D126可降階微分方程ppt課件

1、),(yxfy 可降階高階微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 第六節(jié))()(xfyn),(yyfy 第十二章 一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因而1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos

2、21CxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ,00tx例例2. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿的作用沿 ox 軸作直線軸作直線運(yùn)動(dòng),在開始時(shí)刻,)0(0FF隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時(shí) F(T) = 0 .如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有據(jù)題意有)(dd22tFtxmtFoT0FF)1(0TtmF0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) . 小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初初速度為0, 且對(duì)方程兩邊積分, 得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 120)2(ddCTttmFtx利用初始條

3、件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xx

4、xpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖. 考察最低點(diǎn) A 到sg( : 密度, s :弧長(zhǎng))弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1tanMsgoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問(wèn)該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況:

5、T A 點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力T兩式相除得HA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 MsgoyxHA211yya , aOA 設(shè)則得定解問(wèn)題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為axaych)(2axaxeea懸懸 鏈鏈 線線a21p機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化

6、為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 求解求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 M : 地球質(zhì)量m : 物體質(zhì)量例例6. 靜止開始落向地面, 求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間(不計(jì)空氣阻力). 解解: 如圖所示選取坐標(biāo)系如圖所示選取坐標(biāo)系. 則有定解

7、問(wèn)題:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,ddtyv 設(shè)tvtydddd22則tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yyMkvv積分得122CyMkv一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由 yoRl機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2兩端積分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”號(hào)號(hào)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 由于 y = R 時(shí),gy 由原方程可得MRgk2因此落

8、到地面( y = R )時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 說(shuō)明說(shuō)明: 若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系若此例改為如圖所示的坐標(biāo)系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得)11(22lylMkv問(wèn)問(wèn): 此時(shí)開方根號(hào)前應(yīng)取什么符號(hào)此時(shí)開方根號(hào)前應(yīng)取什么符號(hào)? 說(shuō)明道理說(shuō)明道理 .則定解問(wèn)題為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例7. 解初值問(wèn)題解初值問(wèn)題解解: 令令02 yey

9、,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例例8.)0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo), 且, 0)( xy)(xyy 過(guò)曲線上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1S區(qū)間 0, x 上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因?yàn)? 0)(xy所以于是

10、cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(y積記為( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得2)( yyy 定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲線方程為xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容

11、小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令令)(xpy 或)(ypy 一般說(shuō), 用前者方便些. 均可. 有時(shí)用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?答答: (1) 一般情況一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.(2) 遇到開平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作業(yè)作業(yè) 第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 oyx) 1 , 0(A速度大小為 2v, 方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv提示提示: 設(shè)設(shè) t 時(shí)刻時(shí)刻 B 位于位于 ( x, y ), 如下圖如下圖, 則有則有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x設(shè)物體 A 從點(diǎn)( 0, 1 )動(dòng)身,