的累加符號縱坐標(biāo)的累加 3、按縱坐標(biāo)方向劃出有效區(qū)標(biāo)志線，正負(fù)抵、按縱坐標(biāo)方向劃出有效區(qū)標(biāo)志線，正負(fù)抵消的部分不可劃標(biāo)志線消的部分不可劃標(biāo)志線 4、標(biāo)明有效區(qū)的正負(fù)符號、標(biāo)明有效區(qū)的正負(fù)符號 5、標(biāo)注極值大小、標(biāo)注極值大小、用疊加法作彎矩圖、用疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖lABqFlABFAlBqFqLF+qLFL1/2qL21/2

20、qL2+FLACBFlm41F2l2lCABF2l2lACFlm41l+Fl41-Fl41+-Fl81Fl41kN6mkN2m2m2m2kN6ACDBmkN2m2m2m2+6-4+44-68一、平面剛架：一、平面剛架：由幾根不同取向的直桿組成，而由幾根不同取向的直桿組成，而各桿在其聯(lián)接處的夾角各桿在其聯(lián)接處的夾角不能改變不能改變，這種聯(lián)接稱為，這種聯(lián)接稱為剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn)。有剛節(jié)點(diǎn)的框架稱為。有剛節(jié)點(diǎn)的框架稱為剛架剛架。各直桿和外力均在同一平面內(nèi)的剛架為平面剛架。平面剛架各直桿和外力均在同一平面內(nèi)的剛架為平面剛架。平面剛架的內(nèi)力一般有的內(nèi)力一般有軸力軸力、剪力剪力和和彎矩彎矩。74-3 4-3 平

21、面剛架和平面曲桿的內(nèi)力平面剛架和平面曲桿的內(nèi)力AxFAyFABByF立柱立柱剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn)橫梁橫梁69Bql22qlyq 已知平面剛架上的均布載荷集度已知平面剛架上的均布載荷集度q, ,長度長度l。B試：畫出剛架的內(nèi)力圖。試：畫出剛架的內(nèi)力圖。例題例題ql22ql解：解：1 1、確定約束力、確定約束力22ql2 2、寫出各段的內(nèi)力方程、寫出各段的內(nèi)力方程FN(y)FS(y)M(y)豎桿豎桿ABAB：A A點(diǎn)向上為點(diǎn)向上為y y lyqyqlyFqlqyyFFSSx000 lyqlyFqlyFFNNy02/02/0 lyqyqlyyMqlyyqyyMyM02/02/02y70橫桿橫桿CBCB：C

22、C點(diǎn)向左為點(diǎn)向左為x x lxqlxFqlxFFSSy02/02/0 lxxFFNx000 lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x 已知平面剛架上的均布載荷集度已知平面剛架上的均布載荷集度q, ,長度長度l。試：畫出剛架的內(nèi)力圖。試：畫出剛架的內(nèi)力圖。解：解：1 1、確定約束力、確定約束力2 2、寫出各段的內(nèi)力方程、寫出各段的內(nèi)力方程71豎桿豎桿ABAB： qyqlyFS 2/qlyFN 2/2qyqlyyMBql22ql22qly3 3、根據(jù)各段的內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖、根據(jù)各段的內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖橫桿橫桿CBCB： 2/qlxF

23、S 0 xFN 2/qlxxMFNFSql2ql2ql2ql2ql22qL22qLM求做圖示剛架的內(nèi)力圖2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm82)(kNFs2)(kNFN2488)(kNmM(+)(+)(-)73二、平面曲桿二、平面曲桿 某些構(gòu)件（吊鉤等）其軸線為平面曲線稱為某些構(gòu)件（吊鉤等）其軸線為平面曲線稱為平面曲桿。當(dāng)外力與平面曲桿均在同一平面內(nèi)時，平面曲桿。當(dāng)外力與平面曲桿均在同一平面內(nèi)時，曲桿的內(nèi)力有曲桿的內(nèi)力有軸力軸力、剪力剪力和和彎矩彎矩。74畫出該曲桿的內(nèi)力圖畫出該曲桿的內(nèi)力圖 sinFFN解：解：寫出曲桿的內(nèi)力方程寫出曲桿的內(nèi)力方程FRmmF NF SF M

24、cosFFS sinFRMFNF FSF FRM例題例題C2rrABF 圖示桿ABC由直桿和半圓組成,試作該桿的內(nèi)力圖.AB:FrM2FFN0SFBC: cos1 FrM cosFFN sinFFSFr2Fr)(kNmM)(kNFsF)(kNFNFF縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面PP4 44 4梁橫截面上的正應(yīng)力.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件PPaaAB 梁橫截面上剪力等于零，彎矩為常量。PPaaABFsMxx2、純彎曲1、橫力彎曲梁橫截面上既有彎矩又有剪力。1、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（1 1）、變形前互相平行的縱向）、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。纖維縮短

25、、凸邊纖維伸長。（2 2）、變形前垂直于縱向線的）、變形前垂直于縱向線的橫向線橫向線, ,變形后仍為直線，且仍與變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對轉(zhuǎn)動了一個角度。向線間相對轉(zhuǎn)動了一個角度。mmnnFF 純純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力2.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，即中間必有一層纖維的長度不變，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線稱中性軸，中性軸與橫截面的對稱軸垂直。中性軸中性軸中性層中性層中性軸中性軸80平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，且仍然垂直于變形后的軸線，橫截面繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動。縱向纖

26、維間無正應(yīng)力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間無相互作用的正應(yīng)力。3、兩個假設(shè)4、結(jié)論：純彎曲時橫截面上只有正應(yīng)力。5. 幾何方程： y ABA1B1O1Od xy11111OOBAABABBA) ) ) )OO1) )yyddd)(OO1yy 6. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：假設(shè)縱向纖維間互不擠壓，于是，任意一點(diǎn)均處于單向拉伸或壓縮。 EyE MM中性軸M837. 靜力關(guān)系：靜力關(guān)系：0dddzAAAxESAyEAEyAN中性軸）通過截面形心軸( zyAydASAz 靜矩則0y0dd)d(yzAAAyEIAyzEAEyzzAMMEIAyEAEyyAMzAAAzdd)d(22zEIM1EIz 抗彎剛度?？箯潉?/p>

27、度。慣性積AyzyzdAI因y軸是對稱軸，則0yzIdAyIAz2橫截面對Z軸的慣性矩85zIMyMM: M: 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩y y: : 到中性軸的距離到中性軸的距離I IZ Z: : 截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩二、最大正應(yīng)力二、最大正應(yīng)力 橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力一、純彎曲理論的推廣一、純彎曲理論的推廣當(dāng)梁的跨長與截面高度之比當(dāng)梁的跨長與截面高度之比 l/h5 時，其誤差不超過時，其誤差不超過1% ，梁的跨高比梁的跨高比l/h越大，其誤差就越小。越大，其誤差就越小。橫力彎曲時的正應(yīng)力橫力彎曲時的正應(yīng)力zIyMzIyMmaxmaxm

28、axzWMmaxmaxmaxyIWzz令令抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)87三、慣性矩和抗彎截面系數(shù)三、慣性矩和抗彎截面系數(shù)dAyIAz2maxyIWzzbzhy單位：單位：m4單位：單位：m31232222bhbdyydAyIhhAz6212223bhhbhhIWzz88DdDda)1 (32 43maxaDyIWzzD6442DdAyIAz32264234DDDDIWzz)1 (6464644444aDdDIz89 注意注意：（1 1）在計(jì)算正應(yīng)力前，）在計(jì)算正應(yīng)力前，必須弄清楚所要求的是哪個截面上的必須弄清楚所要求的是哪個截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力，從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性從而確

29、定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩矩；以及；以及所求的是該截面上哪一點(diǎn)的正應(yīng)力所求的是該截面上哪一點(diǎn)的正應(yīng)力，并，并確定該點(diǎn)到確定該點(diǎn)到中性軸的距離中性軸的距離。（2 2）要特別注意）要特別注意正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律正應(yīng)力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律，在中性軸上為零，而在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大在梁的上下邊緣處正應(yīng)力最大。（3 3）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，）梁在中性軸的兩側(cè)分別受拉或受壓，正應(yīng)力的正負(fù)號正應(yīng)力的正負(fù)號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來確定（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負(fù)及梁的變形狀態(tài)來確定。（4 4）必須熟記矩形截面、圓形截

30、面對中性軸的慣性矩的計(jì)算。）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩的計(jì)算。M90、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度：設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)許可載荷：maxmaxMWzmaxzWM、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件、梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 zWMmaxmax91彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.1.彎矩最大的截面上彎矩最大的截面上2.2.離中性軸最遠(yuǎn)處離中性軸最遠(yuǎn)處4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttmax,ccmax,3.3.變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與MzI IyMzmaxmaxmax zWMmaxmax或或92BAl = 3mq=60

31、kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1.1.C 截面上截面上K點(diǎn)正應(yīng)力點(diǎn)正應(yīng)力2.2.C 截面上截面上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力3.3.全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）解：解：例題193BAl = 3mq=60kN/

32、mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN2. C 截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCC94BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676

33、533ZmaxmaxmaxIyM95BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩截面慣性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM196 zIyMmaxmaxmax分析（分析（1 1）（2 2）彎矩）彎矩 最大的截面最大的截面M（3 3）抗彎截面系數(shù)）抗彎截面系數(shù) 最最 小的截面小的截面zW 圖示為機(jī)車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知圖示為機(jī)車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知,kN

34、5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力.MPa60mm1601d？ zWMmaxmax例題297（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核B B截面：截面： MPa5 .41Pa105 .4116. 0322675 .62326331maxdFaWMzBB MPa4 .46Pa104 .4613. 0321605 .62326332maxdFbWMzCCC C截面：截面：（5 5）結(jié)論）結(jié)論: :強(qiáng)度足夠強(qiáng)度足夠（1 1）計(jì)算簡圖）計(jì)算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖F Fa aF Fb b解：解：98

35、分析分析（1 1）確定危險(xiǎn)截面）確定危險(xiǎn)截面（3 3）計(jì)算）計(jì)算maxM（4 4）計(jì)算）計(jì)算 ，選擇工，選擇工 字鋼型號字鋼型號zW 某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重自重材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。 zWMmaxmax（2 2）例題399（4 4）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號（5 5）討論）討論（3 3）根據(jù)）根據(jù) zWMmaxmax計(jì)算計(jì)算 33663maxcm962m109621014045 . 9

36、10)507 . 6(MWz （1 1）計(jì)算簡圖）計(jì)算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖解：解：36c36c工字鋼工字鋼3cm962zWkg/m2 .71q100例例3 3 T形截面鑄鐵梁，t=30MPa，c=160MPa。Iz=763cm4，且|y1|=52mm。校核梁的強(qiáng)度。101解解102危險(xiǎn)截面與危險(xiǎn)點(diǎn)103104RFqRF 5梁橫截面上的切應(yīng)力.梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件kNkNm一、矩形截面梁的切應(yīng)力一、矩形截面梁的切應(yīng)力1、橫截面上的方向與FS平行2、沿截面寬度是均勻分布的zyFsdxx3、研究方法：分離體平衡。 在梁上取一微段。 在微段上取一塊。byyz2h2hFaa1NF2NFxdx1

37、12212aayyMdMM yaa12dxbbyyz2h2hdA1yA1NF2NF12aayyyaa12dxb0*1*2bdxFFyNN*1*1ANdAF*1AzdAIMy*1AzdAyIM*2*2ANdAF*1AzdAIydMMbdxdAyIdMyAz*1zSdxdMbISzzy*bISFzzs*1)(AzdAyIdMMF Fs s 橫截面上的剪力橫截面上的剪力；I IZ Z 截面對中性軸的慣性矩；截面對中性軸的慣性矩；b b 截面的寬度；截面的寬度； S SZ Z 寬度線一側(cè)的面積對中性軸的靜矩寬度線一側(cè)的面積對中性軸的靜矩. . bISFZzs*bzyA2h2hycy)4(222yhIF

38、Zsy 對于矩形：對于矩形：czyAS*22)2(yhyyhb)4(222yhbAFbhFss5 . 123max)4(222yhIFzs矩 方向：與橫截面上剪力方向相同； 大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h按拋物線分布。 最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的1.5倍，發(fā)生于中性軸上。 在截面上、下邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力等于零。111二、工字形二、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力截面梁的彎曲切應(yīng)力翼緣翼緣1、腹板、腹板dISFyzzS*)()(yz腹板腹板式中式中 (y)：截面上距中性軸：截面上距中性軸y處的切應(yīng)力處的切應(yīng)力 ：y處橫線外側(cè)的部分面積對中性軸處橫線外側(cè)的部分面積對中性軸Z的靜矩的靜矩*zS ：整個截面

39、對中性軸：整個截面對中性軸Z的慣性矩的慣性矩zId：y處的寬度處的寬度dy1122、翼緣、翼緣)(z)(y翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向切應(yīng)力形成的豎向切應(yīng)力形成“切應(yīng)力流切應(yīng)力流” 。 翼緣部分還有平行于剪力翼緣部分還有平行于剪力FS的切的切應(yīng)力，但數(shù)值很小。應(yīng)力，但數(shù)值很小。翼緣部分的切應(yīng)力在強(qiáng)度計(jì)算時一翼緣部分的切應(yīng)力在強(qiáng)度計(jì)算時一般不予考慮。般不予考慮。腹板與翼緣交界處腹板與翼緣交界處的應(yīng)力較復(fù)雜，在連接處的轉(zhuǎn)角的應(yīng)力較復(fù)雜，在連接處的轉(zhuǎn)角上發(fā)生應(yīng)力集中，以圓弧連接。上發(fā)生應(yīng)力集中，以圓弧連接。

40、maxmindISFZzs*dIFZS22020242442yhdhhbzdbhh0t88820202maxdhbhbhdIFZS88202minbhbhdIFZSmaxminAf 腹板的面積。; maxA Fs f 沿腹板高度，切應(yīng)力按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力發(fā)沿腹板高度，切應(yīng)力按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，可以認(rèn)為在腹板上切應(yīng)力是均勻分布的。生在中性軸上，可以認(rèn)為在腹板上切應(yīng)力是均勻分布的。dISFyzzS*)(腹板承擔(dān)橫截面上(95-97)的切應(yīng)力,而翼緣僅承擔(dān)了(3-5)的切應(yīng)力.對軋制工字鋼截面dSIFdISFzzszzS*max,*max,max三、薄壁圓環(huán)形截面梁

41、的最大切應(yīng)力三、薄壁圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力AFrFSs2220maxA為圓環(huán)形截面面積bISFZzs*最大切應(yīng)力在中性軸上最大切應(yīng)力在中性軸上20*max,2rSz30rIz2br0 四、圓形截面梁 由于材料邊緣上各點(diǎn)的切應(yīng)力必與圓周相切，故假設(shè): 同一水平線上各點(diǎn)的切應(yīng)力的方向指向同一點(diǎn) 同一水平線上各點(diǎn)的切應(yīng)力在y方向的分量相同bISFZzsy*117最大切應(yīng)力發(fā)最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上生在中性軸上bISFZzsy*123*max,dSz644dIzdb AFRFss34342max1 1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：等截面梁，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣

42、處；最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Fs M 五、梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件五、梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件2 2、彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件：、彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件：還有一個可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Fs和M均很大的截面的腹、翼板相交處，(以后講) zzsIbSFmaxmaxmax zWMmaxmax MFs 對矩形截面梁：對矩形截面梁： AFbhFss5 . 123max4 4、需要校核彎曲切應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核彎曲切應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的工字梁，其腹板的厚度與高度之比值小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力。梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷。各向異性材料

43、（如木材）、膠合梁的膠合面等，其抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度：設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)許可外載荷： ;maxmaxmaxMWzmaxzWM3 3、強(qiáng)度條件應(yīng)用、強(qiáng)度條件應(yīng)用解：畫內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面內(nèi)力矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0. 9 M Pa，試校核梁的強(qiáng)度，求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mFs2qL2qL+x求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLFAWMSzq=3.6kN/mxM+82qLFs2

44、qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAFS123例 圖示簡支梁，圖示簡支梁，l=2m，a=0.2m。q=10kN/m，P=200kN。 =160MPa， =100MPa。 選擇工字鋼型號。選擇工字鋼型號。124解：解：125首先由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度首先由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼型號條件選擇工字鋼型號126選選22a工字鋼工字鋼127切應(yīng)力校核不滿足強(qiáng)度要求，需重選材料128重選25b工字鋼同時滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。同時滿足正應(yīng)力和切

45、應(yīng)力強(qiáng)度條件。FLbh 兩個尺寸完全相同的矩形截面梁疊加在一起承受荷載如圖示,若材料許用應(yīng)力為,其許可荷載F為多少?如將兩根梁用一個螺栓聯(lián)成一整體,則其許可荷載F為多少?若螺栓材料許用切應(yīng)力為,求螺栓的最小直徑.兩梁疊加:zzzWM2maxmax622bhFL23bhFL max 23bhFL LbhF32兩梁用螺栓連接兩梁只有一個中性軸zWMmaxmax622hbFL223bhFL LbhF322 將兩個梁連接成一個整體后,承載能力提高一倍.梁中性層處切應(yīng)力AFs23max bhLbh232232 Lh2中性層剪力bLFsmaxAFs 422dbh hbd21304-4-6 梁的合理設(shè)計(jì)梁的

46、合理設(shè)計(jì)ZmaxmaxWM1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置載荷合理布置載荷6-7131 (1)合理布置支座合理布置支座FFF132133 (2) (2)合理布置載荷合理布置載荷F134載荷盡量靠近支座：載荷盡量靠近支座：LABF0.5L圖M(+)0.25FLLABF0.8L圖M(+)0.16FL135LABF0.9L圖M(+)0.09FLLABF圖M136將集中力分解為分力或均布力。將集中力分解為分力或均布力。LABF0.5L圖M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L圖M0.125FL137合理安排支座位置及增加支座合理安排支座位置及增加

47、支座減小跨度，減小減小跨度，減小 。maxMABF0.6L0.2L0.2L圖M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL圖M0.125FL(+)138ABF0.5L0.5L圖M(+)(+)FL321FL5129FL51291394-4-6 梁的合理設(shè)計(jì)梁的合理設(shè)計(jì)ZmaxmaxWM2. 2. 增大增大 W WZ Z 合理設(shè)計(jì)截面合理設(shè)計(jì)截面考慮材料特性考慮材料特性6-7140(1)(1)合理設(shè)計(jì)截面合理設(shè)計(jì)截面141比值比值Wz/A較大，則截面的形狀就較為經(jīng)濟(jì)合理。較大，則截面的形狀就較為經(jīng)濟(jì)合理。 工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圓形截面合理14262bhWZ左62hbWZ右(2)(2)合理放置截面合理放置截面62bh62hb349 cm10ON372.9cm3167.0a3118.0a144(3)、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：塑性材料：,ct宜采用中性軸為對稱軸的截面。宜采用中性軸為對稱軸的截面。145(3)、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：脆性材料：脆性材料：,ct宜采用中性軸為非對稱軸的截面，宜采用中性軸為非對稱軸的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉邊拉