(北師大版)數(shù)學(xué)必修二課時(shí)作業(yè)：1.7.2柱、錐、臺的體積(含答案)要點(diǎn)

1、AD.【解析】選D.由題意知S溫馨提示:此套題為 Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看 比例，答案解析附后。關(guān)閉 Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)（十三）柱、錐、臺的體積I基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 * 3"分鐘 50-1一、選擇題（每小題3分，共18分）1. （2014 濟(jì)源高一檢測）已知高為3的直三棱柱ABC-A B C的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐 B -ABC的體積所以 Vb-abc=S kbc X3=2. （2014 駐馬店高一檢測）已知圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其面積為S,圓柱的底面周長為C,則圓柱的體積是（）A CEf 4kSCSSCA.B. 一C.D.4

2、nSG24nC【解析】選D.由圓柱的底面周長為C,可得底面圓的半徑為R二一，又由圓柱的 側(cè)面積為S可得圓柱的高為h=，所以圓柱的體積V= n X X =.3. （2014 宿州高一檢測）將邊長為a的正方形ABC沿對角線AC折起，使BD=a則三棱錐D-ABC的體積為（）C.D【解析】選D.設(shè)正方形ABCD的對角線AC, BD相交于點(diǎn)E,沿AC折起后依題意得，當(dāng)BD=a時(shí)，BE IDE,所以DE丄平面ABC，于是三棱錐D-ABC的高 為DE= a，所以三棱錐D-ABC的體積V二-：a2 a= a3.23 2212【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)常因弄不清折疊前后線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系的變 化而導(dǎo)致錯(cuò)誤.D

3、FC【變式訓(xùn)練】如圖，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD勺邊BC CD 的中點(diǎn)，沿圖中虛線將邊長為 2的正方形折起來，圍成一 個(gè)三棱錐，求此三棱錐的體積.【解析】折疊起來后，B, D , C三點(diǎn)重合為S點(diǎn)，則圍成的三棱錐為 S-AEF，這時(shí) SA ISE , SA S , SE 1SF，且 SA=2 , SE=SF=1 , 所以此三棱錐的體積 V二- 1 1 2二-.3 234. 如圖所示，在棱長為 4的正方體 ABCD-/BGD1中，P是AB上一點(diǎn)，且PB=ABi，則多面體P-BCCB的體積4B.-C.4D.16【解析】選B.由題意可得PBi = AiBi = 1，且PBi丄平面BCCiBi，由棱錐

4、的體積41 16公式 Vp-BCQBi二？ >4 M X1二?。?014 -安徽高考）一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為I -1 側(cè)（左視SIA.21+JC.21B.18+.7D.18【解題指南】將三視圖還原為原幾何體，原幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)全等小正三棱錐所得的組合體【解析】選A.由三視圖可知原幾何體是一個(gè)正方體截去兩 個(gè)全等的小正三棱錐.正方體的表面積為S=24，兩個(gè)全等的 三棱錐是以正方體的相對頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，側(cè)面是三個(gè)全等的 直角邊長為1的等腰直角三角形，這6個(gè)等腰直角三角形面積的和為3，三棱錐的底面是邊長為的正三角形，這2個(gè)正三角形面積的和為疵，故所求幾何體的表面

5、積為24-3+愿=21 + ：/!.6.（2014 佛山高一檢測）圓臺的上、下底面的面積分別為n , 4n,側(cè)面積是6n，這個(gè)圓臺的體積是（）B2, In【解題指南】設(shè)出上下底面半徑及母線長，可構(gòu)造它們的方程組，進(jìn)而求出, 代入體積公式解決.【解析】選D.設(shè)圓臺上、下底面半徑為r',r,母線長為I,曲=jt,r'=1,則二r2 4, 所以r =2,兀（r + r）U=6 兀,l=2,圓臺的高 h=,l2-（r-r）2-.3,= ",所以V圓臺=_（ n+j 4'L+4冗） = _】.二、填空題（每小題4分，共12分）7.（2013 遼寧高考）某幾何體的三視圖如

6、圖所示，則該幾何體的體積是左視圖2 .【解析】由三視圖可以得到原幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長方體，所以該幾何體的體積為V=4 n>4-16=16 n-16.答案：16 n-168.（2014 天津高考）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m【解析】 所給幾何體由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成，V二-X2 Xn 2?+ n>12 X20k o4=(m3).答案:2 On9.已知圓錐的母線長為5cm側(cè)面積為15 n cm,則此圓錐的體積為 cm【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則有nrl=15 n知r=3，所以h=4.所以其體積為1 1 n 1V=Sh=F2h

7、=">>4=12 n答案：12 n三、解答題（每小題10分，共20 分）10.如圖，四棱錐 P-ABCD中，PM底面ABCDAB丄AD,點(diǎn)E在線段AD上，且CE/ AB.（1）求證：CEL平面PAD.(2)若 PA=AB=1 AD=3 CD農(nóng)，/ CDA=45，求四棱錐P-ABCD勺體積.【解析】（1）因?yàn)镻A丄平面ABCD , CE 平面ABCD ,所以PA JCE.因?yàn)锳B山D , CE AB ,所以CE 1AD.又 PA OAD=A ,所以CE丄平面PAD.由(1)可知CE 1AD.在 Rt牟CD 中，DE二CD cos 45 °1 ,CE二CD sin

8、45 °1.又因?yàn)?AB=CE=1 , AB /CE , AB 1AD ,所以四邊形ABCE為矩形.所以S 四邊形ABCD =S 矩形 ABCE +S AECD=AB AE+CE DE又PA丄平面ABCD , PA=1 , 所以V 四棱錐P-ABCD =s 四邊形ABCD PA155=_ XX=_.3 2611.（2014 -濱州高一檢測）一幾何體按比例繪制的三視圖，如圖所示（單位：m）:主視圖左觀圖俯視圖（1）試畫出它的直觀圖.（2）求它的表面積和體積.【解析】（1）直觀圖如圖所示:(2)由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個(gè)角， 且該幾何體的體積是以AiA, A1D1 ,AiBi

9、為棱的長方體的體積的一，在直角梯形AAiBiB中，作BE IA1B1于E, 則AAiEB是正方形，所以 AAi=BE=1m.在 RtJEBi 中，BE=1m , EBi=1m ,所以BBi=;魏m.所以該幾何體的表面積S=7加 J+冷昭 m 二+S正方形ABCD+令U=1+2 務(wù) x(1+2) X1+1 2+1+1 X2=7+-, l(m2).該幾何體的體積V=* X X Xl(m3).【一題多解】幾何體也可以看作是以AAiBiB為底面的直四棱柱，其表面積求法 同方法一，"f四棱柱DiGCD-A盤今 X1+2) X X=(m3).所以幾何體的表面積為(7+-, _)m2，體積為m3.

10、【拓展延伸】求體積時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.（2）與三視圖有關(guān)的體積問題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性.I能力提升訓(xùn)練 。領(lǐng)分師汕分I一、選擇題（每小題4分，共16分）1. （2014 蚌埠高一檢測）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是3；二，則圖中主視圖所標(biāo)a=（）A.1俯視圖C.-一 2D2上【解析】選C.由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)平臥的三棱柱，結(jié)合圖中的尺寸可得 V=- X2 冷 X3=3;:，解得 a=i :.C2. （2014 亳州高一檢測）如圖，在多面體ABCDEI中，四 邊形ABCD是邊長為3的正方形，

11、EF/ AB, EF= , EF與 平面ABCD勺距離為2,則該多面體的體積為（）915A.B.5C.6D.22【解析】選D.連接EB , EC , AC.四棱錐E-ABCD的體積Ve-abcd=- X322=6.ia= Ve-abc=_由于 AB=2EF , EF /AB，所以 S舉ab=2Ssef.3_15_=-所以 Vf-BEC =V C-EFB = Vc-ABE所以 Vabcdef =Ve-abcd +Vf-bec =6+3. （2014 佛山高一檢測）圓錐的過高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是（）A.1 : 1B.1 : 6C.1 : 7D.1 : 8【解析】選C

12、.如圖,設(shè)圓錐底面半徑OB=R，高PO=h ,O '沖°中點(diǎn)，所以PO =,R-，=二兀R2h.2 + r2+.r3A P6 1十八'.R因?yàn)閺V=_，所以O(shè)A=,所以V圓錐PO= n<V圓臺°'°=:二%R2h.2 24所以='廿刃臺0974.棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積"aB. a31 3C-a3【解析】選C.八面體可以看成兩個(gè)正四棱錐拼接而成，其中正四棱錐的棱長為a，高為a.則 v=2ua=a3.二、填空題（每小題5分，共10分）5. （2014 遼寧高考改編）某幾何體的三視

13、圖如圖所示，則該幾何體的體積為俯視團(tuán)側(cè)（左）視圖【解題指南】結(jié)合三視圖的特點(diǎn)，該幾何體是由一個(gè)正方體在相對的兩個(gè)角上 各割去四分之一個(gè)圓柱后剩下的部分.【解析】截得該幾何體的原正方體的體積為 2 >2疋=8 ;截去的圓柱（部分）底面半徑為1，母線長為2,截去的兩部分體積為（n>2>2） X2=n ;故該幾何體的體積4為 8- n.答案：8- n6. 如圖所示，一個(gè)正三棱柱形容器，高為 2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒使一 個(gè)側(cè)面成為底面，這時(shí)水面恰為中截面，如圖，則未放倒前的水面高度為【解題指南】容器放倒前后水的體積不變，即圖三棱柱的體積與圖中的直 四棱柱的體積相等.【解析】設(shè)圖

14、中水面的高度為h，水的體積為V,則 v=Sh= S 2a，所以 二：4S 2答案：a2【變式訓(xùn)練】如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA=8cm若側(cè)面AABB水平放置時(shí)，液面恰好過 AC BC，AG, BC的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面咼多少?【解析】設(shè)原三棱柱ABC-AiBiCi的底面積為Scm2，高為hem.因?yàn)镈E /AB ,所以AEDCsbc ,所以當(dāng)側(cè)面AAiBiB水平放置時(shí)，無水的空間即 CDE-CiDiEi為一小三棱柱.此時(shí)水的體積為 V水二Sh-：S h= Sh(cm3).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水占有的空間為一個(gè)三棱柱，設(shè)該三棱柱的高為hem ,則 Sh=Sh ,

15、4所以h = h= XJ=6(cm)，則液面高6cm.三、解答題(每小題i2分，共24分)7. (20i4 宿州高一檢測)如圖，三棱柱ABC-ABiC中，若E, F分別為AB AC的中點(diǎn)，平面EBCF將三棱柱分成體積為 V M的左右兩部分，求M： V2的值.【解題指南】Vi對應(yīng)的幾何體AEF-AiBiCi是一個(gè)棱臺，一個(gè)底面的面積與棱 柱的底面積相等，另一個(gè)底面的面積等于棱柱底面積的 '；V2對應(yīng)的是一個(gè)不規(guī)4則幾何體，顯然V2無法直接表示，可以考慮間接的辦法，用三棱柱的體積減去Vi來表示.【解析】設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V=Vi+V2=Sh.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB

16、，AC的中點(diǎn)，所以 SAEF = S，4Vi=-h嚴(yán)于十、陽Sh，5 丄匚V2=Sh-ViSh，故 Vi V2=7 5.12 7【變式訓(xùn)練】如圖是一個(gè)正方體，H G, F分別是棱ABAD AA的中點(diǎn).現(xiàn)在沿 GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè) 角，求鋸掉的部分的體積與原正方體體積的比.【解析】設(shè)正方體的棱長為a,則正方體的體積為a3三棱 錐的底面是RtAGF，而/FAG為90 ° ,G, F分別為AD , AAi的中點(diǎn)，所以AF=AG= a.所以/AGF的面積為'乂 a 乂 a=-a2.2 22 S又AH是三棱錐的高，H又是AB的中點(diǎn)，所以AH= a.所以鋸掉的部分的體積為-乂 aka2二一a3.ii所以鋸掉的部分的體積與原正方體體積的比為飛3為3=二.【拓展延伸】等積法等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體 的高，特別是求三角形的高和三棱錐的高.這一方法回避了具體通過作圖得到三 角形（或三棱錐）的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值.8. （2014 咸陽高一檢測）底面半徑為1,高為1的圓柱， 內(nèi)接長方體如圖，設(shè)矩形