流體力學(xué)基礎(chǔ)(朱愛民)第五章-不可壓縮流體二維邊界層3

1、2021/8/61第五章 不可壓縮流體二維邊界層概述 第一節(jié) 邊界層的基本概念 第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門渦街第四節(jié) 繞流阻力和阻力系數(shù) 2021/8/62 在本世紀(jì)初之前，流體力學(xué)的研究分為兩個(gè)分支：一是研究流體運(yùn)動(dòng)時(shí)不考慮黏性，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另一個(gè)是不用數(shù)學(xué)理論而完全建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上對流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，解決了技術(shù)發(fā)展中許多重要問題，但其結(jié)果常受實(shí)驗(yàn)條件限制。這兩個(gè)分支的研究方法完全不同，這種理論和實(shí)驗(yàn)分離的現(xiàn)象持續(xù)了150多年，直到本世紀(jì)初普朗特提出了邊界層理論為止。由于邊界層理論具有廣泛的理論和實(shí)用意義，因此得到了迅速發(fā)展，成為黏性流體

2、動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要領(lǐng)域。本章介紹邊界層的基本概念及研究方法 2021/8/63第一節(jié) 邊界層的基本概念 一、邊界層的概念一、邊界層的概念 1904年，在德國舉行的第三屆國際數(shù)學(xué)家學(xué)會(huì)上，德國著名的力學(xué)家普朗特第一次提出了邊界層的概念。他認(rèn)為對于水和空氣等黏度很小的流體，在大雷諾數(shù)下繞物體流動(dòng)時(shí)，黏性對流動(dòng)的影響僅限于緊貼物體壁面的薄層中，而在這一薄層外黏性影響很小，完全可以忽略不計(jì)，這一薄層稱為邊界層。普朗特的這一理論，在流體力學(xué)的發(fā)展史上有劃時(shí)代的意義。 圖5-1所示為大雷諾數(shù)下黏性流體繞流翼型的二維流動(dòng)，根據(jù)普朗特邊界層理論，把大雷諾數(shù)下均勻繞流物體表面的流場劃分為三個(gè)區(qū)域，即邊界層、外部勢

3、流和尾渦區(qū)。 2021/8/64圖5-1 翼型上的邊界層 III外部勢流 II尾部流區(qū)域 I邊界層 邊界層外邊界 邊界層外邊界 2021/8/65 在邊界層和尾渦區(qū)內(nèi)，黏性力作用顯著，黏性力和慣性力有相同的數(shù)量級，屬于黏性流體的有旋流動(dòng)區(qū)；在邊界層和尾渦區(qū)外，流體的運(yùn)動(dòng)速度幾乎相同，速度梯度很小，邊界層外部的流動(dòng)不受固體壁面的影響，即使黏度較大的流體，黏性力也很小，主要是慣性力。所以可將這個(gè)區(qū)域看作是理想流體勢流區(qū)，可以利用前面介紹的勢流理論和理想流體伯努里方程來研究流場的速度分布。普朗特邊界層理論開辟了用理想流體理論和黏性流體理論聯(lián)合研究的一條新途徑。實(shí)際上邊界層內(nèi)、外區(qū)域并沒有明顯的分界面

4、，一般將壁面流速為零與流速達(dá)到來流速度的99處之間的距離定義為邊界層厚度。邊界層厚度沿著流體流動(dòng)方向逐漸增厚，這是由于邊界層中流體質(zhì)點(diǎn)受到摩擦阻力的作用，沿著流體流動(dòng)方向速度逐漸減小，因此，只有離壁面逐漸遠(yuǎn)些，也就是邊界層厚度逐漸大些才能達(dá)到來流速度。 2021/8/66 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，同管流一樣，邊界層內(nèi)也存在著層流和紊流兩種流動(dòng)狀態(tài)，若全部邊界層內(nèi)部都是層流，稱為層流邊界層，若在邊界層起始部分內(nèi)是層流，而在其余部分內(nèi)是紊流，稱為混合邊界層，如圖5-2所示，在層流變?yōu)槲闪髦g有一過渡區(qū)。在紊流邊界層內(nèi)緊靠壁面處也有一層極薄的層流底層。判別邊界層的層流和紊流的準(zhǔn)則數(shù)仍為雷諾數(shù)，但雷諾數(shù)中的

5、特征尺寸用離前緣點(diǎn)的距離x表示之，特征速度取邊界層外邊界上的速度 ，即VxVRex (5-1) 2021/8/67圖5-2 平板上的混合邊界層 層流邊界層過渡區(qū)域紊流邊界層層流底層2021/8/68 對平板的邊界層，層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界雷諾數(shù)為 。臨界雷諾數(shù)的大小與物體壁面的粗糙度、層外流體的紊流度等因素有關(guān)。增加壁面粗糙度或?qū)油饬黧w的紊流度都會(huì)降低臨界雷諾數(shù)的數(shù)值，使層流邊界層提前轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鬟吔鐚印６?、邊界層的基本特征二、邊界層的基本特?(1) 與物體的特征長度相比，邊界層的厚度很小, .(2) 邊界層內(nèi)沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 (3) 邊界層厚度沿流體流動(dòng)方向是增加的，由于邊界層

6、內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)受到黏性力的作用，流動(dòng)速度降低，所以要達(dá)到外部勢流速度，邊界層厚度必然逐漸增加。x65103105xRe2021/8/69(4) 由于邊界層很薄，可以近似認(rèn)為邊界層中各截面上的 壓強(qiáng)等于同一截面上邊界層外邊界上的壓強(qiáng)值。 (5) 在邊界層內(nèi)，黏性力與慣性力同一數(shù)量級。 (6) 邊界層內(nèi)的流態(tài)，也有層流和紊流兩種流態(tài)。 2021/8/610第二節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分方程 邊界層內(nèi)的流體是黏性流體的運(yùn)動(dòng)，理論上可以用N-S方程來研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。但由此得到的邊界層微分方程中，非線性項(xiàng)仍存在，因此即使對于外形很簡單的繞流物體求解也是很復(fù)雜的，目前只能對平板、楔形體繞流層流邊界層進(jìn)行理論計(jì)算求得

7、其解析解。但工程上遇到的很多問題，如任意翼型的繞流問題和紊流邊界層，一般來說求解比較困難，為此人們常采用近似解法，其中應(yīng)用的較為廣泛的是邊界層動(dòng)量積分方程解法。 2021/8/611 下面來推導(dǎo)邊界層動(dòng)量積分方程。假定平面邊界內(nèi)流動(dòng)是定常的并忽略質(zhì)量力，在邊界層的任一處，取單位寬度、沿邊界層長度為d的微元段作為控制體，如圖5-3所示。控制體的控制面由邊界層的橫斷面AB與CD以及內(nèi)邊界AD和外邊界BC組成。對控制體應(yīng)用物理概念十分清楚的動(dòng)量方程則有：通過控制面AB、BC、CD的動(dòng)量變化率等于作用在控制面AB、BC、CD、AD上所有外力的合力。 首先計(jì)算通過邊界層控制面在軸方向上的動(dòng)量變化率。 單

8、位時(shí)間流入x處控制面AB的動(dòng)量為 從 處控制面CD流出的動(dòng)量為 02d yvKxxxxdxyvxyvxxKKxxxxdddd02022021/8/612從控制面BC流入的動(dòng)量采用下列求法，首先計(jì)算從 處控制面AB流入的質(zhì)量流量 而從 處控制面CD流出的質(zhì)量流量為 由不可壓縮流體的連續(xù)性方程可知，通過CD與AB控制面質(zhì)量流量的差值應(yīng)等于由BC控制面流入的質(zhì)量流量，于是流入BC控制面的質(zhì)量流量與動(dòng)量分別為 0d yvmxxxxxdxyvxyvxxKKxxxxdddd0202xyvxmxdd0BCxyvxuKxedd0BC2021/8/613圖5-3 推導(dǎo)邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式用圖 2021/8/6

9、14整理上述單位時(shí)間內(nèi)通過控制面的流體動(dòng)量的通量在x方向的分量，得下面計(jì)算作用在控制面上所有外力在x軸方向的合力。忽略質(zhì)量力，故只有表面力。作用在控制面AD上的表面力為 作用在控制面AB、CD上的表面力分別為作用在邊界層外邊界控制面BC上的表面力，因摩擦應(yīng)力為零，而壓強(qiáng)可取B、C兩點(diǎn)壓強(qiáng)的平均值，于是有xyvxuxyvxKKKKxexxxxxdddd002BCdxFwdADpFxxxppFxxdd)(ddxxxxppFdddddd21BC2021/8/615整理上述作用在控制面上的所有表面力在x方向的代數(shù)和，并注意到略去二階小量，得式(5-2)又稱為邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式。該式是匈牙利科學(xué)家馮卡

10、門(VonKarman)于1921年根據(jù)邊界層的動(dòng)量定理首先推導(dǎo)出來的。由于在推導(dǎo)過程中未加任何近似條件，從這個(gè)意義上講，它是嚴(yán)格的，而且對邊界層的流動(dòng)性質(zhì)也未加限制，因此它既可求解層流邊界層，又可適用于紊流邊界層。 根據(jù)動(dòng)量定理，令 ，可得邊界層動(dòng)量積分方程為 (5-2) 由于積分上限 只是 的函數(shù)，因此式(5-2)中 的可寫成 xxxxppxxpppxFwxdddddd21dd)(ddxxxpddddWxxFKW002ddddxpyvxuyvxxexx/xxd/d2021/8/616又根據(jù)勢流的伯努里方程 注意到式（5-3），則式（5-2）可寫成 常數(shù) 則有 （5-3） （5-4）221e

11、upxuuxpeeddddW002ddddddddxuuyvxuyvxeexex2021/8/617考察邊界層的動(dòng)量積分方程式（5-2）和式（5-4）可以看到，方程中含有五個(gè)未知量： 、 、 、 、 ，其中 和 可由主流區(qū)的勢流方程求得，剩下的三個(gè)未知量是 、 、 ，因此要求解邊界層動(dòng)量積分方程，原則上還需要補(bǔ)充兩個(gè)方程，即 (1) 滿足繞流物體壁面條件和邊界層外邊界條件的速度分布 ； (2) 與速度分布有關(guān)的 與 的關(guān)系式。事實(shí)上， 與 的關(guān)系可根據(jù)邊界層內(nèi)的速度分布求出 peuxvWeupxvW）（yfvxWW2021/8/618 通常在求解邊界層動(dòng)量積分方程時(shí)，總是先選取邊界層內(nèi)速度分布

12、，選取的速度分布 越接近實(shí)際，則所得結(jié)果越正確。但由于邊界層運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，而預(yù)先選定的速度分布只能滿足主要的邊界條件，不可能正好滿足動(dòng)量積分方程，這樣求得的結(jié)果（ 、 等）就都是近似的，故積分方程的解法只能是近似的解法。但這種解法有一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，就是只要能大致選定速度分布形式，則可以得到誤差并不很大的結(jié)果，而且解法較簡單，因此在工程上用得較廣泛。 下面列出了用動(dòng)量積分方程求得的平板層流和紊流邊界層的部分近似解。對于層流邊界層 平板上離前緣點(diǎn)處的邊界層厚度 (5-5)W2184. 584. 5xxReVx2021/8/619 在平板一個(gè)壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力 (5-6) 摩擦阻力系數(shù)

13、(5-7) 對于紊流邊界層 平板上離前緣點(diǎn)處的邊界層厚度 (5-8) 在平板一個(gè)壁面上由粘滯力引起的總摩擦阻力 (5-9) 摩擦阻力系數(shù) (5-10)2123686. 0686. 0lDxReVbllVbF212372. 121lDxfReblVFC5137. 0 xxRe512036. 0lDxReVblF51074.0lfReC2021/8/620以上幾式中 均勻來流速度，m/s； 平板的寬度， m； 平板的長度， m； 來流的密度， kg/m3。Vbl2021/8/621第三節(jié) 曲面邊界層分離現(xiàn)象 卡門渦街 如前所述，當(dāng)不可壓縮黏性流體縱向流過平板時(shí)，在邊界層外邊界上沿平板方向的速度是相

14、同的，而且整個(gè)流場和邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)都保持不變。當(dāng)黏性流體流經(jīng)曲面物體時(shí)，邊界層外邊界上沿曲面方向的速度是改變的，所以曲面邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)也將同樣發(fā)生變化，對邊界層內(nèi)的流動(dòng)將產(chǎn)生影響。曲面邊界層的計(jì)算是很復(fù)雜的，這里不準(zhǔn)備討論它。這一節(jié)將著重說明曲面邊界層的分離現(xiàn)象。 2021/8/622 一、曲面邊界層的分離現(xiàn)象一、曲面邊界層的分離現(xiàn)象 在實(shí)際工程中，物體的邊界往往是曲面（流線型或非流線型物體）。當(dāng)流體繞流非流線型物體時(shí)，一般會(huì)出現(xiàn)下列現(xiàn)象：物面上的邊界層在某個(gè)位置開始脫離物面， 并在物面附近出現(xiàn)與主流方向相反的回流，流體力學(xué)中稱這種現(xiàn)象為邊界層分離現(xiàn)象，如圖5-4所示。流線型物體在非正常情況下

15、也能發(fā)生邊界層分離，如圖5-4(a)所示。 2021/8/623（a）流線形物體；（b）非流線形物體圖5-4 曲面邊界層分離現(xiàn)象示意圖邊界層外部流動(dòng)外部流動(dòng)尾跡外部流動(dòng)外部流動(dòng)尾跡邊界層2021/8/624現(xiàn)以不可壓縮流體繞流圓柱體為例，著重從邊界層內(nèi)流動(dòng)的物理過程說明曲面邊界層的分離現(xiàn)象。當(dāng)黏性流體繞圓柱體流動(dòng)時(shí)，在圓柱體前駐點(diǎn)A處，流速為零，該處尚未形成邊界層，即邊界層厚度為零。隨著流體沿圓柱體表面上下兩側(cè)繞流，邊界層厚度逐漸增大。層外的流體可近似地作為理想流體，理想流體繞流圓柱體時(shí)，在圓柱體前半部速度逐漸增加，壓強(qiáng)逐漸減小，是加速流。當(dāng)流到圓柱體最高點(diǎn)B時(shí)速度最大，壓強(qiáng)最小。到圓柱體的后

16、半部速度逐漸減小，壓強(qiáng)逐漸增加，形成減速流。由于邊界層內(nèi)各截面上的壓強(qiáng)近似地等于同一截面上邊界層外邊界上的流體壓強(qiáng)，所以，在圓柱體前半部邊界層內(nèi)的流動(dòng)是降壓加速，而在圓柱體后半部邊界層內(nèi)的流動(dòng)是升壓減速。因此，在邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)除了受到摩擦阻力的作用外，還受到流動(dòng)方向上壓強(qiáng)差的作用。在圓柱體前半部邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)受到摩擦阻滯逐漸減速，不斷消耗動(dòng)能。但由于壓強(qiáng)沿流動(dòng)方向逐漸降低，使流體質(zhì)點(diǎn)得到部分增速，也就是說流體的部分壓強(qiáng)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能，從而抵消一部分因摩擦阻滯作用而消耗的動(dòng)能，以維持流體在邊界層內(nèi)繼續(xù)向前流動(dòng)。2021/8/625但當(dāng)流體繞過圓柱體最高點(diǎn)B流到后半部時(shí)，壓強(qiáng)增加，速度減小，

17、更促使邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的減速，從而使動(dòng)能消耗更大。當(dāng)達(dá)到S點(diǎn)時(shí)，近壁處流體質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能已被消耗完盡，流體質(zhì)點(diǎn)不能再繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，于是一部分流體質(zhì)點(diǎn)在S點(diǎn)停滯下來，過S點(diǎn)以后，壓強(qiáng)繼續(xù)增加，在壓強(qiáng)差的作用下，除了壁上的流體質(zhì)點(diǎn)速度仍等于零外，近壁處的流體質(zhì)點(diǎn)開始倒退。接踵而來的流體質(zhì)點(diǎn)在近壁處都同樣被迫停滯和倒退，以致越來越多被阻滯的流體在短時(shí)間內(nèi)在圓柱體表面和主流之間堆積起來，使邊界層劇烈增厚，邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的倒流迅速擴(kuò)展，而邊界層外的主流繼續(xù)向前流動(dòng)，這樣在這個(gè)區(qū)域內(nèi)以ST線為界，如圖5-5所示，在ST線內(nèi)是倒流，在ST線外是向前的主流，兩者流動(dòng)方向相反，從而形成旋渦。圖5-5 曲面邊界層分

18、離現(xiàn)象 2021/8/626 使流體不再貼著圓柱體表面流動(dòng)，而從表面分圖5-5 曲面邊界層分離現(xiàn)象離出來，造成邊界層分離，S點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。形成的旋渦，不斷地被主流帶走，在圓柱體后面產(chǎn)生一個(gè)尾渦區(qū)。尾渦區(qū)內(nèi)的旋渦不斷地消耗有用的機(jī)械能，使該區(qū)中的壓強(qiáng)降低，即小于圓柱體前和尾渦區(qū)外面的壓強(qiáng)，從而在圓柱體前后產(chǎn)生了壓強(qiáng)差，形成了壓差阻力。壓差阻力的大小與物體的形狀有很大關(guān)系，所以又稱為形狀阻力。 2021/8/627 二、卡門渦街二、卡門渦街 1911年，匈牙利科學(xué)家卡門在德國專門研究了這種圓柱背后旋渦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。實(shí)驗(yàn)研究表明，當(dāng)時(shí)黏性流體繞過圓柱體，發(fā)生邊界層分離，在圓柱體后面產(chǎn)生一對不穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)

19、方向相反的對稱旋渦，超過40后，對稱旋渦不斷增長，至?xí)r，這對不穩(wěn)定的對稱旋渦，最后形成幾乎穩(wěn)定的非對稱性的、多少有些規(guī)則的、旋轉(zhuǎn)方向相反、上下交替脫落的旋渦，這種旋渦具有一定的脫落頻率，稱為卡門渦街，如圖5-6所示。 圖5-6 卡門渦街形成示意圖 2021/8/628 圓柱體的卡門渦街的脫落頻率 與流體流動(dòng)的速度 和圓柱體直徑 有關(guān)，由泰勒(FTaylor)和瑞利(LRayleigh)提出下列經(jīng)驗(yàn)公式 （5-11） 式（5-11）適用于 范圍內(nèi)的流動(dòng)，式中無量綱數(shù) 稱為斯特勞哈(VStrouhal)數(shù) ，即 （5-12） 根據(jù)羅斯柯（ARoshko）1954年的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，當(dāng) 大于1000時(shí)，斯

20、特勞哈數(shù) 近似地等于常數(shù)，即 =0.21。 根據(jù)卡門渦街的上述性質(zhì)，可以制成卡門渦街流量計(jì)，即在管道內(nèi)從與流體流動(dòng)相垂直的方向插入一根圓柱體驗(yàn)測桿。管內(nèi)流體流經(jīng)圓柱體驗(yàn)測桿時(shí)，在驗(yàn)測桿下游產(chǎn)生卡門渦街，測得了旋渦的脫落頻率，便可由式（5-12）求得管內(nèi)流體的流速，進(jìn)而確定管內(nèi)流體的流量。測定卡門渦街脫落頻率的方法有熱敏電阻絲法、超音波束法等等。 fVdRedVf7 .191198.05102250ReVfdSrVfdSr ReSrSr2021/8/629在日常生活中，常聽到風(fēng)吹電線噓噓發(fā)響的鳴叫聲，這種鳴響也是由于卡門渦街的交替脫落引起空氣中壓強(qiáng)脈動(dòng)所造成的聲波。在工程設(shè)備中（如管式空氣預(yù)熱器

21、），空氣橫向繞流管束，卡門渦街的交替脫落會(huì)引起管箱中氣柱的振動(dòng)。特別是當(dāng)旋渦脫落頻率與管箱中的聲學(xué)駐波振動(dòng)頻率相等時(shí)，便會(huì)發(fā)生聲學(xué)共振現(xiàn)象，產(chǎn)生嚴(yán)重的噪聲，并使器壁在脈動(dòng)壓力作用下彎曲變形，甚至振裂。最嚴(yán)重的情況是氣室的聲學(xué)駐波振動(dòng)頻率、管束的固有頻率、卡門渦街的脫落頻率三者相合時(shí)，將造成設(shè)備的嚴(yán)重破壞。通常消除聲學(xué)共振的措施是提高設(shè)備氣室的聲學(xué)駐波頻率，也就是順著流體流動(dòng)方向加裝若干塊隔板，將設(shè)備氣室的橫向尺寸分成若干段，提高其聲學(xué)駐波振動(dòng)頻率，使之與卡門渦街的聲振頻率錯(cuò)開。這種簡單的辦法實(shí)踐證明是行之有效的，但具體做時(shí)要通過試驗(yàn)及必要的計(jì)算來解決。 2021/8/630第四節(jié) 繞流阻力和阻

22、力系數(shù) 黏性流體繞物體流動(dòng)時(shí)，物體一定受到流體的壓強(qiáng)和切向應(yīng)力的作用，這些力的合力一般可分解為與來流方向一致的作用力 和垂直于來流方向的升力 。由于 與物體運(yùn)動(dòng)方向相反，起著阻礙物體運(yùn)動(dòng)的作用，所以稱為阻力。繞流物體的阻力由兩部分組成：一部分是由于流體的黏性在物體表面上作用著切向應(yīng)力，由此切向應(yīng)力所形成的摩擦阻力；另一部分是由于邊界層分離，物體前后形成壓強(qiáng)差而產(chǎn)生的壓差阻力。摩擦阻力和壓差阻力之和統(tǒng)稱為物體阻力。對于圓柱體和球體等鈍頭體，壓差阻力比摩擦阻力要大得多；而流體縱向流過平板時(shí)一般只有摩擦阻力。雖然物體阻力的形成過程，從物理觀點(diǎn)看完全清楚，但是要從理論上來確定一個(gè)任意形狀物體的阻力，至今還是十分困難的，目前還只能在風(fēng)洞中用實(shí)驗(yàn)方法測得，這種實(shí)驗(yàn)稱為風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)。 DFDFLF2021/8/631 通過實(shí)驗(yàn)分析可以得出，物體阻力與來流的動(dòng)壓頭 和物體在垂直于來流方向的截面積A的乘積成正比，即 (5-13) 為了便于比較各種形狀物體的阻力，工程上引用無因次阻力系數(shù) 來表達(dá)物體阻力的大小，其公式為 （5-14）由實(shí)驗(yàn)得知，對